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Unidad 2: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE
ORDEN SUPERIOR
REDUCCIÓN DE ORDEN
Introducción

La solución general de una ecuación diferencial
homogénea de segundo orden
d2y
dy
a2 ( x ) 2  a1 ( x )  a0 ( x ) y  0
dx
dx

es una combinación lineal y=c1y1+c2y2, donde y1 y
y2 son soluciones que constituyen un conjunto
linealmente independiente en algún intervalo I.
En algunas ocasiones, es posible reducir la
ecuación diferencial a una ED de primer orden por
medio de una sustitución en la que interviene una
solución conocida y1. Una segunda solución y2 es
evidente después de resolver la ED de primer
orden.
Casos en los que es posible
la reducción de orden

Existen dos casos en los que es posible
reducir el orden de una ED lineal ordinaria
de orden dos:
Si en la ED no aparece explícitamente la
variable dependiente “y”.
 Si en la ED no aparece explícitamente la
variable independiente “x”.

CASO 1: En la ED no aparece
la variable dependiente “y”

Para este caso, es posible reducir la
ecuación diferencial
d2y
dy
a2 ( x ) 2  a1 ( x )  a0 ( x ) y  0
dx
dx
mediante el cambio de variable:
 y  z
y   z 
CASO 2: En la ED no aparece
la variable dependiente “x”

Para este caso, es posible reducir la
ecuación diferencial
d2y
dy
a2 ( x ) 2  a1 ( x )  a0 ( x ) y  0
dx
dx
mediante el cambio de variable:
 y  z
y   z
dz
dy
Esto último en virtud de que:
y  
d ( y ) dz dz dy dz



z
dx
dx dy dx dy
Problemas

Resuelva las siguientes ecuaciones
diferenciales ordinarias de segundo orden:
( x  1) y  y  0
( y  1) y   y  0
2
Caso general

Supónga que
la ED ordinaria de segundo
2
d y
dy
a
(
x
)

a
(
x
)
 a0 ( x ) y  0 se divide
orden 2
1
2
dx
dx
entre a2(x), a fin de escribirla en la forma
estándar y´´+P(x)y´+Q(x)y=0, donde P(x) y
Q(X) son continuas en algún intervalo I.
Suponga además que y1(x) es una solución
conocida de la ecuación
y´´+P(x)y´+Q(x)y=0 en I y que y1(x) es
diferente de cero para toda x en el
intervalo.
Caso general…

Si se define y=u(x)y1(x), se deduce que:
y´=uy´1+ y1u´, y´´=uy´´1 +2y´1u´+y1u´´
Con ello:
y  Py  Qy  u[ y1  Py1  Qy1 ]  y1u   ( 2 y  Py1 )u   0



Cero
Esto significa que se deben tener
y1u  (2 y  Py1 )u  0 ó y1 w  (2 y  Py1 )w  0
Donde se permite que w=u´.
La última ecuación y1w  (2 y  Py1 )w  0
es lineal y separable.
Caso general…

Al realizar la separación de variables y la
integración tenemos:
y1 w  ( 2 y   Py1 )w  0
dw
y´
 2 dx  Pdx  0
w
y1
l n wy1    Pdx  c ó wy1  c1e 
2
2
 Pdx
Resolvemos esta última ecuación con
w=u´, y se integra de nuevo.
Caso general…
e 
 Pdx

Así:
u  c1 
y1
2
dx  c 2
Al elegir c1=1 y c2=0, se encuentra de
y=u(x)y1(x) que una segunda solución de la
ecuación y´´+P(x)y´+Q(x)y=0 es:
e 
 Pdx
y 2  y1 ( x )
y1
2
dx
NOTA:
y1 y y2 son soluciones linealmente independientes en
algún intervalo en el que y1(x) no es cero.
Problema

Si la función y=x2 es una solución de la
ecuación diferencial:
x y  3xy  4 y  0
2
Obtenga la solución general (por el
principio de superposición) para la
ecuación diferencial en el intervalo (0,+Inf).