Transcript ve x - Başkent Üniversitesi

TBF 121 - Genel Matematik I
DERS – 5 : Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar
Bileşik Faiz
Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş
Başkent Üniversitesi
Üstel Fonksiyonlar(Exponential Functions). b > 0 , b  1 olmak üzere
f x   b x
denklemi ile tanımlanan fonksiyona b tabanında üstel fonksiyon (exponential function
with base b) denir.
Üstel fonksiyonun tanım kümesi ℝ, görüntü kümesi (0 ,  ) dur.
f x   2 x :
y
1
1
(0,0)
f x   b x
y
x
1
f x     :
2
(0,0)
x
f x   b x
0  b1
y
b 1
1
x
y
1
(0,0)
x
(0,0)
x
f x   b x
y
f x   b x
0  b1
b 1
y
1
1
(0,0)
x
(0,0)
Üstel fonksiyonun bazı özellikleri.
• y-kesişimi (0 , 1) dir.
• x-ekseni yatay asimptottur. (b  1 ise, x   iken b x  0;
0  b  1 ise, x   iken b x  0.)
• b > 1 ise, x artarken bx de artar;
0 < b < 1 ise, x artarken bx azalır.
x
• bx by = bx+y ,
b
x y

b
,
y
b
b 
•
bx = by  x = y.
•
x  0 ise, ax = bx  a = b.
x y
x
 b xy ,
a  ax

abx  a x b x ,  b   b x
• Üstel fonksiyon (-,) aralığında süreklidir.
x
Üstel fonksiyon içeren ifadelerle tanımlanmış fonksiyonların grafiklerini çizerken ikinci derste
gördüğümüz temel dönüşümlerden yararlanabiliriz.
Örnek. f ( x )  2 x 2 nin grafiğini çizelim.
Aşağıdaki temel dönüşümü düşünelim:
y  u(x)  2 x  y  u(x  2)  2 x 2  f (x)
Buradan görüyoruz ki y  f (x)  2 x 2 nin grafiği, y  2 x in grafiğinin 2 birim sağa
kaydırılmasıyla elde edilir.
y
y

1
(0,0)
x
y  u(x)  2
(2,1)
(0,0)
x
f x   2x 2
y  2x
Aynı grafiğin
1
4
x
1
2x
 y  2 u(x)  2  2 x 2
2
2
temel dönüşümünden yararlanılarak y=2x in grafiğinin büzülmesiyle de elde edilebileceğine
dikkat ediniz.
Örnek. f (x)  2 x  1 in grafiğini çizelim. Bu fonksiyonun grafiğinin
y  2 x in grafi-
ğinin 1 birim yukarıya kaydırılmasıyla elde edileceği açıktır.
y
y
1
y

