I. Municipalidad de Providencia Liceo Tajamar Prof: María Cecilia Palma Valenzuela

Profesora : María Cecilia Palma Valenzuela Fecha: 15/08/2011 Unidad Temática: Sistemas de Ecuaciones Lineales Contenido: Diversos métodos de Resolución Analítica de sistemas de ecuaciones lineales Objetivos de Aprendizaje: 1) Conocen y aplican diversos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones 2) Plantean y resuelven sistemas de ecuaciones con dos incógnitas Observación: Estimadas alumnas las dudas en relación a los contenidos y los ejercicios pueden hacerla en el correo [email protected]

Inicio revisión desde el 22/08/2011

SISTEMAS DE ECUACIONES DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Técnicas de resolución

Objetivo nº1

Resuelven analíticamente sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Método de igualación

1) Resolución por igualación

• • Debemos que resolver el sistema: • esto significa, encontrar el punto de intersección entre las rectas dadas, de las cuales se conoce su ecuación

Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un sistema equivalente (en este caso elegimos y):

Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los segundos también lo son, por lo tanto:

Reemplazar el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la segunda):

y=2

•Verificar, en ambas ecuaciones, para saber si •realmente (x ; y) = (4;2):

4(4) + 3(2) = 22 16 + 6 = 22 22 = 22 2(4) + 5(2) = 18 8 + 10 = 18 18 = 18

• • Ahora sí, podemos asegurar que

x= 4 e y = 2

• •

Actividad nº1 : RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS:

1) 4x + 5y = 3 6x – 10y = 1 • 2) 4(x + 2) = -6y 3(y + 2x) = 0 • 3) y(x – 3) – x(y – 2) = 14 x(y + 9) – y(x – 6) = -54

Trabajen estos ejercicios con su grupo de compañeras de estudios

• • • • 1) Respuesta : x = ½ , y= 1 /5 2) Respuesta : x = 1 , y = - 2 3) Respuesta : x = - 2 , y = - 6 ¿Tienen dudas de la materia revisada hasta ahora?

¿Qué hemos aprendido hasta ahora?

• • ¿Podríamos usar este método en todas las situaciones en que se nos presenten sistemas de ecuaciones?

Si, pero existen otros métodos de resolución analítica de los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, éstos los veremos en las clases siguientes.

Objetivo nº2

Resuelven analíticamente sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Método de sustitución

Estrategias

• • • • 1) Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y en la primera ecuación): Ejemplo :

Y, la reemplazamos en la otra ecuación: Operamos para despejar la única variable existente ahora: 56

Reemplazando el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos arbitrariamente la primera): Hallamos la respuesta x=4, y = 2, obviamente igual que en el caso anterior. No verificaremos, dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta.

Resuelvan los siguientes sistemas:

Trabajen estos ejercicios con sus compañeras de grupo.

• • 1) (x+3)(y+5)-(x+1)(y+8) = 0 (x-10)(y-1)+(x-9)(3-y) = 0 2)

x y x y

    1 2 3 5  6  1 4 • 3)

• • • • •

Trabajen estos ejercicios a nivel grupal, comparen sus resultados y si se presentan diferencias, revisen detalladamente paso a paso .

1) Respuesta : x = 27 , y = 37 2) Respuesta : x = 5 , y = 3 3) Respuesta : x = 5 , y = - 4 ¿ha quedado alguna duda en lo estudiado?

Consulten si hay dudas al correo enviado al inicio F I N MARÍA CECILIA PALMA VALENZUELA

Objetivo nº3

Resuelven analíticamente sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Método de reducción

Estrategias

• • 1) El objetivo es eliminar una de las incógnitas, dejándolas inversas aditivas, sabiendo que una igualdad no cambia si se la multiplica por un número.

2) También sabemos que una igualdad no se cambia si se le suma otra igualdad.

Resolver el sistema:

• •

Si se quiere eliminar la x, ¿por qué número debo multiplicar a la segunda ecuación, para que al sumarla a la primera se obtenga cero?

