Transcript 00. Repaso de Calculo e Introduccion a las Ecs Difs

CAPITULO I
Funciones
CAPITULO II
Integrales
CAPITULO III
Ecuaciones diferenciales
CAPITULO IV
Método para resolver una ecuación diferencial
Funciones
1.1 Exponenciales y Logarítmicas
1.2 Diferenciación de una Función Exponencial
1.3 Diferenciación de una Función Logarítmica
1.3.1 Diferenciación Logarítmica
Integrales
2.1 Integral Indefinida
2.2 Integración de Funciones Trigonométricas
2.3 Teorema Fundamental del Cálculo
2.4 Método de Sustitución
2.4.1 Sustitución para integrales definidas
2.5 Integración por partes
Ecuaciones Diferenciales
3.1 Introducción
3.2 Solución de una Ecuación Diferencial
3.2.1 Comprobación de la solución de una ED
3.3 Obtención de una Ecuación Diferencial a
partir de la solución general.
Métodos Para Resolver una ED
4.1 Introducción
4.1.1 Objetivo de los métodos para la obtención de la
solución general.
4.2 Ecuaciones de Variables Separables
4.3 Ecuaciones Homogéneas
4.4 Ecuaciones Exactas
Cálculo con Geometría Analítica
R. E. Larson y R. P. Hostetler
Mc. Graw-Hill, 2000
Cálculo con Geometría
L. Leiithold
Harla, 1992
Cálculo, Concepto y Contextos
J. Stewart
Internacional Thompson, 1999
Ecuaciones Diferenciales
E. D. Rainville
Nueva Editorial Interamericana, 1987
Cálculo
Frnakes Ayres Jr., Elliot Mendelson
Mc. Graw-Hill, 2001
Matemáticas Superiores para Ingeniería
C. Ray Wyle
Mc. Graw-Hill, 1994
Definición
f :AB
f Función
A y B Conjuntos
La función denota una regla que asigna a cada elemento de x
del conjunto A, exactamente un elemento, denotados
por f(x) del conjunto B.
A
x
f(x)
a
f(a)
B
Considerando que los conjuntos A y B son conjuntos de
números reales:
ABR
Dominio es el conjunto A de la función, denotado por
D(f).
Rango es el conjunto de todos los valores posibles
f(x) conforme varía en todo el dominio A.
El número f(x) es el valor de f en x.
R( f )   f ( x) : x  A
y
y=f(x)
Rango
x
Dominio
Ejemplo
Encuentre el dominio y rango de cada función:
1. f(x)=2x-1
2. g(x)=x2
Solución
1. La ecuación de la gráfica es y=2x-1, la cual es la ecuación
de una recta con pendiente y ordenada en el origen de -1. La
expresión esta definida por todos los números reales, de
manera que D(f)=R y su rango es también R(f)=R.
1
-1
-1
1/
2
1
Solución
2. La ecuación de la gráfica g(x)=x2, la cual representa una
parábola. La función g esta definida para cualquier número
real, así D(g)=R y su rango es positivo.
4
3
2
1
-2
-1
1
2
Funciones Potencia
Funciones donde la base es una variable y la potencia es una
constante, tiene la siguiente forma:
f (x) 
Ejemplos:
x
a
aR
f (x)  x 2
g( x ) 
x
h( x )  x 1
Función Exponencial
Función donde la base es una constante y la potencia es una
variable, es la función exponencial de base a, tiene la
siguiente forma:
f (x)  a
x
a0
x R
Ejemplos:
f (x)  2
x
g( x )  3 2 x
1
h( x )   
2
x
Propiedades de la Función Exponencial
Siendo:
x, y  R
a, b  0
1.
a0  1
4.
ab x
 axbx
2.
a x a y  a xy
5.
a 
 a x y
x
3.
a
x y

