Transcript Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS (MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS)

Unidad 2: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE
ORDEN SUPERIOR
ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS
(MÉTODO DE VARIACIÓN DE
PARÁMETROS)
Introducción
Para adaptar el método de variación de
parámetros a una ecuación diferencial de
segundo orden: a2 ( x) y´´a1( x) y´a0 ( x) y  g( x)
primeramente se debe escribir la ecuación en
la forma estándar y´´ P( x) y´Q( x) y  f ( x)
 Esta última ecuación es la análoga de segundo
orden de la forma estándar de una ecuación
lineal de primer orden y´ P( x) y  f ( x)

Suposiciones
Al resolver una EDLNH de primer orden, se
supuso que yp=u(x)y1(x).
 Supondremos ahora que la forma de la solución
para la ecuación de orden 2 es
yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x).
Al utilizar la regla del producto para diferenciar
dos veces yp se obtiene:

yp´= u1y1´+y1u1´+u2y2´+y2u2´
yp´´= u1y1´´+y1´u1´+y1u1´´+u1´y1´+u2y2´´+y2´u2´+y2u2´´+ u2´y2´
Suposiciones…
Al sustituir yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x) y sus
derivadas en la ecuación y´´ P( x) y´Q( x) y 
tenemos:


Cero
f ( x)
Cero







 
y p  P( x ) y p  Q( x ) y p  u1[ y1  Py1  Qy1 ]  u2 [ y2  Py2  Qy2 ]  y1u1  u1 y1

 


 
 
 y2u2  u2 y2  P[ y1u1  y2u2 ]  y1 u1  y2 u2
d
d






[ y1u1 ]  [ y2u2 ]  P[ y1u1  y2u 2 ]  y1u1  y2u 2
dx
dx
d






 [ y1u1  y2u2 ]  P[ y1u1  y2u 2 ]  y1u1  y2u2
dx

De donde:
d






[ y1u1  y2u2 ]  P[ y1u1  y2u2 ]  y1u1  y2u2  f ( x )
dx
Suposiciones…
Como se busca determinar dos funciones
desconocidas u1 y u2, es necesario tener dos
ecuaciones.
 Estas dos ecuaciones se obtienen con la
suposición adicional de que u1 y u2 satisfacen:


y1u1  y2u 2  0
Con ello la ecuación
d






[ y1u1  y2u2 ]  P[ y1u1  y2u2 ]  y1u1  y2u2  f ( x )
dx
Se reduce a:


y1u1  y2u 2  f (x )
Suposiciones…

Ahora se cuenta con las dos ecuaciones


deseadas
y1u1  y2u2  0


y1u1  y2u2  f (x)
Por la regla de Cramer la solución del sistema
de ecuaciones puede expresarse en términos
de determinantes:
y f ( x)
 W
u1  1   2
W
W
donde:
y1
W
y1´
y2
,
y2 ´
y
0
W1 
f ( x)
y f ( x)
 W
u2  2  1
W
W
y2
,
y2 ´
y1
W2 
y1´
0
.
f ( x)
Suposiciones…
Finalmente se encuentran u1 y u2 integrando los
resultados anteriores.
 Con ello:

y 2 f ( x)
u1   
dx
W
y
u2  
y1 f ( x )
dx
W
Resumen del método

Para resolver la EDLNH en forma estándar:
y´´ + P(X)y´ + Q(x)y = f(x)
Se resuelve la EDLH asociada de la EDLNH
original, para determinar la solución
homogénea yh=c1y1(x)+c2y2(x).
 Se supone que la solución particular de la
EDLNH se puede obtener a partir de la
solución de la EDLH variando los
parámetros, esto es: suponiendo que
yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x).

Resumen del método…

Sustituyendo esta última ecuación en la
EDLNH original, con el propósito de obtener
las funciones desconocidas u1(x) y u2(x),
obtenemos después de arreglar términos, el
sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas


y1u1  y2u2  0


y1u1  y2u2  f (x)

Resolviendo este sistema de ecuaciones
simultaneas por la Regla de Cramer
Resumen del método…
0
y2
y f ( x)
 f ( x ) y2 ´
u1 
 2
y1 y2
W
y1´ y2 ´

y
y1
0
 y1´ f ( x ) y1 f ( x )
u2 

y1 y2
W
y1´ y2´
Integramos estas dos ecuaciones para
obtener u1(x) y u2(x).
y 2 f ( x)
u1   
dx
W
y
u2  
y1 f ( x )
dx
W
Sustituimos estas dos funciones en la
solución propuesta yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x).
 Sumamos las dos soluciones, así: y=yh+yp.

