Transcript Apéndice matemático: Nichoson walter

CAPITULO UNO
APENDICE MATEMATICO
(MATEMATICAS UTILIZADAS EN MICROECONOMIA)
Nociones sobre funciones
Funciones de una variable
Los elementos básicos del álgebra se llaman variables, pueden asignárseles letras
generalmente “x” y “y”, se les puede dar cualquier valor numérico, también algunas veces,
los valores de una variable “y” pueden estar relacionados con los valores se otra variable
“x” de acuerdo con una relación funcional específica.
Esta relación se señala por una notación funcional, entonces, se dice que:
Una variable, y, es función de otra, x, si existe una relación entre ambas de forma tal
que: para cada valor de x existe solamente uno de y
Y su expresión matemática es como sigue:
y = f(x)
1A.1
Se Lee como: “y en función de x”, lo cual significa que el valor de y va a depender del valor
que se le dé a x. La forma de la ecuación también muestra la causalidad donde X es la
variable independiente y toma cualquier valor, Y es una variable dependiente su valor
está completamente determinado por X.
La relación funcional exacta entre X e Y puede asumir una amplia variedad de formas, dos
posibilidades pueden ser, función lineal y función no lineal.
I. Función lineal
Se entiende como función lineal a una ecuación del tipo:
Y = a + bX
(1A. 2)
donde:
Y = variable dependiente
X = variable independiente
b = la pendiente
a = término independiente
Por ejemplo, sí a = 3 y b = 2, esta ecuación se escribe como:
Y = 3 + 2X
(1A. 3)
Si se da una interpretación económica a la ecuación se puede suponer que Y son los
costos del trabajo de una empresa y X el número de horas de trabajo contratadas, la
ecuación registra la relación que existe entre los costos y los trabajadores contratados, se
supone en este caso que hay un costo fijo de $ 3.00 pesos y una tasa de salario de $ 2.00
por hora. Por lo tanto si la empresa contrata 6 horas de trabajo tendrá que pagar $ 15.00,
esto es:
Y = 3 + 2(6) = 3 + 12 = 15
II. Función no lineal
Este caso cubre una amplia variedad de posibilidades incluidas las funciones de segundo grado (X2), y los
polinomios de orden superior que incluyen a (X3, X4,…, Xn) y aquellas basadas en funciones especiales,
como los logaritmos, todas tienen la propiedad de que, un cambio dado en x puede tener diferentes
efectos sobre Y. Esto contrasta con las funciones lineales para las cuales un cambio determinado en X
siempre cambia a Y en la misma cantidad, su expresión matemática es de la forma:
Y = X2 + bX + c
Para resolver la ecuación se puede utiliza la siguiente formula que permite hallar las raíces en una función
de este tipo.
Para observar los diferentes cambios del valor de Y a partir de una función no lineal se consideran la
siguiente función:
Función cuadrática
ƒ(X) = - X2 + 15X
Los valores en Y en estas ecuaciones para valores en X que se encuentran
entre (-3, 5) y se muestran en la siguiente tabla:
TABLA 1A.1
Valores de X
Valores de X y Y para funciones lineales y cuadráticas.
Función lineal
Y= f(X) = 3+2X
Función cuadrática
Y = f(X) = - X2 + 15X
3
-3
- 54
-2
-1
- 34
-1
1
- 15
0
3
0
1
5
14
2
7
26
3
9
36
4
11
44
5
13
50
--
GRAFICA DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Una gráfica es simplemente una forma de mostrar la relación existente entre dos variables.
Usualmente, los valores de la variable dependiente (Y) se muestra en el eje vertical, y los
valores de la variable independiente (X) se muestran en el eje horizontal. La figura 1A.1 utiliza
esta forma para hacer la grafica de la ecuación (1A.3)
Funciones lineales: Intercepto y pendientes
Dos importantes características de lo gráfica de la figura 1A.1 son su pendiente (dirección de una recta
que muestra el cambio de Y debido a un cambio en una unidad en el valor de X) y su intercepto (valor de
Y cuando X es igual a cero), por ejemplo, se observa en la figura que cuando X = 0, Y = 3;
La pendiente puede definirse matemáticamente como:
Donde la notación Δ (“delta”) significa “un cambio en”. Se puede observar en las rectas punteadas, que
representan los cambios en X y Y, que un cambio determinado en X implica un cambio de 2 veces esa
cantidad en Y. La tabla 1A.1 que cuando X se incrementa de 0 a 1, Y aumenta de 3 a 5, esto se obtiene
matemáticamente de la siguiente forma:
En cualquier parte de la recta, la pendiente es la misma, en general para cualquier función lineal, (b)
indica la pendiente de la ecuación. Y puede ser positiva (como en la figura analizada) o negativa, una
línea recta puede tener pendiente de 0 que es una recta horizontal.
