Transcript Ecuación diferencial exacta
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales
1. Ecuaciones diferenciales de primer orden Objetivo El alumno identificará las ecuaciones diferenciales como modelo matemático de fenómenos físicos y resolverá ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales exactas y factor integrante
•
Diferencial exacta
•
Ecuación diferencial exacta, definición
•
Método de solución
•
Ejercicios
•
Factor integrante, definición
•
Factor integrante, cálculo
•
Ejercicios
Ecuaciones diferenciales de primer orden
¿Cuál es la solución de (A)?
¿Cómo la encuentro?
ydx
xdy
0
(A)
Ecuaciones diferenciales de primer orden La solución de la ED es
xy
c
Es decir, es una solución
implícita
de la forma
f
(
x
,
y
)
c
Ecuaciones diferenciales de primer orden El diferencial exacto (o total) de una función
f(x,y)
es
df
(
x
,
y
)
x f
(
x
,
y
)
dx
y f
(
x
,
y
)
dy
Pero
f(x,y)
=
xy
=
c,
entonces
df
(
x
,
y
)
ydx
xdy
0 Ecuación (A)
Ecuaciones diferenciales de primer orden Entonces, si una ecuación diferencial escrita en la forma
M
(
x
,
y
)
dx
N
(
x
,
y
)
dy
0
(B)
Es el diferencial exacto de una función
f(x,y) = c,
la solución de (B) en forma implícita es
f
(
x
,
y
)
c
Ecuaciones diferenciales de primer orden Por ejemplo, el diferencial exacto de la función
y
2 ( 1
x
2 )
sen
2
x
c
(C)
Está dado por (derivando ambos lados),
df
(
x
,
y
) (sen
x
cos
x
xy
2 )
dx
( 1
x
2 )
ydy
0 Rescribiendo, (sen
x
cos
x
xy
2 )
dx
( 1
x
2 )
ydy
0
(D)
Ecuaciones diferenciales de primer orden Entonces, la función (C) es la solución de la ecuación diferencial expresada en (D) Entonces, si una ED escrita en la forma
M
(
x
,
y
)
dx
N
(
x
,
y
)
dy
0 es el diferencial exacto de alguna función
f(x,y)
, su solución en forma implícita será
f(x,y) = c
Ecuaciones diferenciales de primer orden ¿Toda ED es el diferencial exacto de alguna función
f(x,y)
?
¿Cómo saber si una ED es el diferencial exacto de una función
f(x,y)
?
¿Cómo encontrar a
f(x,y)
?
Ecuaciones diferenciales de primer orden Ecuación diferencial exacta Se dice que la ecuación diferencial
M
(
x
,
y
)
dx
N
(
x
,
y
)
dy
0 Es exacta, si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.
Es decir, que existe una función
f(x,y)
tal que
df
(
x
,
y
)
P
(
x
,
y
)
dx
Q
(
x
,
y
)
dy
donde
P
(
x
,
y
)
Q
(
x
,
y
)
x
y f f
(
x
,
y
) (
x
,
y
)
y
y P
(
x
,
y
)
x Q
(
x
,
y
)
Ecuaciones diferenciales de primer orden Teorema de Schwarz Sean
M(x,y)
y
N(x,y)
continuas y con derivadas parciales continuas en una región
R
del plano
XY
definida por
a < x < b, c < y < d
.
Entonces la ecuación:
M
(
x
,
y
)
dx
N
(
x
,
y
)
dy
0 es exacta en R sí y sólo sí
y M
(
x
,
y
)
x N
(
x
,
y
)
Ecuaciones diferenciales de primer orden Método de solución 1. Aplicar el teorema de Scwarz 2. Integrar
M(x,y)
con respecto a
x
, o
N(x,y)
con respecto a
y
para obtener a
f(x,y)
3. Se deriva parcialmente a
f(x,y)
con respecto a
x
o
y
, y se iguala con M(x,y) o N(x,y) para obtener a
g’(x)
o
g’(y)
4. Se integra
g’(x)
o
g’(y)
para obtener a
g(x)
o
g(y)
5. Se escribe la solución implícita como
f(x,y) = c
Ecuaciones diferenciales de primer orden (1) Resolver:
x
y
3
y
2 sen
x
3
xy
2 2
y
cos
x
dy
(2) (3)
x dy dx
2
xe x ydx
y
6
x
2
xdy
0
(varios métodos)
Ecuaciones diferenciales de primer orden Encuentre la función
M(x,y)
más general que hace a la ED exacta
M
(
x
,
y
)
dx
sin
x
cos
y
xy
e
y
dy
0
Ecuaciones diferenciales de primer orden ¿Cuánto debe valer
k
para que la ED sea exacta?
y
3
kxy
4 2
x
3
xy
2 20
x
2
y
3
dy
0
Ecuaciones diferenciales de primer orden Demuestre que toda ED de variables separables
dy dx
g
(
x
)
h
(
y
) es exacta