Transcript Geriden Kestirme Hesabı Kaestner Yöntemine

Geriden Kestirme Hesabı
1.Kaestner Yöntemine Göre Çözüm
N1, N2 ve N3 sabit noktalarının koordinatları veriliyor. N noktasında
α ve β açıları ölçülmektedir. N yeni noktasının koordinatı aranıyor.
1. Kaestner Yöntemine Göre Çözüm
t 21
y1  y 2
 atn
x1  x 2
t 23
y3  y2
 atn
x3  x2
, s12
y1  y 2 x1  x 2


sin t 21
cos t 21
, s23
y 3  y 2 x3  x2


sin t 23
cos t 23
  t 21  t 23
α  β  γ  φ  ψ  400 gon

    400  (     )
   400  (     )

2
2
bulunur. Bir kez de  ve  açılarının farkının yarısı
hesaplanabilirse bu değerler birbirleri ile bir kez toplanıp, bir kez
de çıkarılarak aranan açılar bulunabilir.
(-)/2 değerini bulabilmek için N2N=s kenarının hesabından
yararlanılır. N1N2N ve N2N3N üçgenlerinden sinüs teoremine
göre,
Kaestner Yöntemine Göre Çözüm
(-)/2 değerini bulabilmek için N2N=s kenarının hesabından
yararlanılır. N1N2N ve N2N3N üçgenlerinden sinüs teoremine
göre,
s12

sin 
sin
s23
 s12
sin 
sin

s
sin
sin 
s  23 sin 

sin 

s
s 23 sin
sin
1



sin s12 sin tan 
a c

b d

a-b c d

ab c d
sin   sin  1  tan 

sin   sin  1  tan 

sin s23 sin


sin s12 sin
 tan   s12  sin
s 23  sin 
Kaestner Yöntemine Göre Çözüm
cot   cot   1
cot(  ) 
cot   cot 
1
1  tan 
1
cot 50  cot   1 cot   1 tan 
1  tan 
tan 
g
cot(50  ) 




1
1  tan  1  tan 
cot   cot 50
cot   1
1
tan 
tan 


cos
2
2  cot(50g  )  tan    cot     cot(50g  )


2
2
2 cos
sin
2
2
2 sin
tan
φ ψ
ψ
 tan
cot ( 50  μ )
2
2
   


2
2
,
 (   ) / 2
   


2
2
Kaestner Yöntemine Göre Çözüm
 ve  açılarının bulunması ile problem önden kestirme şekline
dönüşür. Önce sabit noktalardan yeni noktaya olan açıklık açıları
ve kenarlar hesaplanır.
γ1  200  ( α  φ )
, γ 2  200  ( β  ψ )
sinγ1
, s1N  s12
sin α
t1N  t 21  200  φ
t 2N  t 21  γ1  t 23  γ2
t 3 N  t 32  ψ
,
, s2N  s12
s 3 N  s 32
sin
sinψ
 s23
sin α
sin β
sinγ 2
sin β
x  x 1  s 1N cos t 1N  x 2  s 2 N cos t 2 N  x 3  s 3 N cos t 3 N
y  y 1  s 1N sin t 1N  y 2  s 2 N sin t 2 N  y 3  s 3 N sin t 3 N
Kaestner Yöntemine Göre Çözüm
Uygulama 7.04: 8, 7 ve 115 sabit noktalarının koordinatları ile 22
numaralı yeni noktadan sabit noktalara yapılan doğrultu ölçüleri
verilmiştir. Yeni noktanın koordinatlarını hesaplayalım.
Kaestner Yöntemine Göre Çözüm
1
α  0.00000  337.43423  62.56577 gon
β  95.63697 
0.00000  95.63697 gon
 5060.827
t 8 115  atn
 280.00154 gon, s8 115  5321.227 m
 1644.227
 3370.961
t 8 7
 atn
 177.48205 gon, s8 7  9731.928 m
 9129.460
γ  280.00154  177.48205  102.51949 gon
1
1
(   ψ)  (400  (62.56577  95.63697  102.51949))  69.638885 gon
2
2
Kaestner Yöntemine Göre Çözüm
2
9731.928 sin62.56577
1