Cambio en la pendiente
Con mucha frecuencia, en el texto interesan las modificaciones en los parámetros (a y b) de una función
lineal. Se puede hacer de dos maneras: cambiando el intercepto Y o cambiando la pendiente. La figura
1A.2 muestra la gráfica de la función :
La función lineal tiene una pendiente de -1 y un intercepto en Y = 10, la figura 1A.2 también muestra la
función:
Y = - 2X + 10
Cambios en el intercepto
La figura 1A.3 también muestra una gráfica de la función Y = - X + 10. Está indica el efecto de los
cambios en el término constante, es decir, únicamente del intercepto en Y, mientras que la pendiente
permanece en – 1. La figura 1A.3 muestra las gráficas de:
a)
Y = - X + 10
b)
Y = - X + 12
c)
Y=-X+5
Las tres rectas son paralelas; tienen la misma pendiente. El cambio del intercepto en Y solamente hace
que la recta se desplace hacia arriba y hacia abajo. Su pendiente no cambia. Naturalmente, los cambios
en los interceptos Y hacen también que los interceptos X cambien, se pueden ver estos nuevos
interceptos en la figura IA.3.
INTERPRETACION ECONOMICA
En muchas partes del texto se muestra que los cambios económicos
se pueden representar mediante cambios en las pendientes o en los
interceptos. Aunque el contexto económico puede variar, la forma
matemática de estos cambios tendrá el tipo general indicado en las
figuras analizadas.
Efectos medio y marginal
En la economía interesa con frecuencia el tamaño del efecto que X tiene sobre Y.
Existen dos formas diferentes de precisar este concepto. La más usual es observar el efecto
Marginal (cambio en Y debido al cambio de una unidad de X ), es decir ¿cómo un pequeño
cambio en X modifica a Y?. Para este tipo de efecto, la relación se centra en ∆Y/ ∆X, que
es la pendiente de la función.
Para las ecuaciones lineales ilustradas en las figuras 1A.1 a 1A.3, este efecto es constante
en términos económicos, el efecto marginal de X sobre Y es constante para todos los
valores de X.
En la gráfica de la ecuación no lineal en la figura 1A.4, este efecto marginal disminuye
cuando X aumenta: los rendimientos decrecientes y los efectos marginales decrecientes son
la misma cosa.
Algunas veces, los economistas hablan del efecto medio (relación entre Y para un valor
determinado de X) de X sobre Y. Con esto ello se refieren a la relación Y/X, como se verá
más adelante.
Funciones de dos o más variables
Los economistas generalmente se preocupan por las funciones de más de una variable porque casi
siempre existe más de una causa para el resultado económico.
Para examinar los efectos de muchas causas, los economistas deben trabajar con funciones de varias
variables. Una función de dos variables puede escribirse en notación funcional como:
1.
Y = f(X, Z)
Esta ecuación muestra que los valores de Y dependen de los valores de dos variables independientes,
X y Z. Por ejemplo. El peso (Y) de un individuo depende no sólo de las calorías que consume (X),
sino también del ejercicio que realiza (Z). Los incrementos en X generan aumentos en Y, pero los
incrementos en Z generan disminuciones en Y.
La notación funcional de la ecuación (1) indica la posibilidad de que pueda haber contraposiciones
entre comer y hacer ejercicio. Supongamos que la relación entre Y, X y Z se indica de la manera
siguiente:
2.
Y=X.Z
La forma de esta función se usa ampliamente en la economía. En texto se emplea esta forma para
mostrar la utilidad de (Y) que un individuo recibe al consumir dos bienes (X,Z) y para mostrar la
relación de producción entre un producto (Y) y dos insumos, trabajo (X) y capital (Z). Sin embargo,
interesan principalmente las propiedades matemáticas de esta función.
