Transcript c-ecuaciones diferenciales - Electrónica
INAOE CURSO PROPEDEUTICO PARA LA MAESTRIA EN ELECTRONICA
2010
Métodos Matemáticos
Capítulo 2
EDO de segundo orden
Métodos Matemáticos - INAOE
Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de 2o. Orden Forma General
a d
2
y dx
2
b dy dx
cy
f
(
x
)
y
y c
y p
Sol. Complementaria es la sol. de la ec. homogénea asociada La solución particular proviene de la forma de f(x)
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones Homogeneas
Ecuación diferencial de segundo orden, lineal, de coeficientes constantes, homogénea
a
2
d y dx
2
b dy dx
cy
0
y
e mx am
2
e mx
bm e mx
ce mx
0
am
2
bm
0 Ecuación característica
m
1
b
2 4
ac
and
m
2 2
a b
2 4
ac
2
a
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
La ecuación auxiliar:
Raices reales y diferentes.
Si la ecuación auxiliar: Con solución:
am
2
bm m
1 0
b
2 4
ac
and
m
2 2
a
donde:
m m
1 , 2
R
, y
m
1
m
2
b
2 4
ac
2
a
Entonces la solución a:
a
2
d y dx
2
b dy dx
cy
0 es
y
Ae
Métodos Matemáticos - INAOE
Be
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
La ecuación auxiliar:
Raices reales e iguales.
Si la ecuación auxiliar:
am
2
bm
Con solución:
m
1 0
b
2 4
ac
and
m
2 2
a
donde:
m m
1 , 2
R
, y
m
1
m
2
b
2 4
ac
2
a
Entonces la solución a:
a
2
d y dx
2
b dy dx
cy
0 es
y
(
A
Métodos Matemáticos - INAOE
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
La ecuación auxiliar:
Raices complejas.
Si la ecuación auxiliar:
am
2
bm
Con solución: 0
m
1
b
2 4
ac
and
m
2 2
a
b
2 4
ac
2
a
donde:
m m
1 , 2 О C Entonces las soluciones a la ecuación auxiliar son complejas conjugadas, y por tanto :
m
1
j
y
m
2
j
Métodos Matemáticos - INAOE
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
La ecuación auxiliar:
Raices complejas.
Y la solución a la ecuación diferencial es de la forma:
y
Ae
(
e
x
Ae j
)
x
Be
(
j
)
x Be
Como:
e
cos
x
j
sin
x
and
e
cos
x
j
sin
x
Entonces:
Ae
Be
(
A
B
) cos
x
C
cos
x
D
sin
x
B
)sin
x
Y la solución a una ecuación diferencial con raíces complejas esta dada por:
y
e
x
C
cos
x
D
sin
x
Métodos Matemáticos - INAOE
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones Homogeneas: ejemplos Solucionar: Cuya ecuación característica es: Cuyas raíces son reales y distintas Métodos Matemáticos - INAOE
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones Homogeneas: ejemplos Solucionar: Cuya ecuación característica es: Cuyas raíces son reales e iguales Métodos Matemáticos - INAOE
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones No-homogeneas. Coeficientes indeterminados
La ecuación diferencial de segundo orden, de coeficientes constantes, lineal, no homogénea, es del tipo:
a
2
d y dx
2
b dy dx
cy
La solución está dada en dos partes
y
1 +
y
2 : (a) La parte 1,
y
1 es la solución a la ecuaciòn homogénea, y es llamada la solución complementaria.
(b) La parte 2,
y
2 la cual es llamada la solución particular.