 1.525294389
tan  5321.227 sin95.63697

  36.94366 gon
1
tan (   ψ)  tan 69.638885 cot(50  36.94366)  0.4025869417
2
1
(   ψ)  24.36564 gon
2
  ψ  139.27777 gon,   ψ  48.73128 gon ' dan
  94.00452 gon,
3
ψ  45.27325 gon ' dur .
γ1  200  (94.00452  62.56577)  43.42971gon
γ 2  200  (95.63697  45.27325)  59.08978 gon
kontrol :
γ1  γ 2  γ  102.51949 gon
Kaestner Yöntemine Göre Çözüm
4
t 8  22  280.00154 43.42971 177.48205  59.08978  236.57183gon
sin94.00452
sin 45.27325
 9731.928
 6367.034 m
sin62.56577
sin95.63697
x  4553418.045  6367.034  cos 236.57183  4548073.041
s8  22  5321.227
y  418393.082  6367.034  sin 236.57183  414933.305
Collins Yöntemine Göre Çözüm
Sabit noktalar N1, N2 ve N3 ’ün koordinatları veriliyor. Yeni nokta
N’de α ve β açıları ölçülüyor. N noktasının koordinatı aranıyor.
Collins yöntemine göre geriden kestirme hesabında, sabit
noktalardan ikisi ile yeni nokta N’den geçen daireden yararlanılır.
Collins Yöntemine Göre Çözüm
t 13
y 3  y1
 atn
x 3  x1
,
t 31  t 13  200 gon
s 13  (x 3  x 1 ) 2  (y 3  y 1 ) 2
δ  t Q1  t Q 3
t1Q
t 3Q
, kontrol : α  β  δ  200 gon
sin α
 t13  β , s1Q  s13
sin δ
sin β
 t 31  α , s 3Q  s13
sin δ
Collins Yöntemine Göre Çözüm
xQ  x1  s1Q cost1Q  x 3  s3Q cost 3Q
y Q  y1  s1Q sint1Q  y 3  s3Q sint 3Q
yQ  y 2
t 2Q  atn
,
xQ  x 2
δ1  tQ1  tQN
,
tQN  t 2Q
δ 2  tQN  tQ3
t1N  t13  δ2
, s1N
t 3N  t 31  δ1
, s 3N
,
Kontrol : δ1  δ 2  δ
sin δ1
sin δ1
 s13
 s13
sin δ
sin (α  β )
sin δ2
sin δ2
 s13
 s13
sin δ
sin(α  β )
Collins Yöntemine Göre Çözüm
Hesaplanan bu değerlerden N noktasının koordinatları önden
kestirme yöntemi ile belirlenir.
x  x1  s1N cos t1N  x3  s3 N cos t 3 N
y  y1  s1N sint1N  y 3  s3 N sint 3 N
Collins Yöntemine Göre Çözüm
Uygulama 7.05: Uygulama 7.04’deki verileri kullanarak aynı
noktanın konumunu bu kez Collins yöntemi ile hesaplayalım.
Collins Yöntemine Göre Çözüm
1
s115 7
2
 8431.788
 146.21860 gon
 7485.233
 11274.917 m
t115 7  atn
t115 Q  146.21860 95.63697 50.58163gon
t 7 Q  346.21860 62.56577 8.78437gon
δ  200  (62.56577 95.63697) 41.79726gon
sin 62.56577
 15369.279 m
sin 41.79726
sin 95.63697
 11274.917
 18428.370 m
sin 41.79726
s115 Q  11274.917
s
7 Q
xQ  4551773.818  15369.279 cos50.58163  4562541.797
yQ
 4544288.585  18428.370 cos 8.78437  4562541.797
 413332.255  15369.279 sin 50.58163  424298.8114
 421764.043  18428.370 sin 8.78437  424298.8121
Collins Yöntemine Göre Çözüm
3
dxQ 8  4553418.045  4562541.797  9123.752
dy Q 8  418393.082  424298.812  5905.730
 5905.730
t Q 8  atn
 236.57184 gon
 9123.752
dxQ 115  10767.979 , dy Q 115  10966.517
 10966.517
 250.58152 gon
 10767.979
δ1  250.58152  236.57184  14.00968 gon
t Q 115  atn
dxQ 7
 18253.212 , dy Q 7
  2534.769
 2534.769
t Q 7  atn
 208.78437 gon
 18253.212
δ 2  236.57184  208.78437  27.78747 gon
Kontrol :
δ  14.00968  27.78747  41.79715 gon
Collins Yöntemine Göre Çözüm
4
t115 22  146.21860  27.78747  174.00607 gon
t
7 22
 346.21860  14.00968  332.20892 gon
s115 22  11274.917
s
7 - 22
sin 14.00968
 4032.234 m
sin 41.79715
sin 27.78747
 11274.917
 7809.058 m
sin 41.79715
x 22  4551773.818  4032.234 cos174.00607  4548073.064
 4544288.585  7809.058 cos332.20892  4548073.064
y 22  413332.255  4032.234 sin174.00607  414933.295
 421764.043  7809.058 sin332.20892  414933.296
Cassini Yöntemine Göre Çözüm
N1, N2 ve N3 ’ün koordinatları veriliyor. Yeni nokta N’de α ve β açıları
ölçülüyor. N noktasının koordinatı aranıyor. Cassini, problemin çözümü
için N1N2N ve N2N3N noktalarından geçen iki daireden yararlanmıştır.
Cassini Yöntemine Göre Çözüm
Cassini Yöntemine Göre Çözüm
tanα 
s12
s1R

