UNIDAD No. 1
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Transcript UNIDAD No. 1
Unidad 1: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
SOLUCIONES POR SUSTITUCION
(Método de sustitución)
Sustituciones
Suponga que se desea transformar la
dy
ecuación diferencial de primer orden f ( x, y )
dx
mediante la sustitución y=g(x,u),
donde u se considera una función de la
variable x.
Si g posee derivadas parciales, entonces la
regla de la cadena dy g dx g du genera
dy
du dx
g x ( x, u ) g u ( x, u ) .
dx
dx
x dx
u dx
Sustituciones…
Si dy/dx se sustituye por la derivada anterior y y
se reemplaza en f(x,y) por g(x,u) entonces, la
ecuación diferencial dy
se convierte en
dx
f ( x, y )
du
g x ( x, u ) g u ( x, u )
f ( x, g ( x, u ))
dx
que si se resuelve para du/dx, tiene la forma:
du
F ( x, u ).
dx
Si de esta última ecuación se puede determinar
una solución u=f(x), entonces una solución de la
ecuación diferencial original es y=g(x,f(x)).
Funciones homogéneas
Si una función f posee la propiedad
f(tx,ty)=taf(x,y) para algún número real a, se
dice entonces que f es una función
homogénea de grado a.
Por ejemplo:
f(x,y) = x3+y3 es una función homogénea
de grado 3 mientras que f(x,y) = x3+y3 +1
no lo es.
Polinomios homogéneos
Polinomios homogéneos son aquellos en
los que todos los términos son del mismo
grado.
Ejemplos:
x2y + 8xy2 – x3 +y3
(la suma de los exponentes de cada uno de los cuatro
términos son de grado 3).
5x2y3 + 4xy4 +8x5
(la suma de los exponentes de cada uno de los tres
términos son de grado 5).
Ecuaciones homogéneas
Cuando las funciones M(x,y) y N(x,y) de la
ecuación diferencial de primer orden
M(x,y)+N(x,y)=0 son ambas polinomios
homogéneos del mismo grado “n”, la
ecuación diferencial se denomina: ecuación
diferencial homogénea de grado n.
Ecuaciones homogéneas…
Para la ecuación diferencial homogénea
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, M y N tienen la
propiedad de que para toda t>0, la
sustitución de x por tx y la de y por ty hace
que M y N sean del mismo grado n.
En otras palabras, la ecuación diferencial
es homogénea si:
M(tx,ty)=tnM(x,y) y N(tx,ty)=tnN(x,y).
Para n e R.
Ecuaciones homogéneas…
Las ecuaciones diferenciales homogéneas
de grado n siempre se pueden reducir a
ecuaciones diferenciales de variables
separables, utilizando cualquiera de las dos
sustituciones, o cambios de variables
siguientes:
y
dy
dv
v
y vx ;
vx
x
dx
dx
x
dx
du
u
x uy ;
u y
.
y
dy
dy
Problema
Resuelva la ecuación diferencial
( x 2 y 2 )dx ( x 2 xy)dy 0
mediante la sustitución:
y
v
y vx ;
x
dy
dv
vx
dx
dx
Ecuación de Bernoulli
La ecuación diferencial
dy
P( x ) y f ( x ) y n
dx
Donde n es cualquier real se llama
Ecuación de Bernoulli.
Para n=0 y n=1 la ecuación anterior es lineal.
Para n diferente de 0 ó 1, la sustitución u=y1-n
reduce la ecuación de Bernoulli a una ecuación
lineal.
Ecuación de Bernoulli…
Resuelva la ecuación diferencial con la sustitución
adecuada.
dy
1
x
y 2
dx
y
Otras reducciones
Una ecuación diferencial de la forma:
dy
f ( Ax By C )
dx
Se reduce siempre a una ecuación con
variables separables por medio de la
sustitución: u Ax By C con B 0.
Otras reducciones…
Resuelva las ecuaciones diferencial con la
sustitución adecuada.
dy
(3 x y ) 2 2
dx
dy
( x y 1) 2
dx