Transcript Einfü hrung in die Rentenrechnung

Rentenrechnung
Miriam Egg, Gloria Urbani
Was ist eine Rente?
Kredite werden oft durch Rentenzahlungen beglichen.
Dabei zahlt man regelmäßig (monatlich, im Quartal, im
Semester oder jährlich) einen Betrag (Rentenrate) in der
selben Höhe und im gleichen Zeitabstand.
Was macht man bei der
Rentenrechnung?
Die Aufgabe der Rentenrechnung ist es, den Gesamtwert
der Rentenraten für einen bestimmten Zeitpunkt zu
ermitteln. (Zeitpunkt 0;1;2 ..) Damit kann man Angebote
vergleichen und sich für das Bessere entscheiden.
Ausdrücke und Abkürzungen
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Rentenrate = R  Höhe der einzelnen Zahlungen
Rentenperiode  Zeitabschnitt zwischen 2 Raten
Rentendauer n  Anzahl der Rentenperioden
Ganzjährige Rente  Jahr
Unterjährige Rente Semester, Quartal, Monat
Vorschüssige Rate  am Ende jeder Rentenperiode
Nachschüssige Rate  am Anfang jeder
Rentenperiode
Formelübersicht
• Nachschüssig:
• Barwert  Bn =
R
1+i
• Endwert  En = R
n
1+i n−1
i
1+i n−1
i
• Vorschüssig:
• Barwert  Bn =
R
1+i
_
n1
• Endwert  En = R 1 + i
1+i n−1
i
1+i n−1
i
Beispielübersicht
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Beispiel 1  Endwert und Barwert
Beispiel 2  Unterjährige Rente
Beispiel 3  Rentendauer n ausrechnen
Beispiel 4  Rate ausrechnen
Beispiel 5  Rentenumwandlung
Beispiel 1
Barwert + Endwert
Wie groß sind der Bar- und der Endwert einer
nachschüssigen/vorschüssigen Jahresrente mit:
Rente: € 15.000,00
Periode: 25 Jahre
Zinssatz: 5% p.a.
Lösung 1- nachschüssig
Endwert:
En =
En =
1+i n−1
R
i
1+0,05
15000
i
25
−1
En = 715.906,48 €
Barwert:
R
1+i n−1
Bn =
∗
n
1+i
i
15000
1 + 0,05 25 − 1
Bn =
∗
25
1 + 0,05
0,05
Bn = 211.409,17 €
Lösung 1 - vorschüssig
Endwert:
En = R(1 + i)
1+i n−1
i
1+0,05 25−1
0,05
En = 15000(1 + 0,05)
En = 751.701,81 €
Barwert:
R
1+i n−1
Bn =
_ ∗
1+i n1
i
15000
1 + 0,05 25 − 1
Bn =
−1∗
25
1 + 0,05
0,05
Bn= 221.979,63 €
Beispiel 2
unterjährig
Am Ende eines jeden Halbjahres werden durch 4 Jahre
2000,- bei i = 3% p.a. (effektiv) auf ein Sparkonto gelegt.
Wie groß ist das Kapital nach 4 Jahren?
R: 2000 halbjährig nachschüssig
n: 4*2=8 Halbjahre
i: 0,03
Lösung 2
Schritt 1:
(1+i2)2 = 1,03
1+i2 = 2 1,03
i2 = 0,014889157 …  store
Schritt 2:
En =
En =
1+i n−1
R
i
1+0,014889157 .. 8−1
4000
0,014889157 ..
En = 16.859,09
Beispiel 3
Periode ausrechnen
Eine nachschüssige Jahresrente von 5400,- hat bei jährlich
5%iger Verzinsung einen Endwert von 178.980,-. Wie lange
wird die Rente ausbezahlt?
Lösung 3
En = R
1+i n−1
i
/*i
En*i = R * [(1+i)n-1]
𝐸𝑛∗𝑖
𝑅
𝐸𝑛∗𝑖
𝑅
= (1+i)n -1
/:R
/+1
+ 1 = (1+i)n
log(
𝐸𝑛∗𝑖
𝑅
+ 1) = log (1+i)n
log(
𝐸𝑛∗𝑖
𝑅
+ 1) = n * log (1+i)
𝐸𝑛∗1
n=
log( 𝑅 +1)
log(1+𝑖)
=
log(
178980∗0,05
+1)
5400
log 1,05
= 20,03
Beispiel 4
Rate ausrechnen
Barwert: 50.000,i = 6%
n = 10 Jahre
R=?
Lösung 4
Bn =
R
1+i
n
∗
1+i n−1
i
R
50000 =
1 + 0,06
R = 50000/ (
R = 6793.40
1 + 0,06 10 − 1
∗
10
0,06
1+0,06 10−1
)*
0,06
1 + 0,06
10
Beispiel 5
Rentenumwandlung
Eine vorschüssige Rente von 3.000 durch 13 Jahre soll
bei i = 3% in eine 3 Jahre später beginnende ebenfalls
vorschüssige Rente durch 17 Jahre umgewandelt werden.
Wie hoch ist die neue Rate?
Lösung 5
Rentenumwandlung
13 Jahre ist die Laufzeit und die neue Rente soll 3 Jahre
später anfangen.
Man muss daher…
1. Barwert für Zeitpunkt 0 ausrechnen
2. Auf 3 Jahre aufzinsen
dann hat man Barwert für
die 17 jährige Rente
3. Aus der Gleichung von der vorschüssigen Rente
rechnet man sich dann R aus !
Lösung 5
Rentenumwandlung
=32.862*1,033= 35. 909,20
Man rechnet sich R aus (Gleichung umformen)
= 2,647.96