s1R 
s12
tan α
,
t1R  t12  100 gon
sinα 
s12
s 2R

s 2R 
s12
sin α
,
t 2R  t 21  ( 100  α )
s 23

sinβ
,
t 2S  t 23  ( 100  β )
s 23
sinβ 
s 2S

s 2S
s 23
s 23
tanβ 
 s 3S 
,
t 3S  t 32  100 gon
s 3S
tan β
x R  x 1  s 1 R cos t 1R  x 2  s 2 R cos t 2 R
y R  y 1  s 1R sin t 1R  y 2  s 2 R sin t 2 R
x S  x 2  s 2 S cos t 2 S  x 3  s 3 S cos t 3 S
y S  y 2  s 2 S sin t 2 S  y 3  s 3 S sin t 3 S
t RS  atn
yS  yR
xS  x R
, t N 2  t RS  100 gon
Cassini Yöntemine Göre Çözüm
t 2 N  t N 2  200 gon
γ1  t 21  t 2 N ,
φ  200  ( γ1  α )
γ 2  t 2 N  t 23 , ψ  200  ( γ 2  β )
Kontrol : γ1  γ 2  t 21  t 23
t 1N
t 3N
sin 1
 t12   , s1N  s12
sin
sin 2
 t 32   , s3N  s 23
sin 
x  x 1  s 1N cos t 1N  x 3  s 3 N cos t 3 N
y  y 1  s 1N sin t 1N  y 3  s 3 N sin t 3 N
Cassini Yöntemine Göre Çözüm
Uygulama 7.06: Uygulama 7.04’deki verileri kullanarak aynı
noktanın konumunu bir kez de Cassini yöntemi ile belirleyelim.
1
s8 115
5321.227
s115  R 

 3547.584m
tan α
tan 62.56577
s
9731.928
s 7  S  8 7 
 668.017m
tan β tan 95.63697
t115  R  t115  8  100  80.00154 100  184.00154gon
t7  S  t7  8 - 100  377.48205 100  277.48205gon
s 8 115
5321.227.
s8  R 

 6395.374m
sin α
sin 62.56577
s
9731.928
s 8  S  8 7 
 9754.828m
sin β sin 95.63697
t 8  R  t 8 115 - (100 - α )  280.00154 (100  62.56577) 242.56731gon
t 8  S  t 8 7  (100 - β )  177.48205 (100  95.63697)181.84508gon
Cassini Yöntemine Göre Çözüm
2
x R  4551773.818  3547.584 cos180.00154  4548399.839
 4553418.045  6395.374 cos242.56731  4548399.842
y R  413332.255  3547.584 sin180.00154  414428.437
 418393.082  6395.374 sin242.56731  414428.437
x S  4544288.585  663.017 cos277.48205  4544057.196
 4553418.045  9754.828 cos181.84508  4544057.196
y S  421764.043  663.017 sin277.48205  421137.381
 418393.082  9754.828 sin181.84508  421137.380
Cassini Yöntemine Göre Çözüm
3
yS  yR
421137.3805  414428.4370
t RS  atn
 atn
 136.57184gon
xS  x R
4544057.1960  4548399.8405
t R  22  t 22  S  t RS  136.57184gon
t 22  8  t 22  S - 100  136.57184 100  36.57184gon
t 8  22  36.57184 200  236.57184gon
γ1  t 8 115 - t 8 - 22  280.00154 236.57184 43.42970gon
γ 2  t 8  22 - t 8 -7  236.57184 177.48205 59.08979gon
γ1  γ 2  t 8 115  t 8 7  102.51949gon
4
φ  200  ( α  γ1 )  200  (62.56577 43.42970) 94.00453gon
ψ  200  ( β  γ 2 )  200  (95.63697 59.08979) 45.27324gon
s8 22  5321.227
sin 94.00453
sin 45.27324
 9731.928
 6367.034 m
sin 62.56577
sin 95.63697
x  4553418.045  6367.034 cos236.57184  4548073.041
y  418393.082  6367.034 sin236.57184  414933.305
Doğrultuların Kesişimi Yöntemine Göre Çözüm
N1, N2 ve N3 noktaları verilmekte N noktasının koordinatını
belirlemek için r1, r2 ve r3 doğrultuları ölçülmektedir. Aranan ise
ölçülen doğrultuların yönlendirilerek N noktasının koordinatının
belirlenmesidir.
tan t1N 
y  y1
x  x1
tan t 2 N 
y  y2
 y  y 2  ( x  x 2 ) tan t 2 N
x  x2
tan t 3 N 
y  y3
x  x3
N


