Transcript solución - Dr. Bogart Mendez

Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Ecuaciones
diferenciales
2. Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
de ecuaciones diferenciales lineales
Objetivo
El alumno aplicará los conceptos fundamentales de las ecuaciones
diferenciales lineales y de los sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales, en la resolución e interpretación de Problemas físicos
y geométricos
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Ecuación diferencial NO
homogénea: Método de
coeficientes indeterminados
• Operador anulador
• Tipos de soluciones de una ED lineal homogénea con
coeficientes constantes
• Método de solución
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Ecuación diferencial lineal no homogénea
de orden n con coeficientes constantes
n 1
n
d y
d y
dy
an n  an1 n1  . . .  a1  a0 y  q( x)
dx
dx
dx
yg ( x)  yh ( x)  y p ( x)
Solución
general
Solución
homogénea
Solución
particular
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
yh es la solución de la ED homogénea asociada:
n
n 1
d y
d y
dy
an n  an 1 n 1  . . .  a1
 a0 y  0
dx
dx
dx
yh se encuentra a partir de los valores
característicos de la ED homogénea
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
¿Cómo encontramos a yp?
Método de coeficientes indeterminados
Este método aplica para ecuaciones
diferenciales lineales NO homogéneas con
coeficientes constantes, cuyo término no
homogéneo es una función que puede ser
solución de una ED lineal homogénea de
coeficientes constantes.
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
¿Qué hace el método de
coeficientes indeterminados?
Este método se basa en transformar la ED NO
homogénea en una ED homogénea. La transformación
se lleva a cabo aplicando a la ED no homogénea un
operador diferencial que ANULE al término no
homogéneo q(x)
A[ L[ y]]  A[q( x)]  0
L es un operador diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
¿Qué es un operador anulador?
Se dice que un operador diferencial lineal, A,
ANULA a una función f(x) si
A[ f ( x)]  0
(1)
Es decir, A anula a f(x) si f(x) es una solución de la ED homogénea (1)
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
¿Cómo encontrar un operador
anulador para q(x)?
Un operador diferencial anulador será aquél que represente
a una ED lineal homogénea de coeficientes constantes que
tenga a la función por anular, q(x), como solución:
A[q( x)]  0
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Ejemplo 1:
Encuentre un operador diferencial anulador para
q( x)  e  e
ax
bx
Tenemos que
x
( D   )[e ]  0
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Ejemplo 2:
Encuentre un operador diferencial anulador para
q( x)  e  xe
ax
ax
Tenemos que
k 1 x
(D  ) [ x e ]  0
k
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
El operador anulador para funciones del tipo
x
x
q( x)  e sen x, q(x) e cosx
es

A  (D   )  
2

k
2
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
El producto de dos operadores
anuladores es un anulador
para una suma de funciones
Se debe tomar el operador
anulador de menor orden
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Ejercicio
Obtenga el operador anulador de las funciones siguientes:
q( x)  e
x2
x
e cos x
sen x  e 
1
x
x
q( x)  xsen x cosh x  4e  8e sen 2x  4e sen 2x
2
x
x
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Tipos de soluciones de una ED lineal
homogénea con coeficientes constantes
Tipo
I
Forma de y
Pn x  an x n   a1 x  a0
Tipo de raíces de P( )=0
= 0 con multiplicidad n+1
II
III
IV
ae x
a cos  x  bsen x
reales distintas
= 0 ± iβ
con multiplicidad n+1
V
Pn x cos  x  qm x sen x
Pn x e  x
= 0 ± iβ con multiplicidad n+1
donde qm x   bm x m    b1 x  b0
VI
VII
ae x cos  x  be x sen x
Pn xe x cos x  qm xe x sen x
± iβ
± iβ con multiplicidad n+1
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Método de coeficientes indeterminados
1.
2.
3.
4.
5.
Revisar que el método sea aplicable al problema por resolver
Encontrar la solución de la homogénea asociada (yh)
Encontrar el operador anulador de q(x)
Aplicar el operador anulador a la ED no homogénea
Resolver la ED homogénea transformada para encontrar la forma
de la solución general: ygf = yh + ypf
6. Encontrar la forma de la solución particular: ypf = ygf - yh
7. Sustituir ypf en la ED original para determinar la solución
particular
8. Escribir la solución general de la ED no homogénea
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Resuelva:
y  3 y  2 y  4 x
y  y  8 cos 2 x  4 sen x
2
y  y  e  4 sen x
x
 x
( D  1)(D  1)[ y ]  cos 
2
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Indique si el método de coeficientes indeterminados es
aplicable. ¿Por qué?
(1) y  2 y  x
d 3 y dy
1


3
y

x
(2)
dx3 dx
(3) xy  xy  xy  2x 2e x
d 2u
du
(4)
t
u  2
2
dt
dt
(5) 5 y  3 y  y  cos y
(6)
d3y d2y
 2  2 y  sec x
3
dx
dx
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Resuelva:
y  5 y  8
Encuentre la forma de una solución particular de
y  6 y  11y  6 y  2xe
x