Transcript Сфера.(Плаксина Е.В.)

-это фигура,
состоящая из
всех точек
пространства,
удалённых от
данной точки
на данном
расстоянии.
Взаимное расположение сферы
и плоскости.
x2 + y2 = R2 - d2
1.
(1)
d<R. Тогда R2 - d2 > 0 и
уравнение (1) является
уравнением окружности
радиуса r = R 2 - d2
с центром в точке О на
плоскости Оxy.
Если расстояние от
центра сферы до
плоскости меньше радиуса
сферы, то сечение сферы
плоскостью есть
окружность.
d<R
2) d=R, тогда R2 – d 2 = 0, и
уравнение (1)
удовлетворяет только
числа x=0, y=0 .
Если расстояние от
центра сферы до
плоскости равно радиусу
сферы, то сфера и
плоскость имеют
только одну общую
точку.
d=R
3) d >R. Тогда R2 – d 2 <0, и
уравнение (1)не
удовлетворяют
координаты никакой
точки.
Если расстояние от
центра сферы до
плоскости больше
радиуса сферы, то
сфера и плоскость не
имеют общих точек.
d >R
Касательная плоскость к сфере.
Плоскость,
имеющая со сферой
только одну общую
точку, называется
касательной
плоскостью к сфере, а
их общая точка
называется точкой
касания плоскости и
сферы.
Т. Радиус сферы, проведенный в точку касания
сферы и плоскости, перпендикулярен к
касательной плоскости.
Доказательство.
Рассмотрим плоскость а, касающуюся сферы с
центром О в точке А. Докажем, что радиус ОА
перпендикулярен к плоскости а.
Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА
является наклонной а плоскости а, и
следовательно, расстояние от центра сферы до
плоскости а меньше радиуса сферы. Поэтому
сфера и плоскость пересекаются по окружности.
Но это противоречит тому, что плоскость а –
касательная, т.е. сфера и плоскость а имеют
только одну общую точку. Полученное
противоречие доказывает, что радиус ОА
перпендикулярен к плоскости а.
Площадь сферы.
Многогранник называется
описанным около сферы
(шара), если сфера касается
всех его граней. При этом
сфера называется вписанной
в многогранник.
За площадь сферы
примем предел
последовательности
площадей поверхностей
описанных около сферы
многогранников при
стремлении к нулю
наибольшего размера каждой
грани.
Сфера, вписанная в
цилиндрическую поверхность.
Сфера вписана в
цилиндрическую
поверхность, если она
касается всех ее
образующих.
Взаимное расположение сферы и
прямой.
1.
d > R. В этом случае окружность L и
прямая a не имеют общих точек,
поэтому сфера и прямая a также не
имеют общих точек.
d = R. В этом случае окружность L и
прямая a имеют ровно одну общую
точку, поэтому сфера и прямая a
также имеют ровно одну общую
точку.
3. d < R. В этом случае окружность L и
прямая a имеют ровно две общие
точки, поэтому сфера и прямая a
также имеют ровно две общие
точки.
2.