1
(0,0)
x
y  2x
(1,0)
(0,0)
x
(0,0)
(1,3)
2
x
f x   2 x  1
f x   2x 1  1
f (x)  2 x  1 in grafiği elde edilirken, önceki grafiğin y-kesişiminin 1 birim yukarıya kaydırılarak 2 ye geldiğine ve yatay asimptot olan y = 0 doğrusunun da 1 birim yukarıya
kayarak y = 1 doğrusuna dönüştüğüne dikkat ediniz.
Örnek.
f (x)  2 x 1  1
in grafiğini çizelim. Aşağıdaki elemanter dönüşümler izlenerek
y  2 x  y  2 x 1  y  2 x 1  y  2 x 1  1
bu grafiği elde etmek için y=2x in grafiğini önce 1 birim sağa kaydırıp elde edilen grafiği
x-ekseni etrafında yansıtmak ve sonra da elde edilen grafiği 1 birim yukarıya kaydırmanın
yeterli olduğu görülür. Grafiği yukarıda sağda göreceksiniz.
Örnek.
f (x)  2 x 1  1
in [-1,1] aralığı üzerinde grafiğini çizelim.
f (x)  2 x 1  1 grafiğini çizmiştik.
Önceki slaytta
y
y
1
1
(-1,3/4)
(1,0)
(1,0)
(0,0)
(0,0)
x
x
f x   2x 1  1
f x   2x 1  1 ,  1  x  1
Şimdi yapılacak iş bu grafiğin [-1,1] aralığı üzerindeki kısmını, yani -1 ≤ x ≤ 1 olan
kısmını almaktır. O zaman, yukarıda sağdaki grafik elde edilir.
e sayısı.
x
 x 1
x   iken 
  e.
 x 
x
 x 1
Her x  1 için 2  
  3 ; e  2.718...
 x 
e tabanında üstel fonksiyona doğal üstel fonksiyon (natural exponential function)
denir.
y
f x   e x
1
(0,0)
x
Faiz Hesapları .
A birim para r faiz oranı ile, t yıl faizde bekletilirse elde
edilecek faiz miktarı
I  Art
yatırılan meblağın ulaştığı değer de
B  A  Art  A(1  rt )
formülü ile hesaplanır.
Burada, yatırılan para A ya anapara, kapital veya
sermaye, t yıl sonunda ulaştığı değere de birikimli değer denir. Faiz oranı r,
ondalık kesir olarak ifade edilir.
A : Yatırılan para, anapara, sermaye, kapital (Principal).
r : faiz oranı (interest rate). Ondalık kesir olarak ifade edilir.
t : zaman.
B : dönem sonu miktar, birikimli değer (final amount).
Örnek . 1000 TL, %10 faiz oranı ile 3 yıl faizde kalırsa, ulaştığı değer
B  1000(1  (0.10)  3)  1300
TL olur.
Basit faiz hesabında anapara uzun yıllar faizde kalsa dahi her yıl elde edilen faiz ayrıca
hesaplanıp anaparaya katılmaz; faiz en sonunda hesaplanır.
Her yıl, hatta daha kısa dönemlerde, elde edilen faiz anaparaya katılarak hesaplanan faiz
türleri de vardır. Yani belirlenen dönem sonunda kazanılan faiz anaparaya ilave edilir ve o
andan itibaren bu ilaveli miktar anapara olarak işlem görür. Bu tür faiz hesabına bileşik faiz
denir.
Bileşik faiz hesabında bir yıl, belli sayıda, m sayıda diyelim, eşit döneme bölünür; birinci
dönem sonunda birikimli değer hesaplanır :
1
r 


B  A 1  r   A 1  
m

 m
ve ikinci dönemin sonunda birikimli değer hesaplanırken anapara olarak bu değer kullanılır:
r 
r 
r 


B  A 1   1    A 1  
 m  m 
 m
2
Bu işlem sürdürülerek, bir yıl sonundaki birikimli değer
r 

B  A 1  
m

m
iki yıl sonundaki birikimli değer
m
m
r  
r 
r 


B  A 1    1    A 1  
m 
m
m


2m
ve t yıl sonundaki birikimli değer
r 

B  A 1  
m

tm
m : dönem sayısı.
Yılda kaç kez birleştirildiği.
olarak elde edilir.
Örnek. 1 000 TL, %10 faiz oranı ile her ay birleştirilerek 3 yıl faizde kalırsa, ulaştığı değer ne
olur?
Her ay birleştirildiğinden, m =12. Ayrıca, A= 1000, r=0.1 ve t = 3. Böylece
0.1 

B  1000 1 

12 

312
 1348
yaklaşık
TL olur.
Örnek. 1 000 TL, %10 faiz oranı ile her üç ayda bir birleştirilerek 3 yıl faizde kalırsa
ulaştığı değer ne olur?
Her üç ayda bir birleştirildiğinden, m = 4 tür. A= 1000, r= 0.1, t = 3. Böylece,
34
0.1 

B  1000 1 
  1345 TL olur.
4


Bileşik faiz formülünde,
r 

B  A 1  
 m
r
i
m
mt
: dönemsel faiz oranı (rate per compounding period),
mt = n : toplam dönem sayısı (toal number of compounding periods)
alınarak bu formül
B  A1  i n
biçiminde ifade edilebilir.
Örnek. 1 000 TL, %10 faiz oranı ile her altı ayda bir birleştirilerek 3 yıl faizde kalırsa
ulaştığı değer ne olur?
Her altı ayda bir birleştirildiğinden, m = 2, i = (0.1)/2 = 0.05. Ayrıca, n= mt = 2 . 3 = 6.
Böylece,
B  10001  0.056  1340 TL olur.
Bileşik faiz formülünde,
r 