Ejemplo

Resuelva 4y´´+36y=Csc(3x)
La forma estándar de la EDLNH es:
y´´-9y=(1/4)Csc(3x)
 La ecuación auxiliar m2+9 tiene raíces
conjunadas m1=3i y m2=-3i, por ello:
yh=c1Cos(3x)+c2Sen(3x).
 Con y1=Cos(3x), y2=Sen(3x) y f(x)=(1/4) Csc(3x)
se obtiene:

Ejemplo…
Cos3x
Sen3x
W (Cos3x, Sen3 x ) 
3
 3Sen3x 3Cos3x
0
Sen3x
1
W1  1

Csc 3x 3Cos3x
4
4
Cos3x
0
1 Cos3 x
1
W2 

 3Sen3x
Csc 3 x 4 Sen3 x
4

A partir de esto:
1
1

4
u1 

3
12

y
1 Cos3x
1 Cos3x
 4 Sen3x
u2 

3
12 Sen3x
Ejemplo…

Integrando:
u1  

1
x
dx 
12
12
u2  
1 Cos 3x
1
dx 
ln Sen 3x
12 Sen 3x
36
Con esto:
y p  u1 y1  u 2 y 2 

y
x
1
Cos 3x  ln Sen 3x Sen 3x
12
36
Y finalmente, como:
yh  c1Cos3 x  c2 Sen3x
x
1
Cos3 x  ln Sen3 x Sen3 x
12
36
x
1
y  c1Cos3 x  c2 Sen3x  Cos3x  ln Sen3x Sen3x
12
36
yp 
Generalización del
método

Para resolver la EDLNH en forma estándar:
y(n)+Pn-1(X)y(n-1)+ P1(x)y´+P0(x)y= f(x)
Se resuelve la EDLH asociada de la EDLNH
original, para determinar la solución
homogénea yh=c1y1(x)+c2y2(x)+ …+ cnyn(x)
 Se supone que la solución particular de la
EDLNH se puede obtener a partir de la
solución de la EDLH variando los
parámetros, esto es: suponiendo que
yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x)+ … +un(x)yn(x)

Generalización del
método…

Sustituyendo esta última ecuación en la
EDLNH original, con el propósito de obtener
las funciones desconocidas u1(x) y u2(x), ...
un(x),, obtenemos después de arreglar
términos, el sistema de n ecuaciones con n
incógnitas y u ´ y u ´ y u ´...  y u ´ 0
1 1
2
2
3 3
n
n
y1´u1´ y 2 ´u 2 ´ y 3 ´u 3 ´...  y n ´u n ´ 0
y1´´u1´ y 2 ´´u 2 ´ y 3 ´´u 3 ´...  y n ´´u n ´ 0

y1 u1´ y 2 u 2 ´ y 3 u 3 ´...  y n u n ´ f ( x )
(n)
(n)
(n)
(n)
Generalización del
método…

Resolviendo este sistema de ecuaciones
simultaneas por la Regla de Cramer
0
y2
0
y2 ´


(n)
f
(
x
)
y

2
u1 
y1
y2
y1´
y2 ´


(n)
(n)
y1
y2
 yn
 yn ´


(n)
 yn

, u2 
 yn
 yn ´


(n)
 yn
y1
y1´

(n)
y1
y1
y1´

(n)
y1
0
0

f ( x)
y2
y2 ´

(n)
y2
 yn
 yn ´


(n)
 yn

,..., un 
 yn
 yn ´


(n)
 yn
y1
y1´

(n)
y1
y1
y1´

(n)
y1
y2
y2 ´

(n)
y2
y2
y2 ´

(n)
y2

0

0


 f ( x)
 yn
 yn ´


(n)
 yn
Generalización del
método…
Integramos estas las ecuaciones para obtener
u1(x) y u2(x), …, un(x).
 Sustituimos estas n funciones en la solución
propuesta yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x)+ un(x)yn(x).
 Sumamos las dos soluciones, así: y=yh+yp.

Problemas

Resuelva las siguientes ecuaciones
diferenciales:
y   y  Secx
1
y   3 y   2 y 
1 ex
y   y   Tanx