Métodos Matemáticos - INAOE
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones No homogeneas: Solución complementaria
ejemplo, para solucionar :
(a) solución complementaria
2
d y dx
2 5
dy dx
6
y
x
2 Ecuación auxiliar:
m
2 – 5
m
+ 6 = 0 la solución
m
= 2, 3 Y la solución complementaria es
y
1 =
Ae
2
x
+
Be
3
x
, donde: 2
d y
1
dx
2 5
dy
1
dx
6
y
1 0
Métodos Matemáticos - INAOE
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones No homogeneas: Solución Particular
(b)
Solución Particular
Se presupone una forma para
y
2 tal que
y
2 =
Cx
2 +
Dx
+
E
, y se sustituye en: Lo cual da: 2
d y
2
dx
2 5
dy dx
2 6
y
2
x
2 6
Cx
2 (6
D
(2
C
5
D
x
2 0
x
0 permitiendo:
C
1/ 6 :
D
5/18 :
E
19 /108 De forma que:
y
2
x
2 6 5
x
18 19 108
Métodos Matemáticos - INAOE
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones No homogeneas: Solución Completa
(c) La solución completa a: consiste de: 2
d y dx
2 5
dy dx
6
y
x
2 Solución complementaria + solución particular La cual es:
y
y
1
y
2
Ae
2
x
Be
3
x
x
2 6 5
x
18 19 108
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COEFICIENTES INDETERMINADOS
Ecuaciones No homogeneas: Solución Particulares
La forma general que se presupone para la integral particular depende de la forma del lado izquierdo de la ecuación no homogénea. La tabla siguiente puede ser usada como una guía:
k k k kx kx
2
e kx x x
Assume
y C Cx
D Cx
2
Dx
E C
sin
x
D
cos
x C
sinh
x
D
cosh
x Ce kx
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Solucionar:
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Métodos Matemáticos - INAOE
Solucionar:
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Métodos Matemáticos - INAOE
EJEMPLO: Resolver la sig. Ec. Dif. no homogénea de coef. constantes :
y
´´ 8
y
2
e
x
5
x
Ec. Homogénea asociada:
y
´´ 8
y
0 Polinomio característico: 2 8 0 1 , 2
j
2 2
y c
k
1
e j
2 2
k
2
e
j
2 2 Por ecuación de Euler:
y c
c
1 cos ( 2 2 )
x
c
2
sen
( 2 2 )
x
Se propone sol. particular:
y p
Ae
x
Bx
C
Derivando dos veces:
y p
´´
Ae
x
Substituyendo en la ec. original y resolviendo para las constantes ABC:
A
2 / 9
B
5 / 8
C
0
y p
2 9
e
x
5 8
x y
c
1 cos ( 2 2 )
x
c
2
sen
( 2 2 )
x
2 9
e
x
5 8
x
ECS. DIF. LINEALES DE ORDEN SUPERIOR : Homogénea:
Polinomio característico: Sacando raíces: Ejemplo: Solución:
Cada par de raíces complejo conjugadas DIFERENTES : Genera un par de funciones linealmente independientes:
N funciones “y” son linealmente independientes si :
Ejemplo:
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Variación de Parámetros Variación de parámetros es otro método para encontrar una solución particular de la ecuación diferencial de orden n: Si y 1 (x), y 2 (x),..., y
n
(x) son soluciones n-linealmente independientes de la ecuación homogénea entonces la solución complementaria está dada por: Métodos Matemáticos - INAOE
(Recordar brevemente el método ya visto de “Variación de Parámetros” para el caso de 1er. Orden)
METODO DE VARIACION DE PARAMETROS EN LA SOLUCION DE ECS. DIF. LINEAL NO-HOMOGENEA
dy dx
P
(
x
)
y
f
(
x
)
y
y c
y p
Sol. Complementaria es la sol. de la ec. homogénea asociada
y
1
e
P
(
x
)
dx
La solución particular proviene de la forma de f(x)
y
v y
1
v
f
(
x
)
y
1 (
x
)
dx
c
METODO DE VARIACION DE PARAMETROS (AHORA PARA ORDEN “n”)
y
y c
y p
Sol. Complementaria es la sol. de la ec. homogénea asociada La solución particular proviene de la forma de f(x)
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Variación de Parámetros Una solución particular de L(y) = f(x) tiene la forma: donde y
i v i
= y
i
(x) (i = 1,2,..., n) fueron obtenidas a partir de la homogénea asociada, (i = 1,2,..., n) son las funciones por determinar.
Para hallar v
i
, Hay que solucionar primero simultáneamente las siguientes ecuaciones lineales v
i
’ para : Y entonces se integra cada uno para obtener v
i
, despreciando todas las constantes de integración, lo cual se permite porque solo buscamos solamente una solución particular Métodos Matemáticos - INAOE
Solucionar:
Ecuaciones diferenciales de segundo orden 3 0 1 0 ; 2 , 3
j y c
c
1
c
2 cos
x
c
3
senx
Métodos Matemáticos - INAOE
Ejemplo: Resolver por variación de parámetros la sig. ec.
y
´´
y
sec
x
2 1 0 1 , 2
j y c
c
1 cos
x
c
2
senx y p
v
1 cos
x
v
2
senx v
1 ´
sen x
cos
x v
2 ´ 1
v
1 ´ cos
x v
1 ´(
senx
)
v
2 ´
senx
v
2 ´(cos
x
) 0 0
v
1 ln cos
x
;
v
2
x y p
cos
x
ln cos
x
x senx y
y c
y p
c
1 cos
x
c
2
senx
cos
x
ln cos
x
x senx
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones Homogeneas: ejemplos Solucionar: Cuya ecuación característica es: Métodos Matemáticos - INAOE