Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS (MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS)
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Unidad 2: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE
ORDEN SUPERIOR
ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS
(MÉTODO DE VARIACIÓN DE
PARÁMETROS)
Introducción
Para adaptar el método de variación de
parámetros a una ecuación diferencial de
segundo orden: a2 ( x) y´´a1( x) y´a0 ( x) y g( x)
primeramente se debe escribir la ecuación en
la forma estándar y´´ P( x) y´Q( x) y f ( x)
Esta última ecuación es la análoga de segundo
orden de la forma estándar de una ecuación
lineal de primer orden y´ P( x) y f ( x)
Suposiciones
Al resolver una EDLNH de primer orden, se
supuso que yp=u(x)y1(x).
Supondremos ahora que la forma de la solución
para la ecuación de orden 2 es
yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x).
Al utilizar la regla del producto para diferenciar
dos veces yp se obtiene:
yp´= u1y1´+y1u1´+u2y2´+y2u2´
yp´´= u1y1´´+y1´u1´+y1u1´´+u1´y1´+u2y2´´+y2´u2´+y2u2´´+ u2´y2´
Suposiciones…
Al sustituir yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x) y sus
derivadas en la ecuación y´´ P( x) y´Q( x) y
tenemos:
Cero
f ( x)
Cero
y p P( x ) y p Q( x ) y p u1[ y1 Py1 Qy1 ] u2 [ y2 Py2 Qy2 ] y1u1 u1 y1
y2u2 u2 y2 P[ y1u1 y2u2 ] y1 u1 y2 u2
d
d
[ y1u1 ] [ y2u2 ] P[ y1u1 y2u 2 ] y1u1 y2u 2
dx
dx
d
[ y1u1 y2u2 ] P[ y1u1 y2u 2 ] y1u1 y2u2
dx
De donde:
d
[ y1u1 y2u2 ] P[ y1u1 y2u2 ] y1u1 y2u2 f ( x )
dx
Suposiciones…
Como se busca determinar dos funciones
desconocidas u1 y u2, es necesario tener dos
ecuaciones.
Estas dos ecuaciones se obtienen con la
suposición adicional de que u1 y u2 satisfacen:
y1u1 y2u 2 0
Con ello la ecuación
d
[ y1u1 y2u2 ] P[ y1u1 y2u2 ] y1u1 y2u2 f ( x )
dx
Se reduce a:
y1u1 y2u 2 f (x )
Suposiciones…
Ahora se cuenta con las dos ecuaciones
deseadas
y1u1 y2u2 0
y1u1 y2u2 f (x)
Por la regla de Cramer la solución del sistema
de ecuaciones puede expresarse en términos
de determinantes:
y f ( x)
W
u1 1 2
W
W
donde:
y1
W
y1´
y2
,
y2 ´
y
0
W1
f ( x)
y f ( x)
W
u2 2 1
W
W
y2
,
y2 ´
y1
W2
y1´
0
.
f ( x)
Suposiciones…
Finalmente se encuentran u1 y u2 integrando los
resultados anteriores.
Con ello:
y 2 f ( x)
u1
dx
W
y
u2
y1 f ( x )
dx
W
Resumen del método
Para resolver la EDLNH en forma estándar:
y´´ + P(X)y´ + Q(x)y = f(x)
Se resuelve la EDLH asociada de la EDLNH
original, para determinar la solución
homogénea yh=c1y1(x)+c2y2(x).
Se supone que la solución particular de la
EDLNH se puede obtener a partir de la
solución de la EDLH variando los
parámetros, esto es: suponiendo que
yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x).
Resumen del método…
Sustituyendo esta última ecuación en la
EDLNH original, con el propósito de obtener
las funciones desconocidas u1(x) y u2(x),
obtenemos después de arreglar términos, el
sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas
y1u1 y2u2 0
y1u1 y2u2 f (x)
Resolviendo este sistema de ecuaciones
simultaneas por la Regla de Cramer
Resumen del método…
0
y2
y f ( x)
f ( x ) y2 ´
u1
2
y1 y2
W
y1´ y2 ´
y
y1
0
y1´ f ( x ) y1 f ( x )
u2
y1 y2
W
y1´ y2´
Integramos estas dos ecuaciones para
obtener u1(x) y u2(x).
y 2 f ( x)
u1
dx
W
y
u2
y1 f ( x )
dx
W
Sustituimos estas dos funciones en la
solución propuesta yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x).