y  y1  ( x  x1 ) tan t1N
y  y 3  ( x  x 3 ) tan t 3 N
y  y 3  (x  x 3 ) tan t 3N  y 1  (x  x1 ) tan t 1N
 y 2  (x  x 2 ) tan t 2N
Doğrultuların Kesişimi Yöntemine Göre Çözüm
Problemin çözümü için üç doğrunun kesim noktasının belirlenmesi
yöntemi uygulanabilir. Buna göre
y  y 3  (x  x 3 ) tan t 3N  y 1  (x  x1 ) tan t 1N
 y 2  (x  x 2 ) tan t 2N
eşitlikleri yazılabilir. Çözümü basitleştirmek için doğrultular ve
koordinatlar N3 noktasına göre tanımlanır.
r1  r3  α
t1N  t 3N  α
, r2  r3  β
,
x i  x 3  x iı , y i  y 3  y iı
, t 2N  t 3N  β
Yukarıdaki bağıntı yerine yerel sisteme göre aşağıdaki bağıntı
yazılabilir.
y ı  x ı tan t 3N  y1ı  (x ı  x1ı ) tan(t 3N  α)
 y 2ı  (x ı  x 2ı ) tan(t3N  β)
Doğrultuların Kesişimi Yöntemine Göre Çözüm
Bu bağıntının ikinci tarafındaki eşitliklerin birbirine eşitlenmesi ile
xı için aşağıdaki bağıntı elde edilir.
ı
ı
y

x
ı
1
1 tan(t3N  α)
x 
tan t 3N  tan(t3N  α)
veya
tan(t3N
tan t 3N  tan
) 
1  tan t 3N tan
tan(t3N
tan t 3N  tanβ
 β) 
1  tan t 3N tanβ
ı
ı
y

x
ı
2
2 tan(t3N  β)
x 
tan t 3N  tan(t3N  β)
(y1ı  x1ı cot α) tan t 3N  (x1ı  y1ı cot α)
x 
1  tan 2 t 3N
ı
xı 
(y 2ı  x 2ı cot β) tan t 3N  (x2ı  y 2ı cot β)
1  tan 2 t 3N
Doğrultuların Kesişimi Yöntemine Göre Çözüm
bağıntıları elde edilir. Bu bağıntılarda geçen t3N açıklık açısı
bilinmemektedir. Bu açıklık açısı, son iki bağıntının birbirine
eşitlenmesi ile aşağıdaki şekilde elde edilir.
tan t 3N 
y1ı cot α  y 2ı cot β  (x2ı  x1ı )
x1ı cot α  x 2ı cot β  (y 2ı  y1ı )
Sonuç olarak yeni nokta N’nın koordinatları hesaplanır.
y  y ı  y3
x  x ı  x3
Doğrultuların Kesişimi Yöntemine Göre Çözüm
Uygulama 7.07: 8, 7 ve 115 sabit noktalarının koordinatları ile 22
numaralı yeni noktadan sabit noktalara yapılan doğrultu ölçüleri
verilmiştir. Yeni noktanın koordinatlarını hesaplayalım.
Doğrultuların Kesişimi Yöntemine Göre Çözüm
1
α  r1  r3  r8  r115  0.00000 337.43423 62.56577gon
β  r2  r3  r7  r115  95.63697 337.43423 158.20274gon
ı
y 3ı  y115
 0,
ı
x 3ı  x115
0
y1ı  y 8ı  y 8  y115  5060.827,
x1ı  x 8ı  x 8  x115  1644.227
y 2ı  y7ı  y7  y115  8431.788,
x 2ı  x7ı  x7  x115  -7485.233
y1ı cot α  y 2ı cot β  (x 2ı  x1ı )
tan t 3N 
x1ı cot α  x 2ı cot β  (y 2ı  y1ı )
y 8ı  cot   y7ı  cot   ( x7ı  x 8ı )
tan t115  22 
x 8ı cot   x7ı cot   ( y7ı  y 8ı )
5060.827cot 62.56577- 8431.788cot158.20274  ( 7485.233 1644.227)
1644.227cot 62.56577- (-7485.233) cot158.20274 - (8431.788- 5060.827)
 5186.490387
tant115 - 22 
 0.4326256844
- 11988.401460
tant115 - 22 
Doğrultuların Kesişimi Yöntemine Göre Çözüm
2
ı
ı
ı
ı
(y