B  A 1  
m

mt
her an birleştirme yapıldığı düşünülürse, sürekli bileşik faiz dediğimiz faiz türü elde edilir. Bu
durumda m   olacaktır. m   için B nin limit değerini belirlemeğe çalışalım.
m   iken m   olduğu; böylece
r
m

 m


r
mt    1  
r 

 
  r
1  
 m  
m

  r  




rt
 e rt
ve buradan m   iken B  Aert olduğu görülür ve sürekli bileşik faiz formülü elde
edilir: B = Aert .
Sürekli Bileşik Faiz(ContiniousCompound Interest). Faizde bulunan anaparanın faizi ile her an
(anlık) birleştirildiği faizlerdir.
B  Ae rt
A : Yatırılan para, anapara, sermaye, kapital (Principal).
r : faiz oranı (interest rate). Ondalık kesir olarak ifade edilir.
t : zaman.
B : dönem sonu miktar, birikimli değer (final amount).
Örnek. 1 000 TL, sürekli bileşik faiz ve %10 faiz oranı ile 3 yıl faizde kalırsa ulaştığı değer ne
olur?
B  1000e(0.1)3  1350
TL olur.
B  A1  rt 
r 

B  A 1  
 m
B  Ae rt
mt
 A1  i n
Basit Faiz
Bileşik Faiz
Sürekli Bileşik Faiz
Logaritmik Fonksiyonlar (Logarithmic Functions).
Üstel fonksiyonların tanımına veya
grafiklerine baktığımız takdirde, tanım kümesinin tüm reel sayılar kümesi ℝ, görüntü
kümesinin de (0 ,  ) olduğu ve her y  (0 ,  ) reel sayısının da bir ve yalnız bir x  ℝ nin
görüntüsü olduğunu görürüz. Başka bir deyimle, her y  (0 ,  ) için y = bx olan bir ve yalnız
bir x  ℝ vardır.
Verilen bir y  (0 ,  ) için y = bx olan x  ℝ sayısına y nin b tabanında logaritması
(logarithm of y to the base b) denir ve
x  log b y
yazılır. Böylece
y  log b x  x  b y
y  log b x denklemi ile tanımlanan log b
fonksiyonuna b tabanında logaritma
fonksiyonu (logarithmic function to the base b) denir. Bu fonksiyonun tanım
kümesi (0 ,  ), görüntü kümesi ℝ dir.
logb fonksiyonunun tanımını özetleyen
y  log b x  x  b y
ifadesi, logaritmik ve üstel fonksiyonları birbirine bağlayan en temel bağıntıdır. Logaritmik ve
üstel fonksiyonlarla ilgili hesaplarda çoğu zaman bu temel bağıntı kullanılır. Örneğin, bu
bağıntıdan, b > 0 ve b  1 olan her b için logb1 = 0 olduğu görülür. Çünkü,
y  log b 1  1  b y  y  0.
y  log 4 16 , y  ?
1
log 3 x 
, x ?
2
log b 25  2 , b  ?
log 1 9   2
3
; 16  4 y , y  2
; x 3
1
2
, x 3
; 25  b2 , b  5
log 3 27  3
log 3
1
4
81
log 100 10 
1
2
Logaritmik fonksiyonun tanımına tekrar bakalım:
y  log b x  x  b y
Bu tanımdan görülür ki, eğer (u , v) noktası b tabanında logaritma fonksiyonunun grafiği
üzerinde ise, (v , u) noktası da b tabanında üstel fonksiyonun grafiği üzerindedir; ve karşıt
olarak, eğer (u , v) noktası b tabanında üstel fonksiyonun grafiği üzerinde ise, (v , u)
noktası da b tabanında logaritma fonksiyonunun grafiği üzerindedir.
y
Diğer yandan, (u , v) ve (v , u)
noktaları y = x doğrusuna göre
simetrik olduğundan, üstel ve logaritmik fonksiyonun grafikleri y = x
doğrusuna göre simetriktir.
(v ,u)
(u , v)
(0,0)
x
y
y=x
y  bx , 0  b  1
y  bx , b  1
y
1
y=x
(0,0)
1
x
1
y  log b x , b  1
(0,0)
1
y  log b x , 0  b  1
x
Logaritmik fonksiyon içeren ifadelerle tanımlanmış fonksiyonların grafiklerini çizerken ikinci
derste gördüğümüz elemanter dönüşümlerden yararlanabiliriz.
Örnek. f (x)  log2 (x  1) in grafiğini çizelim. Üstel fonksiyonlarla ilgili benzer örneklerden