a
ay
x y
x
x
a
a
 
6.    x
b
b
En cálculo se decide trabajar como base el número
irracional e que tiene un valor aproximado de
2.718281828.
Definición
La función exponencial para cualquier x є R se define
como:
1
x
e  Lim 1  x  x  2.718281828
x 0
Cuenta con las mismas propiedades que cualquier función
exponencial de base a.
Gráfica de la Función Exponencial “base e”
4
3
2
1
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
Función Logarítmica
Para a>0 y a1 y x>0 denotamos la función logaritmo de
base a por logax, y se define como:
log a x  b  a b  x
Si x>0 entonces logax es el exponente al que debe elevarse
la base a para dar x.
Las funciones exponenciales y logarítmicas son funciones
inversas una de otra, como se puede ver en los siguientes
ejemplos:
Forma Logarítmica Forma Exponencial
log28=3
23=8
loga1=0
a0=1
log10 0.1=-1
10-1=0.1
log10 1000=3
103=1000
Propiedades de la Función Logarítmica
Siendo: a, b  1 y x, y >0 se tienen las siguientes
características:
1. log a 1  0
3. log a xy   log a x  log a y
n
5. log a x  n log a x
1
7. log a b 
log b a
2. log a a  1
x
4. log a    log a x  log a y
y
log b x
6. log a x 
log b a
Logaritmo Natural
Es la función para un x>0 se define como la función
logaritmo cuya base es el número e y se denota por:
ln x  log e x
Esta función goza de las mismas características que la
función logarítmica de base a, dados x, y > 0.
Función de Logaritmo Natural
0.5
-1
-2
-3
-4
1
1.5
2
Propiedades como Funciones Inversas
1. Si a > 0 y a  1 se tiene:
log a a x  x
a l oga x  x
x  R
x  0
2. Si a = e se tiene:
ln e x  x
e l nx  x
x  R
x  0
Ejemplo:
Desarrolla las siguientes expresiones:
10
log 5
9
ln 3x  2
xy
log 2
5

x  2
ln
2
x3 x  1
Solución:
1. Aplicando la propiedad 4 de logaritmos:
x
log a    log a x  log a y
y
10
log 5
 log 5 10  log 5 9
9
Solución:
2. Aplicando la propiedad 5 de logaritmo natural:
log a x n  nlog a x
ln
1
3 x  2  ln 3 x  2 
2
Solución:
3. Aplicando la propiedad 3 y 4 de logaritmos:
log a xy   log a x  log a y
log 2
x
log a    log a x  log a y
y
xy
 log 2 x  log 2 y   log 2 5
5
Solución:
4. Aplicando la propiedad 3, 4 y 5 de logaritmo natural:
log a xy   log a x  log a y
log a x n  nlog a x
x
log a    log a x  log a y
y
2

x  2
ln
3
x x 1
 ln x  3
2
1
 ln x x  1  2 ln x  3  ln x  ln x  1
3
3
Ejercicios para Resolver en Clase:
1. Escribir cada ecuación logarítmica mediante exponencial
y viceversa:
a) ln8.4 = 2.128
b) 491/2 = 7
2. Desarrolla cada una de las siguientes ecuaciones:
a) log2x2y
b) ln(z-1)2
Ejercicios de Tarea:
1. Desarrolla la siguiente expresión:
 x 1
ln  3 
 x 
2
3
2. Despejar x de las siguientes expresión:
a)
log 10 x  3  log 10 x  1
b) e l nx  4
c) ln e x  3
Funciones de Base Arbitraria
Para a>0 y a1 y u=u(x) una función diferencial en x donde
xєR entonces la derivada de ax es:
d x
a  ln a a x
dx
y para la derivada de au es:
d u
u du


