Transcript ecuación diferencial lineal homogénea

Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Ecuaciones
diferenciales
2. Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
de ecuaciones diferenciales lineales
Objetivo
El alumno aplicará los conceptos fundamentales de las ecuaciones
diferenciales lineales y de los sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales, en la resolución e interpretación de Problemas físicos
y geométricos
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
La ecuación diferencial
homogénea de orden n
• Soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden n
• Principio de superposición para ED lineales homogéneas
• La solución trivial y dependencia e independencia lineal
• El Wronskiano y la solución general de ED homogéneas
• Espacios vectoriales y el conjunto fundamental de soluciones
• ED homogéneas de coeficientes constantes: obtención del
conjunto fundamental de soluciones
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
¿Cuántas soluciones tiene
la ED mostrada?
n
n 1
d y
d y
dy
an ( x) n  an 1 ( x) n 1  . . .  a1 ( x)  a0 ( x) y  0
dx
dx
dx
Características principales de la ED:
• Lineal
• Homogénea
• Orden n
La ecuación diferencial homogénea
de orden n tiene n soluciones
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Principio de superposición para una
ED lineal homogénea de orden n
Sean y1, y2, … , yn soluciones de la ED lineal homogénea de orden n:
dny
d n 1 y
dy
an ( x) n  an 1 ( x) n 1  . . .  a1 ( x)  a0 ( x) y  0
dx
dx
dx
Entonces la combinación lineal
y  c1 y1  c2 y2  ...  cn yn
donde ci, i = 1, 2, … , n son constantes arbitrarias, también es una solución
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Solución trivial de una ED homogénea
y dependencia e independencia lineal
Corolario: Una ED homogénea posee siempre
la solución trivial y(x) = 0
En el caso de una ED homogénea lineal:
y  c1 y1  c2 y2  ... cn yn  0 (A)
Solución trivial
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Para que (A) se cumpla existen dos posibilidades:
(1)
(2)
c1 , c2 ,...,cn no todas son cero
c1  c2  ...  cn  0
Dependencia e independencia lineal
Se dice que un conjunto de funciones f1(x), f2(x), … , fn(x) es linealmente
dependiente en un intervalo I si existen constantes c1, c2, … , cn, no todas
cero, tales que
c1 f1 ( x)  c2 f 2 ( x)  ... cn f n ( x)  0
para toda x en I. Si el conjunto NO es linealmente dependiente en el intervalo,
se dice que es linealmente independiente.
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Ejemplo de conjunto de funciones
linealmente dependiente
Demuestre que el conjunto A de funciones es linealmente dependiente en (-, )

A  f1  e , f 2  e
x
2 x
, f3  3e  2e
x
2 x

Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Ejemplo de conjunto de funciones
linealmente independiente
Demuestre que el conjunto A de funciones es linealmente independiente en (-, )

A  f1  e , f 2  e , f 3  e
x
x2
x

Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
¿Cómo evaluar la dependencia lineal
de un conjunto de funciones?
Wronskiano
Sean f1, f2, …, fn funciones que poseen al menos n-1 derivadas.
El determinante
W [ f1 , f 2 ,....., f n ] 
f1
f2

fn
f11
f 21

f n1




f1n 1
f 2n 1 
se llama el Wronskiano de las funciones
f nn 1
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Se dice que el conjunto de funciones
f1, f 2 ,..., f n 
es linealmente independiente si y sólo si
W [ f1 , f 2 ,..., f n ]  0
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Solución general de una ED
lineal homogénea de orden n
Sean y1, y2, …, yn n soluciones de la ecuación (I)
dny
d n 1 y
dy
an ( x) n  an 1 ( x) n 1  . . .  a1 ( x)  a0 ( x) y  0
dx
dx
dx
Si el conjunto
(I)
B  y1 , y2 ,..., yn  es linealmente independiente, es decir,
W [ B]  0 , entonces la solución general de (I) es
yg  c1 y1  c2 y2  ... cn yn
y al conjunto B se le llama conjunto fundamental de soluciones de (I)
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De acuerdo con lo anterior, tenemos que
• El conjunto fundamental de soluciones es la base del
espacio vectorial de dimensión n que contiene a todas las
soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea
• El elemento genérico del espacio vectorial que contiene a
todas las soluciones de (I) es la solución general de la ED y
se obtiene a través de una combinación lineal de los
elementos de la base
• Para obtener la solución general de (I) basta con conocer al
conjunto B, conjunto fundamental de soluciones de (I), y
hacer una combinación lineal de sus elementos
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¿Cómo obtener el conjunto fundamental de
soluciones, B, de una ED lineal homogénea?
Veremos un método para obtener los elementos de B para una
ED lineal homogénea de orden n con coeficientes constantes,
a partir de sus valores característicos
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ED lineales de coeficientes constantes
El procedimiento basado en los valores característicos de una ED lineal
de coeficientes constantes permite obtener soluciones del tipo
y( x)  e
x
Donde  es un valor característico de la ecuación diferencial. Es decir,
 es una raíz de la ecuación característica de la ED.
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El tipo de soluciones de una ED lineal
homogénea de coeficientes constantes
depende del tipo de raíces de su
ecuación característica:
1. Raíces reales distintas
2. Raíces reales repetidas
3. Raíces complejas