TEMA 1 – SISTEMAS ECUACIONES LINEALES 1.1 – Ecuación lineal Matemáticas 2º Bach. 1.1.1 – DEFINICIÓN: Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado.
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TEMA 1 – SISTEMAS ECUACIONES LINEALES 1.1 – Ecuación lineal Matemáticas 2º Bach. 1.1.1 – DEFINICIÓN: Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas. a 1 .x1 a 2 .x 2 ... a n .x n b coeficientes incógnitas Término independiente TEMA 1 – SISTEMAS ECUACIONES LINEALES 1.1 – Ecuación lineal Matemáticas 2º Bach. 1.1.2 – ECUACIONES EQUIVALENTES Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución o soluciones. “Si a los dos miembros de una ecuación los multiplicamos o dividimos por un mismo número, distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente a la primera.” 4 x 8 y 12 2 x 4 y 6 x 2 y 3 ..... TEMA 1 – SISTEMAS ECUACIONES LINEALES 1.1 – Ecuación lineal Matemáticas 2º Bach. 1.1.3 – RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Resolver una ecuación es hallar el valor o valores de las incógnitas que la cumplen. Llamamos grados de libertad o de incertidumbre al número de incógnitas menos uno y es el número de parámetros que debemos utilizar para resolver la ecuación. Solución general 5 2x 5 g.l 0 x !solución 2 x 2x y 5 g.l 1 R Existen infinitas soluciones y 2 5 x 2 x 5 y z 5 g.l 2 y , R inf inita soluciones z 5 2 5 Soluciones particulares: Dándoles valores a los parámetros obtenemos las soluciones particulares. TEMA 1 – SISTEMAS ECUACIONES LINEALES 1.1 – Ecuación lineal 2º Bach. 1.1.4 – INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA • Dos incógnitas: ax + by = c Una recta en el plano • Tres incógnitas: ax + by + cz = d Un plano en el espacio • Más de tres incógnitas Matemáticas “Hiperplanos” TEMA 1 – SISTEMAS ECUACIONES LINEALES 1.2 – Sistemas de ecuaciones lineales Matemáticas 2º Bach. 1.2.1 - DEFINICIÓN Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como: m ecuaciones a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2 ........................................................... am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm términos independientes n incógnitas incógnitas Coeficientes del sistema TEMA 1 – SISTEMAS ECUACIONES LINEALES 1.1 – Sistemas de ecuaciones lineales Matemáticas 2º Bach. 1.2.2 – SOLUCIÓN DE UN SISTEMA a 11 .x 1 a 12 .x 2 ... a 1n .x n b1 a .x a .x ... a .x b 21 1 22 2 2n n 2 ....... a m1 .x 1 a m 2 .x 2 ... a mn .x n b m Una solución de un sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, s3, ... , sn) tales que a 11 .s1 a 12 .s 2 ... a 1n .s n b1 a .s a .s ... a .s b 21 1 22 2 2n n 2 ....... a m1 .s1 a m 2 .s 2 ... a mn .s n b m Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones o decidir que no tiene ninguna TEMA 1 – SISTEMAS ECUACIONES LINEALES 1.2 – Sistemas de ecuaciones lineales 1.2.3 - SOLUCIONES Matemáticas 2º Bach. Incompatible Sin solución Sistemas de ecuaciones lineales Determinado Solución única Compatible Con solución Indeterminado Infinitas soluciones • Discutir un sistema es decidir a cuál de estas tres categorías pertenece • Un sistema de ecuaciones lineales no puede tener exactamente dos soluciones, tres soluciones, cuatro soluciones, ... TEMA 1 – SISTEMAS ECUACIONES LINEALES 1.3 – Sistema homogéneo Matemáticas 2º Bach. • Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos independientes son 0. • En caso contrario se dice que es no homogéneo. a 11 .x 1 a 12 .x 2 ... a 1n .x n 0 a .x a .x ... a .x 0 21 1 22 2 2n n ....... a m1 .x 1 a m 2 .x 2 ... a mn .x n 0 • Estos sistemas son siempre compatibles ya que x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0 llamada solución trivial, es siempre solución del sistema. • Será determinado si ésta es la única solución del sistema. TEMA 1 – SISTEMAS ECUACIONES LINEALES 1.4 – Sistemas equivalentes Matemáticas 2º Bach. • Sistemas equivalentes: dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen las mismas soluciones. (Es necesario que tengan el mismo número de incógnitas. • Para resolver un sistema es útil convertirlo en otro equivalente que sea fácilmente resoluble.