a  ln a a
dx
dx
Ejemplo:
1. Derivar las siguientes funciones:
(a) y=2x
(b) y=2senx
Solución:
(a)
y' 
d x
2  ln 2 2 x
dx
(b) y' 
d s enx
2
dx
y'  ln 2 2 s enx
d
senx
dx
y'  cos x ln 22 senx
Funciones de Base e
Para a>0 y a1 y u=u(x) una función diferencial en x donde
xєR entonces la derivada de ex es:
d x
e  ex
dx
y para la derivada de eu es:
d u
u du
e e
dx
dx
Ejercicios para Realizar en Clase:
1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones:
a) y=e3x+1
b) y=(ex+1)2
c) y=e3x
d) y=etan3x
Ejercicios de Tarea:
1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones:
a) y=a5x-1
b) y=x2ex
c) y=e5x
Derivación con Base Arbitraria:
Si a>0, a1 y u=u(x), es una función diferenciable de x,
donde x>0, entonces la derivada de logax es:
d
1
log a x 
ln a x
dx
y la derivada de logau es:
d
1 du
log a u 
ln a u dx
dx
Ejemplo:
1. Derivar las siguientes funciones:
(a) y=log10cosx
(b) y=log5(2+senx)
Solución:
(a)
d
log 1 0 cos x 
dx
1
d
y' 
cos x
ln 10cos x dx
y' 
y' 
 senx
tan x

ln 10cos x
ln 10
(b)
y' 
d
log 5 2  senx 
dx
y' 
1
d
2  senx 
ln 5(2  senx ) dx
y' 
cos x
ln 5(2  senx )
Derivación con Base e
Si a>0, a1 y u=u(x), es una función diferenciable de x,
donde x>0, entonces la derivada de lnx es:
d
1
ln x 
dx
x
y la derivada de lnu es:
d
1 du
ln u 
dx
u dx
Ejemplo:
1. Derivar las siguientes funciones:
x 1
3
(a) y  ln x  1
(b) y  ln
x 2


Solución:
(a)
 

y' 
d
ln x 3  1
dx
y' 
1
d 3
x 1
3
x  1 dx
3x 2
y'  3
x 1

(b)

y' 
y' 
y' 
d  x 1 

ln 
dx  x  2 
1
d  x 1 


x  1 dx  x  2 
x 2
x 5
2x  1 x  2
Ejercicios para Resolver en Clase:
1.Derivar las siguientes funciones:
a) f    ln cos  
ax
b) gx   ln
ax
c) f x   x ln x
Ejercicios de Tarea:
1.Derivar las siguientes funciones:
a) f x   log 3 x 2  4

b)
f x   ln x

El cálculo de derivadas de funciones complicadas que
comprenden productos, cocientes o potencias se puede
simplificar tomando logaritmos.
Método de la Derivación Logarítmica:
1. Tome logaritmos naturales en ambos miembros de una
ecuación y=f(x) y aplique la propiedad de los logaritmos
para simplificar.
2. Derive con respecto a x.
3. Resuelva la ecuación resultante para y’.
Ejemplo:
1. Derivar las siguiente ecuación:
y
x
3
4
x2  1
3 x  25
Solución:
 34

2
x
x

1

ln y  ln 
5
 3 x  2 




3
1
ln y  ln x  ln x 2  1  5 ln 3 x  2
4
2
1 dy
3
x
15

 2

y dx 4 x x  1 3 x  2
3
dy
x
15  x 4 x 2  1  3
x
15 
 3
 y
 2







5
2
dx
3x  2  4x x  1 3x  2 
 4x x  1 3x  2 
Ejercicios para Resolver en Clases:
1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada
de las siguientes funciones:

a) y  3x  7  8x  1
4
2

3
senx
y

x
b)
Ejercicios de Tarea:
1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada
de las siguientes funciones:

