Transcript ED - Dr. Bogart Mendez

Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones
diferenciales
1. Ecuaciones diferenciales de primer orden
Objetivo
El alumno identificará las ecuaciones diferenciales
como modelo matemático de fenómenos físicos y
resolverá ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales de primer orden
• Orden de una ecuación diferencial
• Grado de una ecuación diferencial
• ED lineales y no lineales
• Tipo de coeficientes
•Solución de una ecuación diferencial
- Solución general y familia de soluciones
- Problema de valor inicial
- Obtención de una ED a partir de su solución
- Solución singular
Ecuaciones diferenciales de primer orden
¿ Cómo obtener una ED a partir su solución?
(1) Solución:
1
y   cos( 5 x)  c
5
ED = ?
(2) Solución:
y  cx2
ED = ?
(3) Solución:
(4) Solución:
( x  c)  y  1
2
2
x 2  2c( y  2c)
ED = ?
ED = ?
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UNA ED NO CONTIENE CONSTANTES DE INTEGRACIÓN
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Solución singular de una ED
Sol. gral.
ED
1
2

x y   yy  2 x
2
x 2  2c( y  2c)
¿Es solución de la ED?
y  2x
¿Es posible obtener esta solución
a partir de la solución general?
¿Hay más soluciones de este tipo?
¿Cómo las encuentro?
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Solución general:
2
x  2c( y  2c)
15.00
Soluciones
singulares:
y = ± 2x
y
12.00
9.00
6.00
C>0
3.00
x
-12 -10 -8
C<0
-6
0.00
-4 -2 0
-3.00
-6.00
-9.00
-12.00
-15.00
2
4
6
8
10 12
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Procedimiento para encontrar las
soluciones singulares de una ED:
1. Derivar parcialmente la ED respecto de y’
2. Despejar a y’
3. Sustituir a y’ en la ED
4. El resultado de la sustitución es una solución singular de la ED
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Encuentre las soluciones singulares de
y ( y  1)  1
2
Solución general:
( x  c)  y  1
2
2
Soluciones singulares:
y  1
2
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Solución general:
( x  c)  y  1
2
2
1.20
y
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
x
-2.00
0.00
-1.00
0.00
-0.20
-0.40
-0.60
-0.80
-1.00
-1.20
Soluciones singulares:
y=±1
1.00
2.00
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Encuentre las soluciones singulares de
2 y( y  2)  xy  0
2
Solución general:
(c  x ) 2
y
c
Soluciones singulares:
y?
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales de
Variables separables
dy
 g ( x) p( y )
dx
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Separación de variables
1. Multiplicar la ED por dx
 dy

 dx  g ( x) p( y ) dx
dy  g ( x) p( y)dx
2. Agrupar términos de cada variable
1
dy  g ( x)dx
p( y )
; sea f(y) = 1/p(y)
 f ( y)dy  g ( x)dx
3. Integrar ambos términos y escribir la solución general
 f ( y)dy   g ( x)dx  c
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Resuelva por separación de variables:
(1)
dy x  5
 2
dx
y
(2)
e x y
dy
x
dx
3 2
x  15 x  c
2
Sol. gral.
y3 
Sol. gral.
e  e ( x  1)  c
y
x
(3)
( x  4) y dx  x ( y  3)dy  0
1 2 1 1

 2   3 c
Sol. gral.
x x
y y
(4)
x sen ydx  ( x  1) cos ydy  0
Sol. gral.
4
3
2
2
sen y  c( x 2  1) 1/ 2
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Resuelva por separación de variables:
dx  y  1 

 ,
dy  x 
2
(5)
y ln x
(6)
dy
1 y2

dx (1  x 2 ) xy
y(1)  1



Sol. gral. 1  x 2 1  y 2  Cx 2
Ecuaciones diferenciales de primer orden
¿Son separables?
(1)
dy
 sin( x  y )
dx
(2)
ds s  1
s 

dt
st
(3)
2
xy
2

 3 y 2 dy  2 xdx  0
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Resuelva:
dy xy  2 y  x  2

dx xy  3 y  x  3