Transcript Raíces reales repetidas

Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Ecuaciones
diferenciales
2. Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
de ecuaciones diferenciales lineales
Objetivo
El alumno aplicará los conceptos fundamentales de las ecuaciones
diferenciales lineales y de los sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales, en la resolución e interpretación de Problemas físicos
y geométricos
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
La ecuación diferencial lineal
homogénea de orden n con
coeficientes constantes
• Tipos de valores característicos de una ED
• Valores característicos reales distintos
• Valores característicos reales repetidos
• Valores característicos complejos
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
ED lineal homogénea con coeficientes constantes de orden n
dny
d n 1 y
dy
an n  an 1 n 1  . . .  a1
 a0 y  0
dx
dx
dx
Polinomio diferencial:
P(D)  an Dn  an1Dn1  ... a1D  a0
Ecuación característica:
an  an1  ... a1  a0  0
n
n1
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
El tipo de soluciones de una ED lineal
homogénea de coeficientes constantes
depende del tipo de raíces de su
ecuación característica:
1. Raíces reales distintas
2. Raíces reales repetidas
3. Raíces complejas
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Raíces reales distintas
1  2  ...  n

B e
1x
1x
,e
2 x
,...,e
2 x
yg  c1e  c2e
n x

n x
 ... cne
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Ejercicio
Resuelva el problema de valor inicial:
y  2 y  8 y  0
y(0)  3, y(0)  12
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Raíces reales repetidas
1  2  ...  k

1x
2 x
2 3 x
k 1 k x
B  e , xe , x e ..., x e
1x
2 x
2 3 x
yg  c1e  c2 xe  c3 x e

k 1 k x
 ... ck x e
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Ejercicio
Resuelva:
4
d
y
(a)
0
4
dx
(b)
y  3 y  4 y  0
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Raíces complejas
    i
y1  e
(  i  ) x
x
 e e
i x
(  i  ) x
x
 i x
y2  e
 e e

yg  c1 y1  c2 y2  c1ex  eix  c2ex  eix  ex c1eix  c2eix

Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
¿Cómo obtener una solución
en números reales?
Fórmula de Euler:
e
 i
 cos  i sen 
 
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Raíces complejas
    i

x

x
B  e sen x, e cosx
x
x
yg  c1e sen x  c2e cosx
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Raíces complejas repetidas
1  2  ...k    i
x
x
k 1 x
e cos x, xe cos x,..., x e cos x,
B   x

x
k 1 x
e sen x, xe sen x,..., x e sen x 
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Ejercicio
Resuelva:
4
(a) d y  y  0
4
dx
4
2
d y
d y
(b)
2 2  y 0
4
dx
dx
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El principio de Arquímedes
R
y(t) < 0
y(t)
y(t)
H
h
W
y(t) > 0
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
La ecuación diferencial que rige el problema anterior es
y 
R g
2
W
y0
 es el peso volumétrico del líquido
g es la aceleración de la gravedad
Encuentre la función que describe la oscilación de un cilindro (respecto de su
posición de equilibrio) de radio 3 pulgadas y peso de 5 libras, flotando en
una piscina con agua de peso volumétrico 62.5 lb/ft3. El cilindro se levanta
una pulgada respecto de su posición de equilibrio y se empuja hacia abajo
con una velocidad inicial de 4 in/s
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Curva solución
0.15
0.10
Posición de
equilibrio
y (ft)
0.05
0.00
0
100
200
-0.05
-0.10
-0.15
t (s)
300
400
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Tarea
1
Resuelva el P.V.I.
y  12y  36y  0 ; y(0)  0, y(0)  1, y(0)  7
Encuentre la solución general de
d4y
d2y
16 4  24 2  9 y  0
dx
dx
2
Encuentre la ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes
constantes que tiene a  = 1/2 como valor característico triple (repetido)
3
Encuentre la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea
de coeficientes constantes que tiene a  = 1/2 como valor característico
cuádruple (repetido)
4
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Desafío
Encuentre la solución general de una ecuación diferencial
lineal homogénea con coeficientes constantes de cuarto orden
que tiene las soluciones particulares
y p1  3e
2t
2 t
y p2  6t e
+ 0.5