(Sistemas escalonados) Transformaciones que convierten un sistema en otro equivalente: I. Intercambiar entre sí dos ecuaciones II. Multiplicar ambos miembros de una ecuación por un número distinto de cero. III. Sumar miembro a miembro una ecuación a otra ecuación. TEMA 1 – SISTEMAS ECUACIONES LINEALES 1.5 – Sistemas escalonados Matemáticas 2º Bach. Un sistema escalonado es aquel en el que los coeficientes de la incógnitas situados por debajo de la diagonal principal (elementos que repiten subíndice) son nulos. x y 2z 9 x y 2z 9 0 x 3 y 8 z 14 3y 8z 14 0 x 0 y 2z 5 2z 5 Los sistemas escalonados son fácilmente resolubles (De abajo a arriba) • Sistema escalonado compatible determinado x y 2z 9 3y 8z 14 2z 5 (x,y,z) = (6,-2,-5/2) x 9 y 2z 9 2 5 6 14 8z 14 20 y 2 3 3 5 z 2 TEMA 1 – SISTEMAS ECUACIONES LINEALES Matemáticas 1.5 – Sistemas escalonados 2º Bach. • Sistemas escalonados compatibles indeterminados x y 2z 9 3y 8z 14 8 14 13 2 x 9 y 2 z 9 2 3 3 8z 14 8 14 y 3 3 z 13 2 8 14 ( x , y, z ) , , 3 3 R TEMA 1 – SISTEMAS ECUACIONES LINEALES 1.5 – Sistema escalonado Matemáticas 2º Bach. • Sistemas incompatibles x y 2z 9 0 x 3y 8z 14 0 x 0 y 0z 5 x y 2z 9 3y 8z 14 0 5 Este sistema es incompatible porque no hay ninguna solución (x, y, z) que pueda cumplir la tercera ecuación (la última ecuación no tiene sentido) TEMA 1 – SISTEMAS ECUACIONES LINEALES 1.6 – Método de Gauss Matemáticas 2º Bach. Para convertir un sistema como: a 11 .x 1 a 12 .x 2 a 13 .x 3 b1 a 21 .x 1 a 22 .x 2 a 23 .x 3 b 2 a .x a .x a .x b 31 1 32 2 33 3 3 en un sistema escalonado, se pueden dar los siguientes pasos: I. Si es necesario reordenar ecuaciones para que a11 sea distinto de cero. II. Dividir la primera ecuación por a11 y restar a cada ecuación un múltiplo de la primera para eliminar todos los elementos que quedan por debajo de a11x1. III. Repetir los pasos anteriores basados ahora en a22 (y si es necesario en cada aii) IV. El proceso termina cuando no quedan más ecuaciones. Nota: Si al hacer Gauss queda un “cuadrado” hay que seguir haciendo ceros. TEMA 1 – SISTEMAS ECUACIONES LINEALES 1.6 – Gauss: Compatible determinado Matemáticas 2º Bach. 1 1 2 9 1 1 2 9 x y 2z 9 4 0 3 8 14 2 x y 4 z 4 2 1 4 2 1 6 1 0 3 10 19 2 x y 6 z 1 F3 F3 F2 F2 F2 2F1 Hacer ceros F3 F3 2F1 Hacer ceros x 9 y 2z 9 2 5 6 1 1 2 9 x y 2z 9 14 8z 14 20 0 3 8 14 3 y 8 z 14 2 y 3 3 0 0 2 5 2z 5 5 z 2 Clasificación: Sistema compatible determinado !solución Solución: (x,y,z) = (6,-2,-5/2) Interpretación geométrica: Tres planos que se cortan en un punto. TEMA 1 – SISTEMAS ECUACIONES LINEALES Matemáticas 1.6 – Gauss: Compatible indeterminado 2º Bach. x y 2z 9 2 x y 4 z 4 4 x y 22 1 1 2 9 1 1 2 9 2 1 4 4 0 3 8 14 4 1 0 3 8 14 0 22 F3 F3 F2 F2 F2 2F1 Hacer ceros F3 F3 4F1 Hacer ceros 8 14 13 2 x 9 y 2 z 9 2 1 1 2 9 3 3 x y 2z 9 0 3 8 14 8z 14 8 14 3 y 8 z 14 y 0 0 0 0 3 3 z Clasificación: Sistema Compatible indeterminado . Infinitas soluciones 13 2 8 14 ( x , y , z ) , , R Solución: 3 3 Interpretación geométrica: Tres planos que se cortan en una recta TEMA 1 – SISTEMAS ECUACIONES LINEALES Matemáticas 1.6 – Gauss: Incompatible 2º Bach. 1 1 2 9 1 1 2 9 x y 2z 9 4 0 3 8 14 2 x y 4 z 4 2 1 4 2 1 4 1 0 3 8 19 2 x y 4z 1 F3 F3 F2 F2 F2 2F1 Hacer ceros 1 1 2 9 0 3 8 14 0 0 0 5 F3 F3 2F1 Hacer ceros x y 2z 9 3y 8z 14 0 5 Clasificación: Sistema Incompatible Solución: No existe solución Interpretación geométrica: Tres planos que no se cortan TEMA 1 – SISTEMAS ECUACIONES LINEALES 1.6 – Gauss : Caso especial x y z 3 2 x 2 y z 5 3x 3y z 5 1 0 0 1 0 0 3 1 1 0 0 1 2º Bach. 1 1 1 3 2 2 1 5 3 3 1 5 Hacer ceros 3 1 1 1 0 0 1 1 0 0 4 4 F2 F2 2F1 F3 F3 3F1 Matemáticas F3 F3 4F2 Hacer ceros x 2 x y z 3 y - z -1 z 1 Clasificación: Sistema Compatible indeterminado . Infinitas soluciones Solución: (x,y,z) = (2 - , , 1) R Interpretación geométrica: Tres planos que se cortan en una recta TEMA 1 – SISTEMAS ECUACIONES LINEALES 1.7– Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones lineales Matemáticas 2º Bach. 1.º Se identifican las incógnitas. 2.º Se expresa el enunciado del problema mediante sistemas de ecuaciones. 3.º Se resuelve el sistema. 4.º Se comprueba que las soluciones del sistema tienen sentido con respecto al enunciado del problema. TEMA 1 – SISTEMAS ECUACIONES LINEALES 1.8– Sistemas con parámetros Matemáticas 2º Bach. 1.º Se ordenan las ecuaciones e incógnitas: El parámetro lo más abajo y la derecha posible. 2.º Se aplica el método de Gauss teniendo en cuenta que la fila que cambiamos no podemos multiplicarla por el parámetro 3.º Se igualan por separado los elementos de la diagonal a cero 4.º Un caso más que el número de valores del parámetro.