ED - Dr. Bogart Mendez
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Transcript ED - Dr. Bogart Mendez
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones
diferenciales
1. Ecuaciones diferenciales de primer orden
Objetivo
El alumno identificará las ecuaciones diferenciales
como modelo matemático de fenómenos físicos y
resolverá ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales de primer orden
• Orden de una ecuación diferencial
• Grado de una ecuación diferencial
• ED lineales y no lineales
• Tipo de coeficientes
•Solución de una ecuación diferencial
- Solución general y familia de soluciones
- Problema de valor inicial
- Obtención de una ED a partir de su solución
- Solución singular
Ecuaciones diferenciales de primer orden
¿ Cómo obtener una ED a partir su solución?
(1) Solución:
1
y cos( 5 x) c
5
ED = ?
(2) Solución:
y cx2
ED = ?
(3) Solución:
(4) Solución:
( x c) y 1
2
2
x 2 2c( y 2c)
ED = ?
ED = ?
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UNA ED NO CONTIENE CONSTANTES DE INTEGRACIÓN
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Solución singular de una ED
Sol. gral.
ED
1
2
x y yy 2 x
2
x 2 2c( y 2c)
¿Es solución de la ED?
y 2x
¿Es posible obtener esta solución
a partir de la solución general?
¿Hay más soluciones de este tipo?
¿Cómo las encuentro?
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Solución general:
2
x 2c( y 2c)
15.00
Soluciones
singulares:
y = ± 2x
y
12.00
9.00
6.00
C>0
3.00
x
-12 -10 -8
C<0
-6
0.00
-4 -2 0
-3.00
-6.00
-9.00
-12.00
-15.00
2
4
6
8
10 12
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Procedimiento para encontrar las
soluciones singulares de una ED:
1. Derivar parcialmente la ED respecto de y’
2. Despejar a y’
3. Sustituir a y’ en la ED
4. El resultado de la sustitución es una solución singular de la ED
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Encuentre las soluciones singulares de
y ( y 1) 1
2
Solución general:
( x c) y 1
2
2
Soluciones singulares:
y 1
2
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Solución general:
( x c) y 1
2
2
1.20
y
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
x
-2.00
0.00
-1.00
0.00
-0.20
-0.40
-0.60
-0.80
-1.00
-1.20
Soluciones singulares:
y=±1
1.00
2.00
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Encuentre las soluciones singulares de
2 y( y 2) xy 0
2
Solución general:
(c x ) 2
y
c
Soluciones singulares:
y?
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales de
Variables separables
dy
g ( x) p( y )
dx
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Separación de variables
1. Multiplicar la ED por dx
dy
dx g ( x) p( y ) dx
dy g ( x) p( y)dx
2. Agrupar términos de cada variable
1
dy g ( x)dx
p( y )
; sea f(y) = 1/p(y)
f ( y)dy g ( x)dx
3. Integrar ambos términos y escribir la solución general
f ( y)dy g ( x)dx c
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Resuelva por separación de variables:
(1)
dy x 5
2
dx
y
(2)
e x y
dy
x
dx
3 2
x 15 x c
2
Sol. gral.
y3
Sol. gral.
e e ( x 1) c
y
x
(3)
( x 4) y dx x ( y 3)dy 0
1 2 1 1
2 3 c
Sol. gral.
x x
y y
(4)
x sen ydx ( x 1) cos ydy 0
Sol. gral.
4
3
2
2
sen y c( x 2 1) 1/ 2
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Resuelva por separación de variables:
dx y 1
,
dy x
2
(5)
y ln x
(6)
dy
1 y2
dx (1 x 2 ) xy
y(1) 1
Sol. gral. 1 x 2 1 y 2 Cx 2
Ecuaciones diferenciales de primer orden
¿Son separables?
(1)
dy
sin( x y )
dx
(2)
ds s 1
s
dt
st
(3)
2
xy
2
3 y 2 dy 2 xdx 0
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Resuelva:
dy xy 2 y x 2
dx xy 3 y x 3