La respuesta es -2. Veamos: • Con lo que obtenemos:

sumando ambas ecuaciones se obtiene -7y = -14 / ·(- 1) entonces y = 2

• •

Luego al reemplazar el valor obtenido de y en la primera ecuación tenemos : Finalmente para hallar el valor de x, se despeja en la ecuación y se tiene que :

Ejercicios:

Resuelve por este método:

2) 2x – 3y = -7 x : y = 4 : 5 3 ) 2 3

x

 3 5

y

 7 3 4

x

 2 3

y

  1

Trabajen estos ejercicios con sus compañeras integrantes del grupo y comparen sus resultados

• 1) Respuesta : x = 2 , y = 4 • 2) Respuesta : x = 4, y = 5 • 3) Respuesta : x = , y = • • ¿Hay dudas de la materia?

Pueden consultar al correo donde debes enviar tus respuestas F I N MARÍA CECILIA PALMA VALENZUELA

Objetivo nº4 • Resuelven problemas de aplicación de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas usando cualquier método o técnica de resolución vistas anteriormente

• • • • • • • • • • •

Ejemplo nº1

Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es de 90 . Los ángulos x e y son complementarios y el ángulo x mide 24 más que el ángulo y. Determine los ángulos x e y. Solución: Una ecuación la podemos plantear considerando el hecho de que x e y son complementarios : x + y = 90. La segunda la obtenemos del hecho de que el ángulo x mide 24 más que el ángulo y : x = y + 24 Tenemos entonces el siguiente sistema: x + y = 90 (1)

x = y + 24 (2)

Restando y en ambos miembros de la ecuación (2) y sumando las ecuaciones resultantes, para resolver mediante reducción.

(+) x + y = 90 x – y = 24 2 x = 11 x = 57 Si ahora sustituimos x = 57 en la ecuación (1), tendremos: 57 + y = 90 y = 90 – 57 y = 33

Los ángulos son : x = 57 e y = 33 .

• • • • •

Observación: En ciencias y en otras áreas se utilizan con frecuencia ecuaciones, para resolver problemas, los cuales nos llevan a plantearnos sistemas, como en el siguiente ejemplo Ejemplo

2:Un vitivinicultor desea fortalecer un vino que contiene 10% de alcohol agregándole algo de solución acuosa con 70% de alcohol, la mezcla obtenida de esta forma, debe tener una concentración alcohólica de 16%, y se deben llenar 1.000 botellas de 1 litro .¿Cuántos litros de vino y de solución de alcohol debe usar?

Solución :

Designamos X = nº de litros de vino ; Y = nº de litros de solución de alcoh

ol

En la siguiente tabla, organizamos la información Volumen Porcentaje de alcohol Cantidad de alcohol

Vino

X 10% 0,1 x

Solución de alcohol

Y 70% 0,7y

Mezcla resultante

1000 16% 0,16 · 1000 El volumen de la mezcla debe ser igual a la suma de los volúmenes que se usarán, entonces : x + y = 1000

• • • • • • • Análogamente, la cantidad de alcohol en la mezcla debe ser igual a la suma del alcohol que aportan el vino y la solución de alcohol, luego: 0,1 x + 07 y = 0,16 · 1000 0,1 x + 0,7y = 160 / · 10

x + 7 y = 1600

Por lo tanto, tenemos el sistema: x + y = 1000 (1) Restando : (2) – (1) se tiene 6y = 600 Reemplazando y = 100 en (1) , tenemos x = 900. Por lo tanto: x + 7y = 1600 (2)

y = 100 El vitivinicultor debe usar 900L de vino y 100L de alcohol.

• • ¿Ha quedado alguna duda?

Si hay dudas consultar al correo de envío de respuestas

• • • • • •

Ejercicios

1) La suma de dos números es 34 y su diferencia es 10. Encuentre los números. Respuesta: 22 y 12 2) Repartir $1080 entre dos personas P y Q, de modo que P reciba 1008 más que Q.

Respuesta : P = 1044 y Q = 36 3) En un corral hay conejos y gallinas. Si entre ellos hay 121 cabezas y 338 patas, encuentre el nº de conejos y de gallinas que hay en el corral Respuesta : 48 = conejos y 73 = gallinas F I N MARÍA CECILIA PALMA VALENZUELA