Algunos valores de la función de la ecuación (1) están registrados en la tabla 1A.2. En esta tabla se
muestran dos hechos importantes:
1. Si una de las variables se mantiene constante (X = 2), los cambios en la otra variable
independiente (Z) harán que el valor de la variable dependiente (Y) cambie.
El valor de Y se incrementa de 4 a 6, cuando Z aumenta de 2 a 3, incluso si X se mantiene
constante,
en términos económicos esto ilustra la influencia “marginal” de la variable Z.
2.
Las combinaciones de valores diferentes de X y Z darán como resultado el mismo
valor en Y.
Por ejemplo, Y= 4 si X = 2, Z = 2 o sí X = 1, Z = 4 (o para un número infinito de combinaciones de
X y Z, si se utilizan fracciones).
Utilizando esta igualdad de valores de Y para varias combinaciones de X y Z, las funciones de dos
variables se pueden graficar de manera sencilla.
Tabla
1A.2
valores de x, z, y que satisfacen la
relación de y = x . z
x
z
y
1
1
1
1
2
2
1
3
3
1
4
4
2
1
2
2
2
4
2
3
6
2
4
8
3
1
3
3
2
6
3
3
9
3
4
12
Cada una de las líneas de contorno de la figura 1A.5 es una
hipérbola rectangular. La línea de contorno señalada con
“Y = 1” es una gráfica de:
(1.1) Y = 1= X . Z,
“y = 4” es una gráfica de:
(1.2) Y = 4 = X . Z,
y la línea señalada con,
“Y = 9” es una gráfica de:
(1.3) Y = 9 = X . Z.
GRAFICAS DE LAS FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Se necesita utilizar tres dimensiones para elaborar completamente la gráfica de
una función de dos variables: un eje para X, uno para Z y otro para Y. Dibujar
gráficas tridimensionales en un libro bidimensional es muy difícil. Por lo tanto estas
funciones se representan de una manera que se asemeja mucho a las técnicas
utilizadas por los cartógrafos.
Los cartógrafos se ven limitados también a trabajar con dibujos bidimensionales y
utilizan líneas de contorno (líneas de dos dimensiones que muestran el conjunto de
valores de las variables independientes que producen el mismo valor para la
variable dependiente) para mostrar la tercera dimensión.
Estas son líneas de igual altitud que muestran las características físicas del
territorio cartografiado. Los economistas utilizan líneas de contorno, es decir líneas
de igual altitud. La gráfica de la ecuación de 1A.13 puede elaborarse en dos
dimensiones (una dimensión para los valores X y otra para los valores de Z), con
líneas de contorno para mostrar los valores de Y, la tercera dimensión. La gráfica
de esta ecuación se muestra en la figura 1A.5 , con tres líneas de contorno una
para Y =1, otra para Y = 4 y otra para Y = 9.
ECUACIONES SIMULTANEAS
Otro concepto matemático que se utiliza con frecuencia en economía es el de las
ecuaciones simultáneas (conjunto de ecuaciones con más de una variable que se deben
resolver conjuntamente para obtener una solución particular). Cuando dos variables X y Y
están relacionadas por dos ecuaciones diferentes, algunas veces es posible resolverlas de
manera conjunta para obtener una sola serie de valores de X y Y que satisfaga ambas
ecuaciones. Por ejemplo, es fácil ver que las dos ecuaciones:
X+Y=3
X– Y=1
1A.17
tienen una solución única igual a:
X=2
Y=1
1A.18
Estas ecuaciones operan “simultáneamente” para determinar las soluciones de X y Y. Una
sola ecuación no puede determinar cada variable: la solución depende de ambas ecuaciones.
Resolución de sistemas de ecuaciones simultáneas
Se tienen dos ecuaciones y el objetivo será hallar los valores de x y de y tal que las dos ecuaciones sean
verdaderas.
