Transcript T - Dr. Bogart Mendez

Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Ecuaciones
diferenciales
2. Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
de ecuaciones diferenciales lineales
Objetivo
El alumno aplicará los conceptos fundamentales de las ecuaciones
diferenciales lineales y de los sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales, en la resolución e interpretación de Problemas físicos
y geométricos
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Algunas aplicaciones de las
ecuaciones diferenciales
de primer orden
• Decaimiento radioactivo
• Ley de enfriamiento de Newton
• Drenado de un tanque
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Decaimiento radioactivo
¿Cómo calcular la desintegración?
Hipótesis
La rapidez, dy/dt, a la que se desintegran los núcleos de una sustancia
es proporcional a la cantidad, y(t) de la sustancia restante en el tiempo t
Modelo matemático
dy
dy
  y (t ) 
 ky (t )
dt
dt
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Problema en hospital
El tecenio 99m se utiliza en la detección de cáncer de mama. Esta sustancia decae
radioactivamente de acuerdo con el modelo de decaimiento radioactivo, donde k =
-0.1155/h. La corta vida del tecenio 99m no pone en peligro al paciente. Sin
embargo, el radio-isótopo debe fabricarse en un ciclotrón. Como los hospitales no
tienen ciclotrones, las dosis de tecenio 99m deben ordenarse de antemano con los
proveedores médicos.
Suponga que debe administrarse una dosis de 5 milicuries (mCi) de tecenio 99m a
un paciente. Estime el tiempo de entrega desde el lugar de producción hasta la
llegada a la sala de tratamiento del hospital como 24 horas y calcule la cantidad
del radionúclido que debe solicitar el hospital para lograr administrar la dosis
adecuada.
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Ciclotrón
Un ciclotrón es un tipo de acelerador de partículas en forma circular.
El ciclotrón fue inventado por Ernest O. Lawrence de la universidad
de Berkeley en 1929
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sustancia (mCi)
Decaimiento del tecenio 99m
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
4
8
12 16 20 24 28 32 36 40 44
t (hr)
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Ley de enfriamiento de Newton
¿Cómo varía la temperatura de
un cuerpo en el tiempo?
Hipótesis
La razón de cambio en la temperatura T de un cuerpo en el instante t es
proporcional a la diferencia entre la temperatura M del aire en el
instante t y la temperatura del cuerpo en el instante t
Modelo matemático
dT
dT
 M (t )  T (t ) 
 k M (t )  T (t )
dt
dt
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
¿A qué hora murió?
Un detective llega a la escena de un crimen al medio día de un frío
día de diciembre: 16°C. Inmediatamente toma la temperatura del
cuerpo: 34.5°C. El detective sale a comer cuando regresa a las
13:00 encuentra que la temperatura del cuerpo era de 33.7°C. ¿A
qué hora ocurrió el homicidio?. Considere que la temperatura
normal de una persona es de 37°C
Modelo matemático
dT
 k M (t )  T (t )
dt
dT
 kT (t )  kM (t ),
dt
dT
 kT (t )  16k
dt
M (t )  16C
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
dT
 kT (t )  16 k
dt
P(t )  k , Q(t )  16k
Ecuación diferencial LINEAL de PRIMER ORDEN
Coeficientes constantes
No homogénea
Solución general
T (t )  c (t )   (t )   (t )Q(t )dt
1
Th(t)
1
Tp(t)
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Variación de la temperatura del cuerpo
37.3
T (t )  16  18.5e
T (°C)
36.7
( 4.42 E 2)(t )
36.1
35.5
34.9
Hora de homicidio: 9:08
34.3
33.7
9.0
9.5
10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0
treal (hr)
treal = 12 - t
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Drenado de un tanque
r0
r
V
h(t) = ?
(a)
L = 10 ft
V
h0 = 10 ft
(b)
¿Cuál es la variación de la altura respecto
del tiempo en el agua en el tanque?
¿Cuál tanque se vacía más rápido?
V
(c)
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Modelo matemático
kAh
dh

dt
Aw
2 gh
Ah es el área del orificio
Aw es el área del espejo del agua
k es una constante empírica para
considerar la forma del orificio
g = 32 ft/s2
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10.00
V = 1000 ft3
8.00
Cilindro A
Cilindro B
Cubo
Cono
6.00
h (ft)
4.00
2.00
0.00
0
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100
t (s)
El área de la sección transversal del cilindro A es igual a la del cubo
Todos los recipientes contienen el mismo volumen de agua
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Efecto de la constante k
Área transversal constante
10.00
Cono k = 0.9
8.00
Cono k = 1
6.00
h (ft)
4.00
2.00
543.55
0.00
0
100
200
300
400
t (s)
500
603.94
600
700
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Problema de valores en la frontera
w0
x=0
x
L
d4y
EI 4  w0
dx
y
Modelo matemático
y (0)  0, y ( L)  0
Condiciones de frontera
y(0)  0, y( L)  0
Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
Calcule la deflexión máxima en la viga
considerando los datos siguientes:
Material de la viga: Acero (E = 200 GPa)
Dimensiones de su sección transversal: b = 0.30 m, h = 0.30 m
Largo de la viga: L = 6 m
Carga distribuida: 19,620 N/m