de görülebileceği üzere bu fonksiyonun grafiği, y=log2 x in grafiğinin 1 birim sağa
kaydırılmasıyla elde edilir. .
y
(0,0)
1
y  log2 x
2
y  log2 (x  1)
x
Örnek. f (x)  3  log2 x in grafiğini çizelim. Üstel fonksiyonlarla ilgili benzer örneklerden
de görülebileceği üzere bu fonksiyonun grafiği, y=log2 x in grafiğinin 3 birim yukarıya
kaydırılmasıyla elde edilir. .
y  3  log2 x
y
(1,3)
y  log2 x
(0,0)
1
2
x
Eğer aynı fonksiyonun bir aralık üzerinde, örneğin [1,2] aralığı üzerinde grafiğini çizmek
istersek, grafiğin o aralık üzerindeki kısmı; örneğimizde 1 ≤ x ≤ 2 olan kısmı, alınır.
Şekil üzerinde bu grafiği kalın mavi çizgi ile gösteriyoruz.
Örnek. f (x)  3  log2 (x  1) in grafiğini çizelim. y  log2 x in grafiği ile başlayıp önce bu
grafiği 1 birim sola kaydırıp sonra da elde edilen grafiği 3 birim yukarıya kaydırırsak
y  3  log2 (x  1) in grafiğini elde ederiz.
y  3  log2 (x  1)
y
(0,3)
y  log2 x
-1
(0,0)
1
x
Logaritma fonksiyonunun bazı özellikleri.
 x-kesişimi (1,0) dır.
log b 1  0.
 log b b  1.
 log b (b x )  x.
 blog b M  M.
 log b MN   log b M  log b N.
M
 log b    log b M  log b N.
N
 log b M p  p  log b M.
 log b M  log b N  M  N.
 Grafik, b >1 için artan ; 0 < b < 1 için azalandır.
 b >1 ise, x  0+ iken logb x  - ve x   iken logb x   dur.
 b <1 ise, x  0+ iken logb x   ve x   iken logb x  -  dur.
Önceki slaytta ifade edilen özelliklerden her biri üstel ve logaritma fonksiyonlarının tanımx
larından hemen görülür. Örneğin, baştan üçüncü özellik olan log b b  x özelliği
logb bx  y  by  bx  y  x
biçiminde, dördüncü özellik blog b M  M
logb M  y  M  by  M  blog b M
biçiminde ve çarpımın logaritması ile ilgili beşinci özellik
blog b Mlog b N  blog b Mblog b N  MN  blog b MN  logb MN  logb M  logb N
biçiminde kanıtlanır.
Logaritma ile ilgili hesaplar yapılırken yukarıda listelenen özelliklerden yararlanılabilir.
Örnek.
Çarpımın ve bölümün logaritması ile ilgili olarak
log 6 4  log 6 9  log 6 36  log 6 (62 )  2
log 10 1500  log 10 15  log 10
1500
 log 10 (100)  2
15
e tabanında logaritmik fonksiyona doğal logaritma fonksiyonu (natural logarithmik function)
denir ve log e x  ln x yazılır. Böylece,
y  ln x  x  e y
Doğal logaritmanın temel özelliklerinden birkaçını yeni gösterimle ifade edelim:
ln1  0 , ln e  1 , ln e x  x , eln x  x.
10 tabanında logaritma da çok kullanılan bir logaritma olduğundan onun için de özel bir
gösterim kullanılır: log10 x yerine sadece log x yazılır. Böylece,
y  log x  x  10 y
10 tabanında logaritmanın temel özelliklerinden birkaçını yeni gösterimle ifade edelim:
log 1  0 , log 10  1 , log 10 x  x , 10log x  x.
Logaritmik ve üstel fonksiyonların özelliklerine aşağıdaki taban değişimi formüllerini de ilave
edelim:
 Her a, b, x  ℝ, a, b > 0, b ≠1 için bx = ex ln b
log b a 
,
Bu formüller aşağıdaki gibi kanıtlanabilir:
bx = y  x ln b = ln y  y = e x
ln b
 bx = e x
logb a = y  a = by = ey ln b  y ln b = ln a
ln b
ln a
ln b
dir.
.
y
ln a
ln b
 log b a 
ln a
ln b
Taban değişimi formülleri daha genel olarak şöyle ifade edilebilir:
 Her a, b, c, x  ℝ, a, b, c > 0, b ≠1, c ≠1 için
Örnekler.
log 25 
b x  c x log c b , log b a 
log c a
log c b
log 3 25
log 5 25
ln25
2



