Transcript b-ecuaciones diferenciales - Electrónica

INAOE
CURSO PROPEDEUTICO PARA LA
MAESTRIA EN ELECTRONICA
2010
Métodos
Matemáticos
Capítulo 2
EDO de primer orden
Métodos Matemáticos - INAOE
CASO ESPECIAL DE SEPARACION DE VARIABLES
El cambio de variable
lleva a :
Ejemplo
Ecuaciones diferenciales de primer orden
EDO Exacta
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SOLUCION :
La premisa es que se trata de una EDO exacta :
Si se cumple esta igualdad, si es una EDO exacta:
Tomamos el 1er. Término e integramos con
respecto a “x” (y constante):
Obtenemos derivada parcial con respecto a “y”:
Despejamos g´(y)
Integrando con respecto a “y” obtenemos g(y)
F
F
dx 
dy  0
x
y
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0
M N

y
x
F
 M ( x, y )
x
F   M ( x, y )dx  g ( y )
F 

M ( x, y)dx  g ' ( y )
y y 
 N ( x, y)
g ' ( y )  N ( x, y ) 

M ( x, y )dx
y 
Tomamos g(y) y lo substituimos en F
LA SOLUCION DE LA EDO ES
F=c
Ejemplo. Resolver:
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Checando exactitud
Como la ecuación es exacta:
Solución implícita:
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Ecuaciones diferenciales de primer orden
Las curvas integrales son círculos
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Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ex: Find the exact first order ODE with a solution given by F(x,y) :
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Ejemplo: Resuelva la sig. EDO :
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Ecuaciones diferenciales de primer orden
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Ecuaciones diferenciales de primer orden
Integrales definidas para los IVPs
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Ecuaciones diferenciales de primer orden
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Ecuaciones diferenciales de primer orden
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Ejercicios:
EJEMPLOS: Resolver las sig. EDO.
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Determinación del Factor integrante µ(x)
dy
 P( x) y  f ( x)
dx
Forma gral. de la EDO
La escribimos en forma diferencial
Multiplicamos todo por el factor integrante µ(x)
Para convertir la EDO en exacta se debe cumplir que:
dy  P( x) y  f ( x)dx  0
 ( x)dy   ( x)P( x) y  f ( x)dx  0


 ( x)   ( x)P( x) y  f ( x)
x
y
d
  P(x)
dx
Simplificando:
Resolviendo para µ :
d

 P( x)dx
ln    P( x)dx
Factor Integrante :
  e  P ( x ) dx
Solución de la EDO una vez conocido el factor integrante:
A partir de la EDO en su forma diferencial:
Multiplicamos todo por el factor integrante:
Reconocemos del lado izquierdo la diferencial
de un producto:
Integramos en ambos lados:
Despejando “y” tenemos la solución ! :
dy  P( x) y  f ( x)dx  0
e
P ( x ) dx
d e 

e
dy  e 
P ( x ) dx
P ( x ) dx
P ( x ) dx
P( x) y dx  e 
y   e 

y   e
P ( x ) dx
P ( x ) dx
P ( x ) dx
f ( x) dx
f ( x) dx
f ( x) dx  c
 P ( x ) dx
 P ( x ) dx f ( x) dx  c e  P ( x ) dx
y e 
e

Ecuaciones diferenciales de primer orden
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Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones no homogéneas: Factor integrante (ejemplos)
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METODO DE VARIACION DE PARAMETROS EN LA
SOLUCION DE ECS. DIF. LINEAL NO-HOMOGENEA
dy
 P( x) y  f ( x)
dx
y  yc  y p
Sol. Complementaria es la sol.
de la ec. homogénea asociada
dy
 P( x) y  0
dx
dy
  P( x)dx
y
 P ( x ) dx
yc  c e 
yc  c y1
La solución particular proviene
de la forma de f(x)
El método de variación de parámetros consiste en encontrar una función v(x) tal que al
ser multiplicada por la solución complementaria entregue la solución de la ecuación
diferencial
y  v y1
dy
 P( x) y  f ( x)
dx
Iniciamos con la forma gral. de la ecuación:
d
v y1   P( x)v y1  f ( x)
dx
Substituímos la sol. propuesta:
Derivamos el producto:
Agrupamos y cancelamos
término:
Resolvemos para “v” :
v
dy1
dv
 y1  P( x)v y1  f ( x)
dx
dx
dv
 dy

v  1  P( x) y1   y1
 f ( x)
dx
 dx

dv 
f ( x)
dx
y1 ( x)
f ( x)
dv 
dx
y1 ( x)
v
Integramos la expresión:
Substituímos en la solución
originalmente propuesta ( y 
Se obtiene la solución:
f ( x)
dx  c
y1 ( x)
v y1:)
y  y1 
f ( x)
dx  c y1
y1 ( x)
EJEMPLO: Resolver la ecuación:
Obtenemos
Obtenemos v
y1 
y1 :

 v 

y' y tan x  sen x


f ( x)
dx  c 
y1 ( x )

v
1
cos x
sen x
dx  c
1
cos x
cos2 x
v
c
2
La solución es
( y  v y1 ) :
 1 
1

y   cos x  c 
2
 cos x 
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones no homogéneas: Variación de Parámetros (ejemplos).
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Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones no homogéneas: Variación de Parámetros (ejemplos).
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Ecuaciones no homogéneas: Variación de Parámetros (ejemplos).
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EDO de segundo orden
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