Sumamos las dos soluciones, así: y=yh+yp.
Ejemplo
Resuelva 4y´´+36y=Csc(3x)
La forma estándar de la EDLNH es:
y´´-9y=(1/4)Csc(3x)
La ecuación auxiliar m2+9 tiene raíces
conjunadas m1=3i y m2=-3i, por ello:
yh=c1Cos(3x)+c2Sen(3x).
Con y1=Cos(3x), y2=Sen(3x) y f(x)=(1/4) Csc(3x)
se obtiene:
Ejemplo…
Cos3x
Sen3x
W (Cos3x, Sen3 x )
3
3Sen3x 3Cos3x
0
Sen3x
1
W1 1
Csc 3x 3Cos3x
4
4
Cos3x
0
1 Cos3 x
1
W2
3Sen3x
Csc 3 x 4 Sen3 x
4
A partir de esto:
1
1
4
u1
3
12
y
1 Cos3x
1 Cos3x
4 Sen3x
u2
3
12 Sen3x
Ejemplo…
Integrando:
u1
1
x
dx
12
12
u2
1 Cos 3x
1
dx
ln Sen 3x
12 Sen 3x
36
Con esto:
y p u1 y1 u 2 y 2
y
x
1
Cos 3x ln Sen 3x Sen 3x
12
36
Y finalmente, como:
yh c1Cos3 x c2 Sen3x
x
1
Cos3 x ln Sen3 x Sen3 x
12
36
x
1
y c1Cos3 x c2 Sen3x Cos3x ln Sen3x Sen3x
12
36
yp
Generalización del
método
Para resolver la EDLNH en forma estándar:
y(n)+Pn-1(X)y(n-1)+ P1(x)y´+P0(x)y= f(x)
Se resuelve la EDLH asociada de la EDLNH
original, para determinar la solución
homogénea yh=c1y1(x)+c2y2(x)+ …+ cnyn(x)
Se supone que la solución particular de la
EDLNH se puede obtener a partir de la
solución de la EDLH variando los
parámetros, esto es: suponiendo que
yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x)+ … +un(x)yn(x)
Generalización del
método…
Sustituyendo esta última ecuación en la
EDLNH original, con el propósito de obtener
las funciones desconocidas u1(x) y u2(x), ...
un(x),, obtenemos después de arreglar
términos, el sistema de n ecuaciones con n
incógnitas y u ´ y u ´ y u ´... y u ´ 0
1 1
2
2
3 3
n
n
y1´u1´ y 2 ´u 2 ´ y 3 ´u 3 ´... y n ´u n ´ 0
y1´´u1´ y 2 ´´u 2 ´ y 3 ´´u 3 ´... y n ´´u n ´ 0
y1 u1´ y 2 u 2 ´ y 3 u 3 ´... y n u n ´ f ( x )
(n)
(n)
(n)
(n)
Generalización del
método…
Resolviendo este sistema de ecuaciones
simultaneas por la Regla de Cramer
0
y2
0
y2 ´
(n)
f
(
x
)
y
2
u1
y1
y2
y1´
y2 ´
(n)
(n)
y1
y2
yn
yn ´
(n)
yn
, u2
yn
yn ´
(n)
yn
y1
y1´
(n)
y1
y1
y1´
(n)
y1
0
0
f ( x)
y2
y2 ´
(n)
y2
yn
yn ´
(n)
yn
,..., un
yn
yn ´
(n)
yn
y1
y1´
(n)
y1
y1
y1´
(n)
y1
y2
y2 ´
(n)
y2
y2
y2 ´
(n)
y2
0
0
f ( x)
yn
yn ´
(n)
yn
Generalización del
método…
Integramos estas las ecuaciones para obtener
u1(x) y u2(x), …, un(x).
Sustituimos estas n funciones en la solución
propuesta yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x)+ un(x)yn(x).
Sumamos las dos soluciones, así: y=yh+yp.
Problemas
Resuelva las siguientes ecuaciones
diferenciales:
y y Secx
1
y 3 y 2 y
1 ex
y y Tanx