log 3 10
log 5 10 1  log 5 2
ln10
log 25  log
100
 log 100  log 4  2  2log 2
4
22
log 5 2
log 5 2
2(1  log 5 2)  2log 5 2
2
22


log 5 10
1  log 5 2
1  log 5 2
1  log 5 2
Logaritmik Denklemler.
3
2
2
3
3
2
 log b 22  log b 23  log b 2  log b x
2
3
 3log b 2  2log b 2  log b 2  log b x
Örnek. log b 4  log b 8  log b 2  log b x , x  ?
 2log b 2  log b x  log b 22  log b x  x  4.
Örnek. log 10 x  log 10 x  1  log 10 6 , x  ?
log b  3
 log 10 x x  1  log 10 6
 x  x  1  6
tanımsız
 x2  x  6  0
 x  3x  2  0
 x  2,3.
Örnek. ln (3x-3) - ln (x-1)  ln x
, x ?
x ≠ 1 kabul edebiliriz.
ln (3x-3) - ln (x-1)  ln x  ln
3x  3
 ln x
x 1
 ln 3  ln x 
Ya da
ln (3x-3) - ln (x-1)  ln x
 ln [3(x-1)] - ln (x-1)  ln x
 ln 3  ln (x-1) - ln (x-1)  ln x
 ln 3  ln x  x  3.
 x 2 
Örnek. ln
 1 , x ?
 x 1 
 x 2 
 x 2 
ln
  1  ln
  lne
x

1
x

1





x 2
e
x 1
x  2  ex  e  x 
e 2
e 1
x 3
Üstel Denklemler.
Örnek. 10 x  3 , x  ?
10 x  3  x  log 10 3
ex  5 , x  ?
Örnek.
e x  5  x  ln 5
x 3 x 1  x 2 3 x  0 , x  ?
x 3 x 1  x 2 3 x  0 , x  ? 
3 x (3x  x 2 )  0  3x  x 2  0
 x(3  x)  0
 x  {0,3}
e x  e  x 1   e 7 , x  ?
2
Örnek.
x2
e e
 x 1 
e  e
7
x 2  x 1
 e7
 x2  x  1  7  x2  x  6  0
 x  3x  2  0  x  3  x  2,3.
Örnek. 4 x 1  2x 1 , x  ?
4 x 1  2x 1  (22 )x 1  2x 1  22 x 2  2x 1
 2x  2  x  1  x  3.
Faiz Hesabında Bugünkü Değer Kavramı. Belli bir faiz oranı ile belli bir zaman sonunda
ulaşacağı değer, yani gelecekteki değeri bilinen paranın bugünkü değeri.
)-1
Basit Faiz : B = A(1+rt)