4x + 3y = 22
2x + 5y = 18
Técnicas de resolución:
1. Resolución por igualación:
Se despeja x o y en las dos ecuaciones, y se tiene que:
Y = 22 – 4x
Y = 18 – 2x
3
5
Se igualan las dos expresiones anteriores de la siguiente manera:
22 – 4x = 18 – 2x
3
5
Se multiplican en cruz las dos ecuaciones y se resuelve el sistema para encontrar el valor de X
5(22 – 4x) = 3(18 – 2x)
- 14x = - 56
x =4
Luego, se sustituye el valor obtenido para X en cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar el valor de Y
Y = 22 – 4(4) =
3
6 = 2
3
entonces
Y=2
Los valores obtenidos para X = 4 y Y = 2; (4,2) se pueden sustituir en las ecuaciones originales
para probar el sistema.
2.
Resolución por sustitución.
Sea el mismo sistema de ecuaciones anterior:
1.
2.
4X + 3Y = 22
2X + 5Y = 18
despejando una variable de ecuación (1) se tiene que:
Y = 22 – 4X
3
y sustituyendo este valor en la ecuación (2):
2X + 5(22 - 4X) = 18
3
resolviendo el sistema para X resulta:
2X + 110 – 20X = 18
3
- 14X = 56
3 3
14X = 56
X = 56 = 4, entonces
X=4
14
Se sustituye el valor (X = 4) en cualquiera de las dos ecuaciones:
2(4) + 5y = 18
8 + 5y = 18
5y = 10
y = 10
5
y=2
3.
Por suma y resta (eliminación):
Sea el mismo sistema de ecuaciones anterior:
1.
2.
4X + 3Y = 22
2X + 5Y = 18
Se elimina una variable del sistema, igualando el valor de su coeficiente y
multiplicando con signo contrario toda la ecuación, esto es:
4X + 3Y = 22
(- 2 ) 2X + 5Y = 18
entonces
4X + 3Y = 22
- 4X - 10Y = - 36
Se elimina la variable por suma o resta con coeficientes iguales pero con signos contrarios,
luego se resuelve el sistema como en los dos métodos anteriores, como sigue:
3Y = 22
- 10Y = - 36
-7Y = - 14
-Y = 2
Y por consiguiente al sustituir este valor en cualquier ecuación del sistema original el valor de X debe ser X=4
Microeconomía empírica y Econometría
Como se analizó en el capítulo 1, los economistas no sólo se preocupan por elaborar los modelos
del funcionamiento de la economía, sino que también establecen la validez de estos modelos
observando los datos del mundo real utilizando la econometría que significa medición económica.
La econometría trata entre otros, dos temas importantes:
a) La influencia aleatoria
b) El supuesto ceteris paribus
En el primer punto trata de resolver funciones lineales de la forma:
Q = a – bP
Donde los valores de (a) y (b) están determinados por los datos, dado que se puede ubicar una
línea recta conociendo solamente dos puntos de la misma.
El investigador tendrá que:
a)
b)
c)
Ubicar dos periodos, donde todo lo demás permanezca igual (ceteris paribus)
Registrar los valores de Q y P para estas observaciones
Calcular la recta que pasa a través de los puntos
Tenemos por tanto que resolver mediante la técnica de los Mínimos Cuadrados
Ordinario (MCO) un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas). La solución a
este sistema viene dada por la siguiente expresión:
Ecuaciones Normales:
1.
ΣY = Na + b ΣX
2. ΣYX = a ΣX + ΣX2
Soluciones para “b” y para “a”
b = N ΣXY - ΣXΣY
N Σ X2 – (ΣX)2
a = ΣY – b ΣX
N
N
Ejemplo: Solución para la Aplicación 1A.3
a) Se asume que la demanda petróleo crudo está dada por:
Qd = 80 – 0.4 P
donde Qd es la demanda de petróleo crudo exigido (en millones de barriles por día) y P precio en
dólares por el barril.