x  1 x  5
y
8
x  3
4
a)
3
b)
y  xx
Definición
Una función F se dice que es una primitiva o antiderivada
de f en un intervalo I si F’(x)=f(x) para todo x є I.
Ejemplo
Se necesita encontrar una función F que su derivada sea
f(x)=4x3, por los conocimientos en diferenciación se diría
que:
F (x)  x
4
Por lo tanto F es una primitiva de f.
d 4
x  4x 3
dx
Familia de Primitivas:
Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G es
una primitiva de f en I si y solo si G es de la forma:
x  I
Gx   F x   C
C R
Ejemplo
Sabemos que la función F(x)=x4 es una primitiva de
f(x)=4x3 así que las siguientes funciones:
G1(x)=x4+5
G2(x)=x4-123
también son primitivas de f(x).
G x   x 4  C
Es la familia de primitivas de f(x)
Para denotar la primitiva de una función f se usa la notación:
 f x dx
Definición
El proceso de calcular las primitivas de una función f se
denomina integración, así que tenemos:
 f x dx  F x   C
C R
lo que significa que:
d
F x   C   F ' x   f x 
dx
Partes de la Integración:
Variable de Integración
 f x dx  F x   C
Símbolo de la
Integración
Integrando
Constante de
Integración
Reglas de la Integración:
1.
 kf x dx  k  f x dx
2.
  f x   gx dx   f x dx   gx dx
n 1
x
C
3.  x n dx
n 1
n  1
5.  e x dx  e x  C
7.
 senxdx   cos x  C
1
4.  dx  ln x  C
x
ax
x
C
6.  a dx 
ln a
8.
 cos xdx  senx  C
Reglas de la Integración:
2
9.  sec xdx  tan x  C
2
csc
xdx   cot x  C
10. 
11.  sec x tan xdx  sec x  C
12.  csc x cot xdx   csc x  C
1
1
dx

sen
x C
14. 
x2  1
1
dx  tan 1 x  C
13.  2
x 1
Ejemplo:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1
1.  3 dx
x
3.
 2senxdx
5.
 3x
4

 5 x 2  x dx
2.

4.
 x  2dx
x dx
Solución:
1.
1
x 2
1
3
 x 3 dx   x dx   2  C   2x 2  C
3
2.
3.

x dx   x
1/2
x
dx 
3
2
2
2 32
2
C  x C 
x3  C
3
3
 2senxdx  2 senxdx  2 cos x   C  2cosx  C
Solución:
4.
x2
 x  2dx   xdx   2dx  2  2x  C
5.
 3x
4

 5x 2  x dx  3 x 4 dx  5  x 2 dx   xdx
 x5   x3  x2
3 5 5 3 1 2
 3   5  
C  x  x  x C
5
3
2
 5   3  2
Ejercicios para resolver en Clase:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1.
 10x
2.
 x
3
4

 2 sec 2 x dx

 6 x dx
3 
 3
3.   2 x  6 x  2
dx
x 1

Ejercicios de Tarea:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1.
 x
2.
 2senx  3 cos x dx
3.

3/2

 2 x  1 dx
x2  x  1
x
dx
Identidades Fundamentales:
1.
1
csc x 
senx
2.
1
sec x 
cos x
3.
tan x 
senx
cos x
4.
cot x  cos xsenx
5.
cot x 
1
tan x
6.
sen 2 x  cos 2 x  1
7.
tan 2 x  1  sec 2 x
8.
cot 2 x  1  csc 2 x
Con las identidades mencionadas anteriormente se extienden
las fórmulas básicas de integración:
15.
 tan xdx   ln cos x  C
16.  cot xdx   ln senx  C
17.
 sec xdx  ln sec x  tan x  C
18.  csc xdx   ln csc x  cot x  C
Ejemplo:
Calcular la siguiente integral
 tan
2

y  1 dy
Solución:
 tan
2

y  1 dy   sec 2 ydy  tany  C
Ejercicios para Resolver en Clases:
1. Resolver las siguientes integrales
a)
 2senx  3 cos x dx
b)
 1  csc x cot x dx
c)
 sec
2

x  senx dx
Ramas del
Cálculo
Cálculo
Diferencial
Cálculo
Integral
Entre ambas ramas existe una relación descubierta
independientemente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz,
que se denomina Teorema Fundamental del Cálculo, el
cual afirma que la diferenciación e integración son
operaciones mutuamente inversas.
Teorema Fundamental de Cálculo
Si f(x) es una función continua en [a, b] y F es una primitiva
de f en [a, b] entonces:
b
 f x dx  F (b)  F (a)
a
Para aplicarlo se va a utilizar la siguiente notación:
b

