Transcript ecuación diferencial

TEMA 1
DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA
Ecuación Diferencial

Se dice que una ecuación que contiene las
derivadas de una o más variables
dependientes, con respecto a una o más
variables independientes, es una ecuación
diferencial.
Clasificación de las
ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican
en función de:
TIPO.
 ORDEN.
 LINEALIDAD.

Clasificación por tipo

Si una ecuación diferencial contiene sólo
derivadas ordinarias de una o mas
variables dependientes con respecto a una
sola variable independiente se dice que es
una ecuación diferencial ordinaria.
Clasificación por tipo…

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales
ordinarias:

dy
 2y  ex
dx

d 2 y dy

 3y  0
2
dx
dx

dx dy

 2x  y
dt dt
Clasificación por tipo…

Si una ecuación diferencial contiene
derivadas parciales de una o mas variables
dependientes con respecto a una o más
variables independientes se dice que es
una ecuación diferencial parcial.
Clasificación por tipo…

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales
parciales:

 2u  2u
 2 0
2
x
y

 2 u  2 u u
 2 
2
t
x
t

u
v

x
y
Clasificación según el orden

El orden de una ecuación diferencial (ya
sea ordinaria o parcial) es el orden de la
derivada mayor en la ecuación.
Clasificación según el
orden…

La ecuación:
3
d y
 dy 
x

2

2
y

e


dx2
 dx 
2
Es una ecuación diferencial ordinaria de
segundo orden.
Clasificación según el
orden…

Una ecuación diferencial ordinaria de
n-ésimo orden se puede expresar mediante
la forma general:
F(x, y, y´, y´´, . . ., y(n))=0
Donde F es una función de valores reales
de n+2 variables x, y, y´, y´´, ..., y(n).
Clasificación según el
orden…

Es posible despejar de una ecuación
diferencial ordinaria en forma única la
derivada superior y(n) en términos de las
n+1 variables restantes.
La ecuación diferencial:
dny
( n 1)

f
(
x
,
y
,
y
´,
y
´´,
.
.
.,
y
)
n
dx
Donde f es una función continua de valores
reales, se denomina forma normal.
Clasificación según la
linealidad
Se dice que una ecuación diferencial
ordinaria de orden n es lineal si F es lineal
en y, y´, y´´, . . ., y(n).
 Esto significa que una ecuación diferencial
ordinaria de orden n es lineal cuando

dny
d n1 y
d2y
dy
an ( x ) n  an1 ( x) n1  ...  a2 ( x) 2  a1 ( x )  a0 ( x ) y  g ( x )
dx
dx
dx
dx
Clasificación según la
linealidad…

En las ecuaciones diferenciales lineales de
primero y segundo orden (n=1 y n=2):
dy
a1 ( x )  a 0 ( x ) y  g ( x )
dx
y
d2y
dy
a 2 ( x ) 2  a1 ( x )  a0 ( x ) y  g ( x )
dx
dx
se puede observar las características de
una ecuación diferencial lineal:


La variable dependiente y y todas sus derivadas
y´, y´´, . . ., y(n) son de primer grado, es decir, la
potencia de cada término en que interviene y es 1.
Los coeficientes a0, a1, …, an de y´, y´´, . . ., y(n)
dependen sólo de la variable independiente x.
Clasificación según la
linealidad…

Una ecuación diferencial ordinaria no
lineal es aquella que NO es lineal.
Clasificación según la
linealidad…

Las siguientes ecuaciones diferenciales
son no lineales:
(1  y) y´2 y  e x
El coeficiente de y´ depende de y
d2y
 ln y  0
2
dx
Función no lineal de y
d5y
3

3
y
 2x
5
dx
Potencia de y diferente de 1
Solución de una ecuación
diferencial

Cualquier función f, definida en un intervalo I
y con al menos n derivadas continuas en I,
que al sustituirse en una ecuación diferencial
ordinaria de n-ésimo orden reduce la
ecuación a una identidad, se considera
solución de la ecuación en el intervalo.
Soluciones explícitas e
implícitas


Se dice que una solución en la que la variable
dependiente se expresa solamente en términos de
la variable independiente y constantes es una
solución explícita.
Una relación G(x,y)=0 es una solución implícita
de una ecuación diferencial ordinaria en un
intervalo I, siempre que existe al menos una
función f que satisface tanto la relación como la
ecuación diferencial en I.
Familias de soluciones


Una solución que contiene una constante
arbitraria representa un conjunto G(x, y, c)=0 de
soluciones al que se le da el nombre de familia
uniparamétrica de soluciones.
Cuando se resuelve una ecuación diferencial de
n-ésimo orden F(x, y, y´, y´´, . . ., y(n))=0, se busca
una familia no paramétrica de soluciones G(x,
y, c1, c2, …, cn)=0. Esto significa que una ecuación
diferencial puede poseer un número infinito de
soluciones que corresponden al número ilimitado
de elecciones de los parámetros.
Solución particular

Una solución de una ecuación diferencial
que está libre de parámetros arbitrarios se
le llama solución particular.
Solución singular
A veces una ecuación diferencial posee
una solución que no es un miembro de una
familia de soluciones de la ecuación, es
decir, una solución que no se puede
obtener al especificar alguno de los
parámetros de la familia de soluciones.
 Esta clase de solución se denomina
solución singular.

Solución singular…

Demuestre que la función y = 0 es una
solución singular para la ecuación
diferencial y´=xy1/2.
Problema de valores
iniciales

El problema que consiste en resolver:
dny
n 1


f
(
x
,
y
,
y
,
...,
y
)
n
dx
Sujeta a :
y( x0 )  y 0 ,
y ( x0 )  y1 , ..., y ( n1) ( x0 )  y n 1
donde y0, y1, …, yn-1 son constantes reales
especificadas de manera arbitraria, se denomina
problema de valores iniciales.
Los valores de y(x) y sus primeras n-1 derivadas
en un solo punto x0; y(xo)=yo, y´(xo)=y1, ...,
y(n-1)(xo)=yn-1 se llaman condiciones iniciales.
Existencia de una solución
única

Sea R una región rectangular en el plano
xy definida para a<X<b, c<Y<d que
contiene el punto (x0,y0) en su interior. Si
f(x,y) y f y son continuas en R, entonces
existe un intervalo I0: x0-h<x<x0+h h>0,
contenido en a<X<b y una función única
y(x), definida en I0, que es una solución del
problema de valores iniciales.