Transcript UNIDAD No. 1

Unidad 1: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
SOLUCIONES POR SUSTITUCION
(Método de sustitución)
Sustituciones

Suponga que se desea transformar la
dy
ecuación diferencial de primer orden  f ( x, y )
dx
mediante la sustitución y=g(x,u),
donde u se considera una función de la
variable x.
Si g posee derivadas parciales, entonces la
regla de la cadena dy  g dx  g du genera
dy
du dx
 g x ( x, u )  g u ( x, u ) .
dx
dx
x dx
u dx
Sustituciones…

Si dy/dx se sustituye por la derivada anterior y y
se reemplaza en f(x,y) por g(x,u) entonces, la
ecuación diferencial dy
se convierte en
dx
 f ( x, y )
du
g x ( x, u )  g u ( x, u )
 f ( x, g ( x, u ))
dx
que si se resuelve para du/dx, tiene la forma:
du
 F ( x, u ).
dx

Si de esta última ecuación se puede determinar
una solución u=f(x), entonces una solución de la
ecuación diferencial original es y=g(x,f(x)).
Funciones homogéneas
Si una función f posee la propiedad
f(tx,ty)=taf(x,y) para algún número real a, se
dice entonces que f es una función
homogénea de grado a.
 Por ejemplo:
f(x,y) = x3+y3 es una función homogénea
de grado 3 mientras que f(x,y) = x3+y3 +1
no lo es.

Polinomios homogéneos
Polinomios homogéneos son aquellos en
los que todos los términos son del mismo
grado.
 Ejemplos:
x2y + 8xy2 – x3 +y3
(la suma de los exponentes de cada uno de los cuatro
términos son de grado 3).
5x2y3 + 4xy4 +8x5
(la suma de los exponentes de cada uno de los tres
términos son de grado 5).

Ecuaciones homogéneas

Cuando las funciones M(x,y) y N(x,y) de la
ecuación diferencial de primer orden
M(x,y)+N(x,y)=0 son ambas polinomios
homogéneos del mismo grado “n”, la
ecuación diferencial se denomina: ecuación
diferencial homogénea de grado n.
Ecuaciones homogéneas…
Para la ecuación diferencial homogénea
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, M y N tienen la
propiedad de que para toda t>0, la
sustitución de x por tx y la de y por ty hace
que M y N sean del mismo grado n.
 En otras palabras, la ecuación diferencial
es homogénea si:
M(tx,ty)=tnM(x,y) y N(tx,ty)=tnN(x,y).
Para n e R.

Ecuaciones homogéneas…

Las ecuaciones diferenciales homogéneas
de grado n siempre se pueden reducir a
ecuaciones diferenciales de variables
separables, utilizando cualquiera de las dos
sustituciones, o cambios de variables
siguientes:
y
dy
dv
v
 y  vx ;
vx
x
dx
dx
x
dx
du
u
 x  uy ;
u y
.
y
dy
dy
Problema

Resuelva la ecuación diferencial
( x 2  y 2 )dx  ( x 2  xy)dy  0
mediante la sustitución:
y
v
 y  vx ;
x
dy
dv
vx
dx
dx
Ecuación de Bernoulli

La ecuación diferencial
dy
 P( x ) y  f ( x ) y n
dx
Donde n es cualquier real se llama
Ecuación de Bernoulli.


Para n=0 y n=1 la ecuación anterior es lineal.
Para n diferente de 0 ó 1, la sustitución u=y1-n
reduce la ecuación de Bernoulli a una ecuación
lineal.
Ecuación de Bernoulli…

Resuelva la ecuación diferencial con la sustitución
adecuada.
dy
1
x
y 2
dx
y
Otras reducciones

Una ecuación diferencial de la forma:
dy
 f ( Ax  By  C )
dx
Se reduce siempre a una ecuación con
variables separables por medio de la
sustitución: u  Ax  By  C con B  0.
Otras reducciones…

Resuelva las ecuaciones diferencial con la
sustitución adecuada.
dy
 (3 x  y ) 2  2
dx
dy
 ( x  y  1) 2
dx