Se sabe que el suministro de petróleo crudo se da por:
Qo = 55 + 0.6 P
La solución a estas ecuaciones, el equilibrio del mercado, es PE = 25 y QE = 70
y puede encontrarse mediante la solución del sistema de ecuaciones de oferta y demanda
simultáneamente Igualando las funciones:
Qd = Qo
sustituyendo por su valor
80 – 0.4 P = 55 + 0.6 P
agrupando términos
80 - 55 = 0.6 P + 0.4 P
solución para P
PE =
25
solución para Q
QE = 80 – 0.4 P
sustituyendo el valor de P
QE = 80 – 0.4 (25)
QE = 70
Irak produce aproximadamente 2.5 millones de barriles de aceite por día. El impacto de la decisión de Irak
de no vender, puede evaluarse asumiendo que la curva del suministro de petróleo en la Figura 1 cambio
de S a S ' cuya ecuación se da por:
Qo = (55 – 2.5 ) + 0.6 P
Repitiendo el procedimiento algebraico para encontrar el nuevo equilibrio a partir de la nueva función de
oferta, es como se muestra:
Qo = 52.5 + 0.6 P
Qd = 80 – 0.4 P
P = 27.50
y
los valores para P y Q de equilibrio son:
Q = 69
como se muestra en Figura 1. La reducción en el suministro del crudo subió el precio y disminuyó el
consumo. El precio más alto causó que los productores de la OPEP no proporcionaran aproximadamente
0.5 millones de barriles adicionales.
FIGURA 1. Efecto en la reducción de la producción mundial de petróleo por la OPEP
Análisis del
equilibrio en Excel
S’
Precio
($/barril)
Click Aquí
S
32
30
28
●
26
●
24
22
20
D
66
68
70 68
70
72
74
(millones Q
barriles)
Cálculo Diferencial
(La derivada)
Definición:
Para una función dada (f), la derivada (f ’ ) se designa a menudo por:
No hace falta decir que las distintas partes de esta expresión carecen de todo significado cuando se
consideran separadamente; las d no son números, no pueden simplificarse, y la expresión completa no
es el cociente de otros dos números df (x) y dx. Esta notación se debe a Leibniz (generalmente
considerado como el codescubridor independiente del cálculo infinitesimal junto con Newton) y es
llamada afectivamente notación de Leibniz.
La derivada de y = f (x) con respecto a x se puede representar por uno cualquiera de los símbolos:
Ayres, 23)
(En otras palabras, la derivada de una función en un punto nos da la pendiente de la tangente de dicha
función en ese punto)
Antecedentes
La diferencial de una función surgió históricamente del concepto de 'indivisible'. Este
concepto, que desde un punto de vista moderno nunca estuvo muy claramente definido, era
en su tiempo (en el siglo XVIII) fundamental en el análisis matemático. Las ideas referentes
a él sufrieron cambios esenciales en el transcurso de varios siglos.
Los indivisibles, y más tarde la diferencial de una función, se representaban como
verdaderos valores infinitésimos, como algo de magnitud constante extremadamente
pequeña, que sin embargo no era cero.
La definición dada en esta sección es la aceptada en el análisis moderno. De acuerdo con
esta definición, la diferencial es una magnitud finita para cada incremento Δx, y al mismo
tiempo proporcional a Δ x.
La otra propiedad fundamental de la diferencial, el carácter de su diferencia respecto a Δy,
sólo puede reconocerse 'en movimiento', por así decirlo: si consideramos un incremento Δx
que se aproxima a cero (que sea un infinitésimo), entonces la diferencia entre dy e Δy será
tan pequeña como se desee incluso comparada con Δx. (Aleksandrov, 1, 152)]
Fórmulas de derivación
En las fórmulas siguientes u, v y w son funciones derivables de X.
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
Ejemplos:
Dada la función
y = f(x),
Encontrar la derivada de las siguientes funciones:
a.
y(x) = x3 + x2 + x + 1
b.
y(x) = 3/2 (x2) + x
c.
y(x) = π x3 + π/2 (x2) + x + 1
d.
y(x) = x / (x2 + 1)
Solución:
a) f´(x) = m x m-1 = 3 x 3-1 + 2 x 2-1 + 1 x 1-1 + 0 = 3x2 + 2x + 1
b) f´(x) = 3/2(2) x 2-1 + x 1-1 = 3 x 2-1 + 1 = 3x + 1
c) f´(x) = 3π x3-1 + 2/2 π x 2-1 + x 1-1 + 1 = 3 π x 2 + π x + 1
d) f´(x) = (x2 +1) d (x) - x d (x2 +1) =
(x2 +1)2
(x2 - 2x2 +1 ) =
1 - x2
x4 + 2x2 + 1
(x4 + 2x2 + 1)