A
=
B(1
+
rt
mt
 mt
r 
r 


Bileşik Faiz : B  A 1    A  B 1  
 m
 m
rt
 rt
Sürekli Bileşik Faiz : B  Ae  A  Be
B  A1  i n  A  B 1  i  n
Örnek. Basit faizle, yıllık faiz oranı %6 ise, 10 yıl sonunda hesabınızda 1000 TL
olabilmesi için bugün bankaya yatırmanız gereken miktar ne kadardır?
Çözüm. Verilen değerler (B = 1000, t = 10 , r =0.06) basit faiz formülünde yerine konursa
A  10001  (0.06)(10)1 
1000
 675 TL.
1.6
elde edilir.
Örnek. Yıllık birleştirilen bileşik faizle, faiz oranı %6 ise 10 yıl sonunda hesabınızda 1000 TL
olabilmesi için bugün bankaya yatırmanız gereken miktar ne kadardır?
Çözüm. B = 1000, t =10, m = 1, r = 0.06 değerleri formüle yerleştirilirse
 0.06 
A  1000 1 

1 

10

1000
 558.4 TL.
1.0610
Örnek. Faiz oranı %6 ise, sürekli bileşik faizle 10 yıl sonunda hesabınızda 1000 TL olabilmesi
için bugün bankaya yatırmanız gereken miktar ne kadardır?
Çözüm. Verilen değerler (B = 1000 , t = 1 , r =0.06) formülde yerine konursa
A  1000e (0.06)10

1000
 1000e 0.6  548.8 TL.
0.6
e
Örnek(İkiye Katlanma Zamanı). Faiz oranı %7 olan bir yatırım sürekli bileşik faizle ne kadar
zaman sonra iki katına ulaşır?
Çözüm. Sürekli bileşik faiz formülünde B = 2A , r =0.07 alınırsa
B  Ae r t  2 A  Ae 0.07  t  2  e 0.07  t
 ln2  (0.07)t ln e  t 
ln2
 9.9 yıl
0.07
Örnek. Faiz oranı %7 olan bir yatırım yıllık birleştirilerek bileşik faizle ne kadar zaman sonra
iki katına ulaşır?
Çözüm. Bileşik faiz formülünde B = 2A , m = 1, r =0.07 alınırsa
mt
t
r 

0
.
07


t
B  A 1    2 A  A 1 
  2  1.07
 m
1 

 ln2  t ln1.07
 t
ln2
 10.24 yıl.
ln(1.07)
Örnek. 10 000 TL parası bulunan bir kişi 8 yıl sonunda, 20 000 TL lik bir ev satın alabilmek
amacıyla bu parayı sürekli bileşik faizle bankaya yatırmak istiyor. Faiz oranı ne olursa bu kişinin
isteği gerçekleşir?
Çözüm. Sürekli bileşik faiz formülü ile
B  Ae r t  20000  10000 e r 8  2  e 8 r
 ln2  8r ln e
r 
ln 2
 0.087.
8
Örnek. 10 000 TL parası bulunan bir kişi, 15 000 TL lik bir ev satın alabilmek amacıyla bu parayı
sürekli bileşik faizle bankaya yatırmak istiyor. Faiz oranı %8 olursa bu kişinin isteği kaç yıl sonra
gerçekleşir?
Çözüm. Sürekli bileşik faiz formülü ile
B  Aer t  15000 10000e0.08t  1.5  e
 ln1.5  0.08tlne  t 
0.08t
ln 1.5
 5 yıl.
0.08
Anüite(Annuity). Belli bir zaman aralığının belirli dönemlerinde eşit taksitlerle yapılan
ödemeler dizisi. Sonlu geometrik dizilerin toplamı ile yakından ilişkilidir:
a, c ϵ ℝ ; n ϵ ℕ.
T=a+ac+ac2 + .
a, ac, ac2 , . . . , acn-1
. .
+ acn-1
geometrik dizi
 cT=ac+ac2 + .
 cT-T=acn- a
. .
+ acn-1+acn
 (c - 1)T= a(cn-1)
 cn  1 
 T  a
 c  1 


