Transcript Ecuación diferencial con coeficientes homogéneos Funciones

Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones
diferenciales
1. Ecuaciones diferenciales de primer orden
Objetivo
El alumno identificará las ecuaciones diferenciales
como modelo matemático de fenómenos físicos y
resolverá ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales de
coeficientes homogéneos
• Ecuación diferencial con coeficientes homogéneos
• Funciones homogéneas
• Método de solución para ecuaciones
diferenciales con coeficientes homogéneos
• Ejercicios
• Investigación
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales con
coeficientes homogéneos
En su forma diferencial,
Una ED con coeficientes homogéneos es aquélla cuyos
coeficientes son funciones homogéneas del mismo grado:
M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0
Forma diferencial
de una ED
M(x, y) y N(x, y) son funciones homogéneas del mismo grado
Ecuaciones diferenciales de primer orden
En su forma normal,
Una ED con coeficientes homogéneos es aquélla en
donde f(x, y) es una función homogénea de grado cero:
dy
 f ( x, y )
dx
Función homogénea
de grado cero
Ecuaciones diferenciales de primer orden
¿Qué es una función homogénea?
Se dice que una función f(x, y) es homogénea de grado k si:
f (tx, ty)  t f ( x, y)
k
k es el grado de la función homogénea
Ecuaciones diferenciales de primer orden
¿Son funciones homogéneas?
¿De qué grado?
(1)
f ( x, y)  x  y
2
2
(2)
f ( x, y)  3x 2 y
(3)
f ( x, y)  y(ln y  ln x  1)
(4)
f ( x, y)  1  xy
3
2 2
x
y

x
y
(5) f ( x, y ) 
x  8y
(6)
f ( x, y)  x
y
El cociente de dos funciones homogéneas del mismo
grado es una función homogénea de grado cero
Ecuaciones diferenciales de primer orden
¿Cómo se resuelve una ED con
coeficientes homogéneos?
Se transforma la ED de coeficientes homogéneos en una ED de
variables separables mediante una sustitución:
Se sustituye
x = vy y su diferencial, dx = vdy + ydv
ó
y = ux y su diferencial, dy = udx + xdu
La variable a sustituir depende de la función homogénea más sencilla:
Si M(x, y) es la más sencilla, se sustituye x = vy, dx = vdy + ydv
Si N(x, y) es la más sencilla, se sustituye y = ux, dy = udx + xdu
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Procedimiento de resolución
1. Se revisa si la ED es de coeficientes homogéneos
2. Se decide cuál sustitución emplear
3. Se efectúa la sustitución y se separan las nuevas variables
4. Se hacen las integrales y se regresa a las variables originales
Si las integrales resultantes son muy difíciles o imposibles de realizar,
probar con una sustitución distinta. Si esto no resulta, buscar posibles
errores algebraicos durante la sustitución
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Resolver:
(1)
y 2 dx  ( x 2  xy)dy  0
(2)
dy x y
  , y (1)  4
dx y x
(3)
(4)


 ydx x  xy dy  0
xy  y  y  x
2
2
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Resuelva:
dy
( x  y)
4
dx
2
Mediante la sustitución
u  x y
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ejercicios de casa:

2  y 
1 xdy   y  x csc   dx  0
 x 

dy  2 x  5 y

2
dx 2 x  y
Ecuaciones diferenciales de primer orden
¿Cómo se resuelve la ED?
¿Es de coeficientes homogéneos?
(2 x  y)dx  (4 x  y  3)dy  0