a
f x dx  F x a  F (b)  F (a)
b
Propiedades de la Integral Definida
Sea f(x) una función integrable en [a, b], entonces:
1. Si k es cualquier constante entonces:
b
b
a
a
 kf x dx  k  f x dx
2. Si g(x) es una función integrable en [a, b], entonces:
b
b
b
a
a
a
  f x   gx dx   f x dx   gx dx
Propiedades de la Integral Definida
3. Sea c є [a, b], es decir, a<c<b. Entonces f es integrable en
[a, b], si solo si f es integrable en [a, c] y en [c, b]:
b
c
b
a
a
c
 f x dx   f x dx   f x dx
4. La integral definida sobre un punto es cero, esto es:
a
 f x dx  0
a
Propiedades de la Integral Definida
5. La integral definida de a a b de f es igual a menos la
integral definida de b a a de f, es decir:
b
a
a
b
 f x dx   f x dx
Ejemplo
Resuelva las siguientes integrales:
1
1.
 x
2

 3 dx
2
4
2.
3
1
x dx
Solución:
1. Geométricamente la integración de la función (1) en el
intervalos [1, 2] es el área de la región sombreada:
1
 x
2
2

1
1
 3 dx   x 2 dx   3dx
2
1
2
x3 
1
    3 x 2
 3 2
 1 8
     3  6
3 3
2

3
Solución:
2. Geométricamente la integración de la función (2) en el
intervalos [1, 4] es el área de la región sombreada:
4
3
1
4
x dx  3 x
1/2
1
 24
3/2
 14
4
x 
dx  3

3
/
2

1
3/2
 21 
3/2
Ejercicios para Resolver en Clase
Resolver las siguientes integrales:
1
1.
 2xdx
0
0
2.
 x  2dx
1
1
x x
dx
3. 
3
0
Ejercicios de Tarea
Resolver las siguientes integrales:
2
 3

1.   2  1 dx

1x

1
2.
3

x  2 dx
1
4
3.

1
x 2
x
dx
Método de Sustitución
Sea g una función cuyo rango es un intervalo I, y sea f una
función continua en I. Si g es diferenciable en su dominio y F
es una primitiva de f en I, entonces:
 f gx g' x dx  F gx   C
Si hacemos el cambio de variable u=g(x) entonces
du=g’(x)dx y:
 f u du  F u   C
Este método es comparable a la regla de la cadena en la
diferenciación.
Ejemplo:
1. Resolver la integral:
Solución:
u  x3  1
 du  3x 2 dx
2
3
3
x
x
 1dx

2
3
1/2
3
x
x

1
dx

u
du

u


 du
u3/2
2 3/2

C  u C
3
3
2

2 3
 x 1
3

3/2
2
c 
3
x
3
1

3
C
Ejercicios para Resolver en Clases
1. Resuelva las siguientes ecuaciones:
a)
 2x x
b)
 x x
c)
 5 cos x 5 xdx
2
2

4
 1 dx

2
 1 dx
Existen dos métodos para evaluar una integral definida por
sustitución.
Uno de ellos es evaluar primero la integral indefinida y en
seguida aplicar el TFC, por ejemplo:
4

0
 1 2 x  1 
1

2 x  1dx    2 x  1 2dx   
3/2
2
0 2
4
4
3/2
4


0
1 3/2 1 3/2 1
26
1
3/2 
  2 x  1    9  1  27  1  
3
3
3
3
0 3
El otro método suele ser el mas adecuado, en este se cambian
los límites de integración cuando se cambie la variable, como
se explica a continuación:
Si g’ es continua sobre el intervalo [a, b] y f lo es
sobre el rango de u=g(x) entonces
b
g( b )
a
g( a )
 f gx g' x dx   f udu
Ejemplo
4