x
cot
α)
tan
t

(x

y
3N
ı
1
1
1
1 cot α)
x 
1  tan2 t 3N
ı
ı
ı
ı
(
y

x

cot
α
)

tan
t

(
x

y
k1  k 2
115  22
ı
8
8
8
8  cot α )
x 

1  tan2 t115  22
1  ( 0.4326256844)2
k1  (5060.827 1644.227 cot 62.56577) ( 0.4326256844)  2663.680226
K2  (1644.227 5060.827cot 62.56577) 1729.752013
- 2663.680226 1729.752013  4393.432239
xı 

 3700.776474
2
1.1871649828
1  ( 0.4326256844)
Doğrultuların Kesişimi Yöntemine Göre Çözüm
Kontrol :
ı  x ı cot β)  tan t
ı  y ı  cot β)
(y

(x
3N
2
2
2
xı  2
1  tan2 t 3N
ı  x ı cot β)  tan t
ı  y ı  cot β)
(y

(x
k3  k4
115
22
7
7
7
xı  7

1  tan2 t115 - 22
1  ( 0.4326256844)2
k 3  (8431.788 (-7485.233) cot 158.20274)( 0.4326256844)  7850.170615
k 4  (-7485.233- 8431.788cot 158.20274) 3456.738374
xı 
 7850.170615  3456.738374
4393.432241

 3700.776475
1.1871649828
1.1871649828
y ı  x ı tan t 3N  x ı tan t115 - 22  ( 3700.7755)( 0.4326256844)  1601.051
4  x  x 3  x ı  x115  x ı  4551773.818  3700.776 4548073.042
y  y 3  y ı  y115  y ı  413332.255 1601.051 414933.306
3
Geriden Kestirmenin Doğruluğu
Bir doğru parçasını aynı açı altında gören noktaların geometrik
yeri çemberdir. Geriden kestirmede s12 kenarını α, s23 kenarını da
β açısı altında gören iki çember vardır. Geriden kestirme ile
konumlandırılan yeni nokta, bu iki çemberin kesim noktasıdır.
Özel hal olarak N1, N2 ve N3 sabit noktaları ile N yeni noktanın
aynı çember üzerinde olduğunu varsayalım. Bu durumda s12
kenarını α, s23 kenarını da β açısı altında gören noktaların
geometrik yerleri iki çember yerine bir çember olur. N noktası
çember üzerinde nereye hareket ederse etsin s12 ve s23
kenarlarını gören α ve β açıları değişmez. Bu durumda problemin
sonsuz çözümü vardır. Bu nedenle bu çembere tehlikeli çember
ya da alışılmış söylemiyle tehlikeli daire denir.
Geriden Kestirmenin Doğruluğu
N2
N1





