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SISTEMAS DE
ECUACIONES
MÉTODOS: SUSTITUCIÓN,
IGUALACIÓN Y REDUCCIÓN
Quini Carrera
Dpto. de Matemáticas
IES Prof. Juan Bautista
El Viso del Alcor
RECUERDA
Ya sabemos:
- lo que son ecuaciones (igualdad entre dos expresiones
algebraicas; en estas hay algún/as cantidades desconocidas, que se
representan con letras),
- que existen distintas clases según el número de
incógnitas a descubrir y el grado (así tenemos ecuaciones de una
incógnita y de primer grado, de una incógnita y de 2º grado, de dos
incógnitas y de primer grado…
), y
- resolver las que son de una incógnita de primer grado.
IMAGÍNATE
Ana y Víctor necesitan un material para hacer un trabajo
que les han mandado en el instituto. Han quedado en ir
juntos a comprar a la misma tienda.
Ana compró 5 cartulinas y 2 barras de pegamento por
2´90 €. Víctor se llevó 8 cartulinas y una barra de
pegamento por un total de 3´10 €. Pero no preguntaron por
el precio unitario de cada artículo.
Al verlos por la calle, Luisa recordó que también tenía que
comprar material. Necesitaba 6 cartulinas y 2 barras de
pegamento, pero sólo tenía 3 € en ese momento.
¿Tenía Luisa suficiente dinero para hacer la
compra o bien tendría que ir a su casa a por más o
pedirle prestado a sus amigos?
IMAGÍNATE
Para saber si Luisa tiene suficiente necesitamos saber el
precio de una cartulina y de una barra de pegamento.
O sea, tenemos que buscar el valor de…
¡¡dos incógnitas!!
¿Qué hacer para no tener que ir probando diferentes
precios para cada artículo?
Pues lo que tienes que hacer es leer con
atención las diapositivas que vienen a
continuación.
LO QUE APRENDEREMOS
Lo que vamos aprender en esta presentación es:
 Lo que es un Sistema de Ecuaciones
 Métodos de resolver un Sistema de dos
ecuaciones de primer grado con una sola incógnita:
Sustitución
 Igualación
 Reducción

SISTEMAS DE ECUACIONES
En el caso de Ana y Víctor, ambos han comprado las cosas
en la misma tienda y el mismo día.
Lo más normal es que el precio de cada cartulina sea el
mismo para las tres personas (X). Del mismo modo, la barra
de pegamento vale igual (Y) para cada una de ellas.
La situación de Ana la podemos escribir: 5x + 2y = 2´90
La situación de Víctor sería: 8x + y = 3´10
Nos encontramos ante dos ecuaciones con las mismas dos
incógnitas. Esto es un Sistema de dos ecuaciones de
primer grado con dos incógnitas.
SISTEMAS DE ECUACIONES
Resumiendo:
Un sistema de ecuaciones es un conjunto
de varias ecuaciones con varias incógnitas
comunes entre sí
Resolver un sistema de ecuaciones es
buscar el valor de cada una de las
incógnitas.
Sistemas de Ecuaciones
byc
ax




a
x

b
y

c

INCÓGNITA
X
INCÓGNITA
Y
ECUACIÓN 1
ECUACIÓN 2
DOS ECUACIONES
DOS INCÓGNITAS
Sistemas de Ecuaciones:
RESOLUCIÓN
•
SUSTITUCIÓN
•
IGUALACIÓN
•
REDUCCIÓN
SUSTITUCIÓN
2xy5

4x3y5
1º Se despeja una incógnita
PISTA: Busca la que esté
sola
y  52x
¿CUÁL?
Y
SUSTITUCIÓN
2xy5

4x3y5
y  52x
4x3y 5
1º.- Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones
2º.- Sustituímos el valor de Y en la otra ecuación
SUSTITUCIÓN
3º.- Obtendremos una ecuación con UNA incógnita, que resolveremos
2xy5

4x3y5
y  52x
4
x

3
(
5

2
x
)
5
4x15
6x5
10x  20
4x6x515
20
x
10
x2
Ya tenemos el valor de X, ahora calcularemos Y
SUSTITUCIÓN
4º.- Sustituímos el valor obtenido en la otra ecuación
2xy5

4x3y5
2x  y 5
4 y  5
x2
22y 5
y  5 4
Hemos obtenido el valor de la otra incógnita
y 1
SUSTITUCIÓN
5º.- Ahora debemos comprobar los resultados, sustituyendo ambos
valores en las dos ecuaciones.
2xy5

4x3y5
2x  y 5 2 215 4 1  5
4x3y 5 42315 8  3  5
Como las igualdades son ciertas, la solución es correcta
SOLUCIÓN:
x2
;
y 1
IGUALACIÓN
x2y 8

xy 5
x 82y
x  5 y
1º Se despeja una incógnita en ambas ecuaciones
¿CUÁL?
PISTA: Busca la que esté sola
X
IGUALACIÓN
x2y 8

xy 5
x 82y
x  5 y
Se igualan los segundos miembros
8 2y  5 y
 y  3
2yy58
3
y
1
y3
Una vez encontrado un valor, buscaremos el otro
IGUALACIÓN
x2y 8

xy 5
y3
x 82y
x 82y
x  5 y
Cojemos cualquiera de las ecuaciones
Sustituimos en ella el valor que obtuvimos
x 823
Hemos obtenido el valor de la otra incógnita
x2
IGUALACIÓN
Ahora debemos comprobar los resultados, igual que en el método anterior
x2y 8

xy 5
x 2y 8
2238 2  6  8
x y 5
23  5
Como las igualdades son ciertas, la solución es correcta
SOLUCIÓN:
x 2 y3
REDUCCIÓN
Se intenta que sumando ambas ecuaciones eliminemos
una de las incógnitas.
2x4y6

3x5y10

2x4y6
3x5y10
5 x  9 y  16
¿Eliminamos alguna incógnita?
NO
Pues tendremos que hacer algunos cambios
REDUCCIÓN
Multiplicaremos cada ecuación por el coeficiente de una
de las incógnitas de la otra ecuación.
2x4y6

3x5y10
y18
6x12

y20
6x10
E1 3
E 2 2
Y ahora cambiamos de signo una ecuación, por ejemplo la primera

6
x
12
y
18


6
x
10
y20

REDUCCIÓN
2x4y6

3x5y10

6
x
12
y
18



6
x
10
y20

 2y  2
Ahora sumamos
Eliminamos así
una incógnita
X
Resolvemos la ecuación obtenida
2
y
2
y  1
Y ahora calculamos x
REDUCCIÓN
2x4y6

3x5y10
Tomamos una de las ecuaciones
y  1
3x5y10
10
3x51
15
3x510 3 x  15 x 
x5
3
Sustituimos en ella el valor
encontrado
REDUCCIÓN
Comprobamos los resultados
2x4y6

3x5y10
x5
y  1
Para ello sustituimos los valores encontrados en las dos ecuaciones
6
254
1
3
5
5
(
1
)
10
104  6
15510
Esto, esto, esto...
¡esto es todo, amigos!
Ahora… ¡¡a practicar!!
Por cierto... ¿habrá podido comprar
Lucía su material con lo que tenía?