

En tiempos atrás la mayoría de las personas creían que en caída libre los objetos más pesados, como una bala de cañón, caían con una aceleración mayor que los objetos más ligeros como una pluma. Desde luego cuando se lanzaban simultáneamente desde una misma altura, sí caían a diferentes velocidades pero no era por su peso, la diferencia de las velocidades se debe a la resistencia del aire.



En la caída libre hay dos fuerzas que actúan sobre un objeto: el peso = mg , con una dirección positiva ya que esta orientada hacia abajo y fuerza, llamada amortiguación viscosa la resistencia del aire = –kv , es una que actúa en dirección opuesta la suma de estas dos fuerzas nos da la fuerza neta, ( fuerza neta = el peso + resistencia del aire) .



También tenemos que la velocidad instantánea esta relacionada con la aceleración F= ma a mediante a= dv/dt, la Segunda Ley de Newton se convierte en y esto es = m* dv/dt al igualar la fuerza neta de esta forma con la segunda ley de Newton se obtiene una ecuación diferencial de primer orden para la v(t) de un cuerpo en tiempo t.

SEGUNDA LEY DE NEWTON = FUERZA NETA

Para un movimiento de alta velocidad a través del aire , como el paracaidista que se mueve en la figura cayendo antes de que su paracaídas se abra, la resistencia del aire es más cercana a la velocidad instantánea v(t) exponencial. Determine una ecuación diferencial para la velocidad v(t) de un cuerpo cayendo con una masa m si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea.

1. Identificación de las variables responsables del cambio que se produzca en el sistema DATOS:



Cuerpo cayendo con una masa (m).



Aceleración con que cae el cuerpo

 

La gravedad Resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad



¿ Determinar una ecuación diferencial para la velocidad v(t)?.

2. FORMULACIÓN DE UN CONJUNTO DE PREMISAS RAZONABLES O HIPÓTESIS

3. REPRESENTACIÓN DE LA ECUACIÓN Al igualar la fuerza neta de esta forma con la segunda ley de Newton se obtiene una ecuación diferencial de primer orden para la v(t) de un cuerpo en tiempo t.

Entonces tenemos: Segunda ley de Newton= F= ma = m*dv/dt Fuerza neta= el peso + resistencia del aire = mg – kv ² La ecuación diferencial quedaría:

m dv dt



mg



kv

4. Resolución de la ecuación diferencial mediante separación de variables

m dv dt



mg



kv

Ecuación Diferencial de primer Orden.

mg mdv



kv

2 

dt

1

mg

*

mdv



dt mg mg



kv

2

mg

1

mg

*

mdv



dt mg mg



kv

2

mg

Se multiplica por 1/mg en el núm. Y denom. de la parte derecha de La ecuación.

1

g

*

dv

1 

kv

2

mg



dt

1 *

dv g

1 

kv

2

mg

1 

dt

1

dv g

1 

kv

2

mg



dt

Reduciendo términos Reduciendo términos

1

g

1   

k dv v mg

  2 

dt Sea u



k v mg du



k mg

* 1

dv mg k

1

g

1 2 

k mg dv

2 

dt k v mg

Reescribiendo término 2 1 

kv

2

mg

 1 

k v mg

1 2

du



u

2  1

a

tanh  1

u a



c

mg k g k

1 2   

dv mg k v mg

  2 

dt m kg

 1 1 tanh  1

k v mg



c



t



c

tanh  1

k v mg



t kg



c m

1 2

du



u

2  1

a

tanh  1

u a



c mg k g



m

*

k

*

g g g g



g

1 2

g

 1

g mg



k g m kg

k v mg

 tanh  

kg t m



c

 

v



mg k

tanh  

kg t m



c

  Por tanto la velocidad con respecto al tiempo es:

v

(

t

) 

mg k

tanh  

kg t m



c

 