2 x  1dx
0
Solución
Tomando la sustitución u=2x+1 tenemos que
du  2dx
1
 dx  du
2
Hallamos los nuevos límites de integración:
x 0

u0  20  1  1
x4

u4  24  1  9
Por lo tanto:
4

0
9
2x  1dx   udu
1
9
 3/2 
9
9
1
1 u
  1 2 u3/2   1 u3/2
  u 1 / 2 du  

21
2 2 
2  3
3
1
 3  1




1 3/2
26
9
 13/2 
3
3

9
1
Ejemplo:
Evaluar la siguiente integral
1
 x x
2

3
 1 dx
0
u  x 1
du  2 xdx
2
x  0  u0  02  1  1
1
 du  xdx
2
x  1  u1  1 2  1  2
2
4


1
u
1 4
1 3
1
3


1 2 u du  2 1 u du 2  4  1 8 u
2
2
 
2
1


1 4
15
4
 2 1 
8
8
Ejercicios para Resolver en Clase
Evaluar las siguientes integrales:
5
1.

1
x
2x  1
dx
e
ln x
2. 
dx
x
1
7
3.

3
x  3dx
Ejercicios de Tarea
Calcular las siguientes integrales
1.

x 2  3x  7
x
1
2.
 x x
2
dx

3
 1 dx
1
3.
2

2
x
9

x
dx

Sea f y g funciones diferenciables en un intervalo I, entonces:
 f x g' x dx  f x gx    gx  f ' x dx
Se puede utilizar otra notación, que es más fácil de recordar,
la cual se muestra a continuación:
u  f (x)
v  g( x )
du  f ' ( x )dx
dv  g' ( x )dx
 udv  uv   vdu
Ejemplo
 xsenxdx
Solución
ux
du  dx
dv  senx
v   cos x
De manera que:
 xsenxdx  x  cos x     cos x dx   x cos x   cos xdx
 xcosx  senx  C
 xsenxdx
Solución
Notamos que si hubiéramos elegido u=senx y dv=xdx,
entonces du=cosx y v=x2/2 por lo que:
x2
1
2


xsenx
dx

senx

x
cos xdx


2
2
2
x
 cosxdx es una integral mas difícil de calcular.
Ejemplo
2 x
x
 e dx
Solución
u  x2
du  2xdx
dv  e x dx
v  ex
De manera que:
2 x
2 x
x
x
e
dx

x
e

2
xe

 dx
La integral obtenida es mas sencilla que la inicial pero aun no
es obvia, por lo cual hay que volver a aplicar la integración
por partes.
x
xe
 dx
ux
du  dx
dv  e x dx
v  ex
x
x
x
x
x
xe
dx

xe

2
e
dx

xe

e
C


Sustituyendo el resultado de la segunda ecuación tenemos que:

2 x
2 x
x
2 x
x
x
x
e
dx

x
e

2
xe
dx

x
e

2
xe

e
C


 x 2 e x  2xe x  2e x  C 1
C 1  2C

Ejercicios para Resolver en Clase
Resuelva las siguientes integrales:
1.
 ln xdx
2.
x
e
 senxdx
3.
2
x
 ln xdx
4.
3
sec
xdx

Fórmula de Integración por Partes para Integrales
Definidas
b
b
 udv  uv   vdu
a
b
a
a
Ejemplo
1
 xe
0
x
dx
De donde:
ux
dv  e x dx
du  dx
v  ex
Por lo tanto:
1
 xe
0
x
    e dx  xe   e 
dx  xe
x 1
0
1
0
x
 e  0  e  1  1
x 1
0
x 1
0
Ejercicios de Tarea
Resuelva las siguientes integrales:
1.
2.
3.
4.
 2
2x
xe
 dx
5.
 x cos xdx
6.
1
sen
xdx