N
  1   2  t 21  t 23
          200 gon
N3
Geriden Kestirmenin Doğruluğu
N noktasının tehlikeli çember üzerine düşmemesi için çember
üzerinden içeri ya da dışarı doğru kaydırılması gerekmektedir. N
noktası için en uygun yer, sabit noktaların ortalarında bir yerdir.
Geriden Kestirmenin Doğruluğu
Geriden kestirmenin doğruluğu için ölçüt olarak konum standart
sapması kullanılır.
s2
s1
s3
1
3
1
2
3
Geriden kestirmede doğruluk ölçütü için yardımcı üçgen
Geriden Kestirmenin Doğruluğu
si : Yeni noktadan sabit noktalara olan kenar uzunlukları
i = 1/si
: Küçük üçgenin kenar uzunlukları
: Küçük üçgenin alanı
r : Doğrultuların standart sapması
 : Açıların standart sapması
N : N noktasının konum standart sapması
= 200/π
2

2

1  2 

2
2
Açılara göre
N 
1 
3 


4 2 
2
2 


Bu eşitlik incelendiğinde konum hatasının minimum olması için yardımcı
üçgen alanının büyük olması gerektiği görülür. Bu ise üçgen
kenarlarının yani ters uzunlukların büyük, yeni nokta ile sabit noktalar
arasındaki kenarların küçük olması gerektiğini gösterir.
Geriden Kestirmenin Doğruluğu
 ve  açıları doğrultu ölçüleri ile de ifade edilebilir. Bu durumda
r1 , r2 , r3 doğrultu ölçülerinin standart sapmasına göre geriden
kestirme yöntemi ile belirlenen noktanın konum standart sapması
 12   22   32  r
N 


4 2
eşitliği ile ifade edilir.
Geriden Kestirmenin Doğruluğu
Geriden Kestirmenin Doğruluğu
Karışık Kestirme
N


N1
β
N2
Karışık kestirmede hem koordinatı bilinen noktalara hem de
kestirme noktasına alet kurularak , β ve  açıları ölçülmektedir.
Bir üçgende üç açı birden ölçüldüğü zaman; bu üç açının
toplamının 200 gon olup olmadığı, jeodezik çalışmalarda daima
kontrol edilir. Bunun için üçgen kapanmaları,
w  α  β  γ  200 gon
bağıntısı ile hesaplanır ve kapanma hatası üç açıya da eşit olarak
son hane biriminde ters işaretli dağıtılır.
Karışık Kestirme
Kapanma hatası kalansız olarak dağıtılamıyorsa, açılardan birine
veya ikisine 1 birim daha fazla düzeltme getirilir. Düzeltilmiş
açıların toplamı mutlaka 200 gon olmak zorundadır.
Karışık kestirme hesabı, düzeltilmiş açılarla önden kestirmede
olduğu gibi yapılır.
Üç Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme
Üç Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme
Üç Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme
Üç Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme
Üç Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme
Üç Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme
Üç Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme
Üç Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme
İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme
(Hansen Problemi)
İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme
(Hansen Problemi)
İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme
(Hansen Problemi)
İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme
(Hansen Problemi)
İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme
(Hansen Problemi)
İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme
(Hansen Problemi)
İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme
(Hansen Problemi)
İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme
(Hansen Problemi)
İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme
(Hansen Problemi)
İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme
(Hansen Problemi)
İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme
(Hansen Problemi)
İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme
(Hansen Problemi)
İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme
(Hansen Problemi)
İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme
(Hansen Problemi)
Kenar Ölçüleri İle Kestirme Hesabı
Kenar ölçüleri ile nokta konumlamada
N yeni noktanın belirlenmesinde yeni
nokta ile bir çok Ni sabit nokta
arasında si kenarları ölçülür. N noktası
merkezleri N1 ve N2, yarıçapları s1 ve
s2 olan iki daire yayının kesişimi ile
geometrik olarak belirlenir. Eğer en az
iki kenar ölçülmüş ise bu problem
çözülebilir. Yalnız iki kenarın ölçülmesi
durumunda
ölçülen
kenarların
ölçeğinin sabit nokta alanından farklı
olup olmadığı kontrol edilemez. Yeni
noktanın koordinatları ve λ ölçek
faktörü sabit noktalar arasında en az
bir kenar ölçülmüş ya da yeni nokta ve
sabit noktalar arasındaki diğer kenarlar
hesaplanabiliyorsa belirlenebilir.
Kenar Ölçüleri İle Kestirme Hesabı
İki sabit noktadan yapılan kenar ölçüleri ile basit daire yaylarının
kesişimi şeklinde nokta konumlama, doğrultu ölçüleri ile yapılan
önden ve geriden kestirmede olduğu gibi sınırlı olarak uygulanır.
Uygun geometrik yapı olmaması durumunda bu şekilde konum
belirlemede gerekli nokta konum doğruluğuna ulaşılamaz.
Basit Yay Kesişimi İle Nokta Konumlama
N1 ve N2 gibi iki sabit noktanın koordinatları ile s1 ve s2
projeksiyon düzlemine indirgenmiş kenarlar verilmiş olsun. Yeni
nokta N’nin koordinatları N1 merkezli s1 yarıçaplı ve N2 merkezli
s2 yarıçaplı iki daire yayının kesim noktası olarak aşağıdaki
bağıntılar ile hesaplanabilir.
x  x1  s1 cos t1N  x2  s2 cos t 2N
y  y1  s1 sin t1N  y 2  s2 sin t 2N
* kenarı ve t12 açıklık açısı hesaplanır.
Önce s12
*
s12
 ( x2  x1 )2  ( y 2  y1 )2
t1N  t12  
y  y1
, t12  atn 2
x2  x1
, t 2 N  t 21  
, t 21  t12  200 gon
*2
*
  acs ( s12  s12
 s 22 ) / 2 s1 s12
*2
*
  acs ( s 22  s12
 s12 ) / 2 s 2 s12
Basit Yay Kesişimi İle Nokta Konumlama
N noktası N1-N2 doğrultusunun diğer tarafında ise  ve 
açılarının işareti değişir. Eğer s12 kenarı da ölçülmüş ise ölçek
faktörü λ’da işlemlere katılmalıdır. Ölçek faktörünün de göz önüne
alınması ile yeni noktanın koordinatları aşağıdaki şekilde
hesaplanır.
*
s12

