Transcript •Salvador cazares velazquez registro: INGENIERIA INDUSTRIAL ECUACIONES DIFERENCIALES CONCEPTOS BÁSICOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES INTRODUCCION • Las ecuaciones diferenciales aparecen de manera natural en muchas áreas de las.

•Salvador cazares velazquez
registro:
9310067
INGENIERIA INDUSTRIAL
ECUACIONES
DIFERENCIALES
CONCEPTOS BÁSICOS DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
INTRODUCCION
• Las ecuaciones diferenciales aparecen de
manera natural en muchas áreas de las ciencias
y de las humanidades.
• Algunos de las aplicaciones donde se presentan
las E.D. son por ejemplo: en la detección de
falsificaciones en artículos de arte, diagnóstico
de diabetes, y diseminación de la gonorrea. Etc.
DEFINICIÓN. ECUCACIÓN DIFERENCIAL
• Llamamos ecuación diferencial a cualquier ecuación en
la que aparecen relacionadas:
 una o varias variables independientes.
 una variable dependiente de ella o ellas.
 las derivadas de esta última con respecto a una o mas
variables
independientes.
EJEMPLOS
dy
+ y²= x²
dx
dy
+y=x
dx
∂²u
∂x²
+
∂²u
∂y²
=0
QUÉ ES ORDEN?
• Se le llama orden de una ecuación
diferencial al orden de la mayor derivada
que aparece en la ecuación.
A QUE SE LE LLAMA GRADO?
• Se le llama grado de una ecuación diferencial al
exponente, si es un número natural, al que está elevada
la derivada de mayor orden que aparece en ella.
• Si esta derivada está elevada a un exponente no
natural, no es posible definir el grado de la ecuación.
CLASIFICACIÓN de ecuaciones diferenciales
• Según el tipo se clasifican en:
Ecuaciones diferenciales ordinarias
(E.D.O.)
Ecuaciones diferenciales parciales
(E.D.P.)
E. D. O.
• Esta ecuación diferencial contiene derivadas de
una o mas variables dependientes con respecto
a una sola variable independiente.
• Ejemplo:
dy
+ y = x²
dx
dy
+
dx
dz
dx
=0
E. D. P.
• Llamamos Ecuación Diferencial Parcial a aquella donde
la función incógnita depende de varias variables
independientes.
• Por tanto en una ecuación diferencial de este tipo
aparecen las derivadas parciales de la función incógnita
respecto de las variables independientes.
• Ejemplo:
∂²u
+
∂x²
∂²u
+
∂y²
∂²u
=0
∂z²
CLASIFICACIÓN SEGÚN EL ORDEN
• Según el orden se clasifican en ecuaciones
diferenciales de primer, segundo y tercer orden,
etc., según sea la mayor derivada que aparezca
en la expresión.
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Ejemplo:
F (x, y, y´)=0
F (x, y, y´, y´´)=0
F (x, y, y´, y´´,y´´´)=0
n
F (x, y, y…..y )=0
primer orden
segundo orden
tercer orden
orden a la n
SEGÚN EL GRADO
Según el grado se clasifican en lineales (E. D. L.)
y no lineales (E. D. N. L.), siempre y cuando la
ecuación diferencial esté dada en forma de
Polinomio.
E. D. L
•
Tiene dos características que las
distinguen del resto:
a) La variable dependiente y y todas sus
derivadas son de primer grado.
b) Los coeficientes de la variable y y de sus
derivadas dependen solo de la variable
independiente x o bien todas sus
constantes.
• Ejemplo de EDL:
d³y
dx³
dy
d²y
+4
dx²
+x
dx
-y = x³
E. D. N. L.
• Son aquellas que no cumplen con las
propiedades lineales.
DEFINICIÓN DE SOLUCIÓN
• Solución de una E.D. es una función que
no contiene derivadas y que satisface a
dicha ecuación; es decir, al sustituir la
función y sus derivadas en la ecuación
diferencial resulta una identidad.
SOLUCION GENERAL
• Llamamos solución general de una ecuación
diferencial al conjunto de todas las funciones
que verifican dicha ecuación.
SOLUCION PARTICULAR
• La solución particular de una ecuación
diferencial es la función cuyas constantes
arbitrarias toman un valor específico.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
• Una ecuación de primer orden y de primer grado
determina una sola pendiente en cada punto y por
consiguiente, solamente pasa una curva por ese punto.
• Una ecuación de segundo grado determina en general
dos pendientes y por consiguiente, pasan dos curvas
por cada punto.
• El grado de una ecuación de primer orden indica así el
número de curvas que pasan por un punto, aunque es
posible que no sean todas distintas o reales.
TRAYECTORIAS ORTOGONALES
Son las curvas que se intersecan formando ángulo
recto. Si dos curvas son ortogonales en un
punto, sus tangentes son perpendiculares en el
punto de intersección.
• Ejemplo:
x²+2bx +y² = 0
CAMPO DIRECCIONAL
La terna (x,y,y’) determina la dirección de una
recta que pasa por el punto(x,y). El conjunto de
los segmentos de estas rectas es la
representación
geométrica
del
campo
direccional.
Ejemplo:
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones
M. Braun
Editorial Iberoamericana
Métodos clásicos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias
Juan Luis Varona Malumbres
Universidad de la Rioja Editorial II
Ecuaciones Diferenciales
H. B. Phillips
Editorial Hispano Americana
Ecuaciones Diferenciales
Ignacio Acero/Mariló López
Editorial Alfaomega
Ecuaciones Diferenciales
Isabel Carmona
Editorial Pearson