Anüitenin Gelecekteki Değeri.
Dönemlik faiz oranı i olmak üzere n dönem boyunca her
dönemin sonunda A TL taksit ödenmişse, bu anüitenin n dönem sonunda ulaştığı değer
(yekun), Bds ile gösterilsin. Bu takdirde,
n1
Bds  A  A(1  i)  A(1  i)   A(1  i)
2
a+ac+ac2
+
. . .
+
acn-1
 cn  1 

 a
 c 1 
(1  i)n  1
Bds  A
i
Örnek. Yıllık faiz oranı %6 ve altı ayda bir birleştirilen bileşik faizle işlem görmek üzere
3 yıl boyunca her altı ay sonunda bankaya 1000 TL yatırılıyor. 3’üncü yılın sonunda bu
yatırımın değeri ne olur?
(1  0.03)6  1
Bds  1000
 6468.41
0.03
0.06
i
 0.03, n  3  2  6
2
TL
Taksitler dönem başında ödenmişse, anüitenin n dönem sonundaki değerini Bdb ile
gösterelim. Bu takdirde,
n1
Bdb  A(1  i)  A(1  i)   A(1  i)
2
 (1  i)n1  1 
Bdb  A
 1 
i


 (1  i)n1  1 
 A(1  i)  A
  A
i


n
Örnek. Yıllık faiz oranı %6 ve altı ayda bir birleştirilen bileşik faizle işlem görmek üzere 3 yıl
boyunca her altı ay başında bankaya 1000 TL yatırılıyor. 3’üncü yılın sonunda bu
yatırımın değeri ne olur?
 (1  0.03)7  1 
Bdb  1000
 1   6668.46
0.03


0.06
i
 0.03, n  3  2  6
2
TL
Anüitenin Bugünkü Değeri.
Dönemlik faiz oranı i olmak üzere n dönem boyunca her
dönemin sonunda B TL çekilmek suretiyle n’inci dönemin sonunda sıfırlanacak biçimde
baştan yapılmış yatırım Ads ile gösterilsin. Bu takdirde,
Ads  B(1  i)n  B(1  i)(n1)   B(1  i)1
 B(1  i)n (1  (1  i)   (1  i)n1 )
 (1  i)  1 
 B(1  i)n 

i


a+ac+ac2
+
. . .
+
n
1  (1  i) n
Ads  B
i
Eğer çekimler dönem başında yapılırsa, yukarıdakine benzer hesaplamalarla
 1  (1  i)(n1)

Adb  B
 1 
i


 cn  1 
 c  1 


acn-1  a
Örnek. Yıllık faiz oranı %6 ve aylık birleştirilen bileşik faizle işlem görmek üzere
5 yıl boyunca her ay sonu 200 TL çekilebilmesini sağlayan anüitenin bugünkü değeri
0.06
i
 0.005 , n  5  12  60
12
1  (1  0.005)60
Ads  200
 10345.11
0.005
TL
Çekimler ay başında yapılmışsa, anüitenin bugünkü değeri
 1  (1  0.005)9

Adb  200
 1 
0.005


 10396.84 TL
Amortisman. Bir borcu belli sayıda dönemde eşit taksitler halinde faizi ile birlikte ödeme
sürecine o borcun amortismanı ya da amortize edilmesi denir.
B TL borç alındıysa ve bu borç n dönemde i dönemlik faiz oranı ile eşit taksitler halin-de
(faizi ile birlikte) ödenecekse, ödenecek taksit tutarı T, ödemelerin dönem sonunda
yapılacağı varsayılarak anüitenin bugünkü değeri düşüncesiyle şöyle belirlenebilir:
 1  (1  i) n 
  B
T 
i


i


 T  B

n
 1  (1  i) 
Örnek. 4200 TL ye satın alınan bir televizyon seti her ay ödenecek eşit taksitlerle 18 ayda
ödenecektir. Aylık faiz oranı %1 ve aylık birleştirilen bileşik faiz uygulanacağına göre, her ay
ödenmesi gereken taksit tutarını bulunuz. Ödenmiş olan toplam faiz miktarını belirleyiniz.
B  4200, i  0.01  0.005, n  18
0.015 

T  4200
  256.12 TL
18
 1  (1.015) 
Ödenmiş olan toplam faiz
18(256.12) - 4200) = 4610.16 – 4200 = 410.16 TL.