s12
s1*   s1
olmak üzere
, s2*   s2
alınarak  ve  açıları hesaplandıktan sonra yeni nokta
koordinatları belirlenmelidir.  ve  açıları ya yukarıdaki şekilde
hesaplanır ya da yalnızca ölçülen kenarlar kullanılarak hesaplanır.
Üçgen kenarlarının ölçek faktörüyle çarpılması sonucunda,
kenarlarının aynı oranda büyümesi veya küçülmesi, üçgen
açılarını değiştirmez.
Basit Yay Kesişimi İle Nokta Konumlama
Uygulama 7.13 : 7 ve 8 numaralı noktaların ülke koordinat
değerleri ve bu noktalardan 22 noktasına olan kenar ölçülerinin
projeksiyon düzlemine indirgenmiş değerleri aşağıda verilmiştir.
22 noktasının koordinat değerlerini hesaplayalım.
s 822  6366.993m, s7,22  7808.844m, s 87  9731.892m
1
t 8 7
s 8* 7  9129.4602  3370.9612  9731.9277m
3370.961
 atn
 177.48205 gon
 9129.460
λ  (9731.9277 / 9731.892)  1.000003668
s 8* 22  λ 6366.993  6367.0164m, s 7* 22  λ 7808.844  7808.8726m
Basit Yay Kesişimi İle Nokta Konumlama
s 827  s 8222  s 7222
6367.01642  9731.92772  7808.87262
2  α  acs
 acs
2  s 87  s 822
2 * 6367.0164 * 9731.9277
α  59.08813 gon
s 827  s 7222  s 8222
7808.87262  9731.92772  6367.01642
β  acs
 acs
2  s 87  s 722
2 * 7808.8726 * 9731.9277
β  45.27320 gon
t 822  t 87  α  177.48205  59.08813  236.57018 gon
t 722  t 7 8  β  377.48205  45.27320  332.20885 gon
3
x  4553418.045  6367.0164 cos236.57018  4548072.966 m
y  418393.082  6367.0164 sin 236.57018  414933.453 m
4  Kontrol :
x  4544288.585  7808.8726 cos332.20885  4548072.967 m
y  421764.043  7808.8726 sin 332.20885  414933.454 m
Basit Yay Kesişiminin Doğruluğu
Yay kesişiminin doğruluğu, ölçülen kenarların s standart
sapmasına ve N1N2N üçgeninin geometrisine bağlıdır. Kenarların
kesişme açısı  olmak üzere ve kenarların standart sapması s
uzunluğa bağımlı değilse N noktasının konum standart sapması,
2
N 
s
sin 
eşitliği ile ifade edilir.