7.
 sen cos  dx
 x cos 2xdx
0
4
 ln
1
1
x dx
1
x
tan
xdx

0
Definición
Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que
involucra derivadas de una función desconocida de una o
varias variables.
Ejemplo
Las siguientes expresiones son ejemplos de ED’s:
2
d y
dy
3
 2y  0
2
dx
dx
dy
 y
dt
Conocida como Ley de
Crecimiento Exponencial
En basa a la definición anterior se tiene que:
a) Si la función desconocida depende de solo una variable la
ecuación se llama Ecuación Diferencial Ordinaria.
dy
 2x
dx
y'  2 x  y
b) Si la función desconocida depende de más de una variable
la ecuación se llama Ecuación Diferencial Parcial.
2v
2v
2 2  v
2
x
y
Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse por su orden
y grado.
Orden
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la
derivada mas alta que aparece en la ecuación.
Ejemplo
Determinar el orden de las ecuaciones diferenciales:
3
 dy 
5

  7x  8
 dx 
d2y
 5sen3 x
2
dx
Solución
3
La ecuación diferencial:
 dy 
5

  7x  8
 dx 
Es de primer orden dado que la derivada mas alta que figura
en la ecuación diferencial es la primera derivada.
La ecuación diferencial:
d2y
 5sen3 x
2
dx
Es de segundo orden dado que la derivada más alta que
figura en la ecuación diferencial es la de la segunda derivada.
Ejercicios para resolver en clase
Determinar el orden de las siguientes ecuaciones:
2
5
d y
 d y   dy 
2





5


3
x
7


a) 
4 
2 

 dx 
 dx   dx 
4
2
6
d y
d y
 dy 
2
 7 x
b)
  x   2 
2
dx
 dx 
 dx 
2
2
3
Grado
El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de
su derivada de mayor orden, es decir, el grado de una
ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la
deriva que nos dio el orden de la ecuación diferencial.
Ejemplo
El grado de la ecuación diferencial es:
3
 dy 
xy   7 x 5  8

 dx 
de tercer grado, dado que la primera derivada está elevada
cubo.
Ejercicios para resolver en clase
Determinar el grado de las siguientes ecuaciones:
2
5
d y
 d y   dy 
2





5


3
x
7


a) 
4 
2 

 dx 
 dx   dx 
4
2
6
d y
d y
 dy 
2
 7 x
b)
  x   2 
2
dx
 dx 
 dx 
2
2
3
NOTA: cuando alguna derivada este dentro de un
radical o en polinomio, el cual este elevado a una
potencia fraccionaria, tendremos que eliminar dicho
radical para después determinar el grado de la
ecuación diferencial.
Ejercicios para resolver en clases
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones
diferenciales:
a)
dy
 7x2  1
dx
b)
d2y
dy
3
x 
2
dx
dx
Ejercicios para resolver en clases
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones
diferenciales:
a)
dy
 7x2  1
dx
b)
d2y
dy
3
x 
2
dx
dx
Ejercicios de Tarea
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones
diferenciales:
d3y
 dy 
d3y
 dy 
 3 x    5y
 5 x  8

a)
b)
3
3
dx
dx
 dx 
 dx 
3
d y
d y
dy
 18 3   8 x   3 
c)
dx
 dx 
 dx 
3
d)
3
d2y
d
y
5
 3x 
2
dx
dx 3
3
5
Una solución de una ED es cualquier función que satisface
la ED, este es, la reduce a una identidad.
Ejemplo
2
y

9

x
La función definida por
ecuación diferencial:
x
y'  

1
y'  9  x 2
2
puesto que:
es una solución de la
y
  2 x   
1
2
x
9  x2
y al sustituir en la ED se obtiene una identidad

x
9x
2

x
9x
2
3  x  3
Una solución particular de una ED es toda solución
obtenida asignando valores específicos a las constantes que
intervienen en la solución general.
Ejemplo
Verificar que y=Cx3 es solución de la ecuación diferencial
xy'3y  0
Hallar la solución particular sujeta a la condición inicial:
y(3)  2
Solución
Derivando y=Cx3 tenemos que y’=3Cx2, luego, sustituyendo
en la ED:

 

x 3Cx 2  3 Cx 3  0
de esta manera y=Cx3 es solución de la ED.
Para obtener la solución particular, apliquemos la condición
inicial y(-3)=2 en la solución general esto es:
2  C  3  27C
2
C 
27
3
La solución particular es:
2 3
y
x
27
Para comprobar que una ecuación es o no la solución de una
ecuación dada, se aplica el siguiente método:
Método
1. Observemos que derivada o derivadas aparecen en la
ecuación diferencial.
2. Estas derivas las encontramos al derivar la ecuación que
se supone solución.
3. La ecuación será solución cuando al sustituir el valor de
las derivadas encontradas (paso 2) dentro de la ecuación
diferencial, aparezca una identidad a=a (donde aєR) al
reducir la ecuación ya sustituida.
Ejemplo
Comprobar que la y=x2+C no es solución de la ecuación
diferencial
dy
x
dx
Solución
1. Observando la ecuación diferencial vemos que aparece
una derivada por lo tanto, encontramos su valor
derivando la supuesta solución.
2. Derivando y=x2+C tenemos
dy
 2x
dx
Solución
3. Sustituyendo el valor de la derivada encontrada en la
ecuación diferencial tenemos:
2x  x
21
Por lo tanto
diferencial
y=x2+C
si es solución de la ecuación
dy
x
dx
Ejercicios para resolver en clase
Determine si cada ecuación es solución o no de la ecuación
diferencial dada:
1.
y  x  Cx ;
2
 dy 
2
x

x
y

 dx 
2. y  Asen(5 x )  B cos( 5 x );
3. y  C x  C  ;
2
3
d2y
 25y  0
2
dx
 dy 
 dy 
2

4
xy

8
y
0




 dx 
 dx 
Ejercicios de tarea
Determine si cada ecuación es solución o no de la ecuación
diferencial dada:
1.
1
y  C  Cx ;
2. e
2
cos x
y  xy'  x y'
1  cos y   C ;
3. y  8 x 5  3 x 2  C ;
4
2
 dy 
seny
  senx cos y  senx
 dx 
d2y
3

6

160
x
dx 2
Para obtener la ED a partir de su solución general,
aplicaremos el siguiente método:
1. Observemos el número de constantes de integración que
aparecen en la solución general dada.
2. Derivemos la solución general tantas veces como el
número de constantes de integración aparezcan en ella.
En otras palabra, si la solución general tienen n
constantes
de
integración
diferentes,
entonces
derivaremos n veces tal solución.
3. Tomando en cuenta el resultado de la última derivada
obtenida, se nos pueden presentar los siguientes casos:
a) Si en la última derivada ya no aparecen constantes de
integración, esta será la ED que de la solución general
dada.
b) Si la última derivada contiene constantes de integración,
habrá que eliminarlas, pudiendo utilizar para esto, las
ecuaciones de las derivadas encontradas, asó como
también la solución general dada. En la ED NO deben
aparecer constantes de integración.
Ejemplo
Encuentre la ED cuya solución general es y=x2+C
Solución
Observemos que sólo aparece una constante de integración,
de manera que derivamos una sola vez la solución general
y=x2+C. Así
dy
 2x
dx
Como en esta derivada no aparecen constantes de
integración, quiere decir que esta es la ED de la solución
general presentada al inicio.
Ejemplo
Encuentre la ED cuya solución general es y=Cx2
Solución
Observemos que sólo aparece una constante de integración,
de manera que derivamos una sola vez la solución general
y=Cx2. Así
dy
 2Cx
dx
Se va a despejar C de la solución general y se sustituye el
valor encontrado en la ED.
y
C 2
x
dy
 y 
 2 2  x
dx
x 
Solución
Por lo tanto:
dy
x
 2y
dx
Es la ED de la solución general puesto que ya no aparecen
constantes de integración.
Ejercicios para resolver en clase
Encuentre la ED de las siguientes soluciones generales
1.
y  C1e x  C2e x ;
3x
y

e
 C 1 sen(2x )  C 2 cos( 2x )
2.
Ejercicios de tarea
Encuentre la ED de las siguientes soluciones generales
1.
2.
y  tan(3 x  C )
x  C 1 
2
 y 2  C 22