Transcript Прямая на плоскости (продолжение). Плоскость
Slide 1
3. Взаимное расположение прямых на плоскости
На плоскости две прямые могут:
а) быть параллельны,
Пусть уравнения прямых ℓ1 и ℓ2
ℓ1: A1x + B1y + C1 = 0
ℓ2: A2x + B2y + C2 = 0
1) Пусть прямые параллельны:
б) пересекаться.
имеют вид:
или y = k1x + b1
или y = k2x + b2
N1
1
2
N2
1
1
2
2
x
Slide 2
Получаем, что прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны тогда и только
тогда, когда в их общих уравнениях коэффициенты при
соответствующих неизвестных пропорциональны, т.е.
A1
A2
B1
B2
или их угловые коэффициенты равны, т.е.
k1 = k2 .
Slide 3
2) Пусть прямые пересекаются
N2
1
N1
1
1
2
2
cos 1,2
( N 1, N 2 )
N1 N2
1
A 1 A 2 B 1B 2
2
2
(A1) (B 1)
2
(A 2 ) (B 2 )
2
где знак плюс берется в том случае, когда надо найти
величину острого угла, а знак минус – когда надо найти
величину тупого угла.
( N 1 , N 2 ) A1 A 2 B 1B 2 0
критерий перпендикулярности прямых, заданных общими
уравнениями.
Slide 4
2
1
1
2
1
tg 1,2
x
k 2 k1
1 k 2 k1
где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину
острого угла, а знак минус – когда надо найти величину тупого
угла.
1
k2
k1
критерий перпендикулярности прямых, имеющий угловые
коэффициенты k1 и k2.
Slide 5
4. Расстояние от точки до прямой
ЗАДАЧА 3. Пусть прямая ℓ задана общим уравнением
Ax + By + C = 0 ,
M0(x0;y0) – точка, не принадлежащая прямой ℓ.
Найти расстояние от точки M0 до прямой ℓ .
M0
N
d
d
M1
( N , M 1M 0 )
Ax 0 By 0 C
N
2
A B
2
Slide 6
§ 14. Плоскость
1. Общее уравнение плоскости и его исследование
ЗАДАЧА 1. Записать уравнение плоскости, проходящей через
точку M0(x0;y0;z0), перпендикулярно вектору N { A , B , C }
Вектор, перпендикулярный плоскости, называют нормальным
вектором этой плоскости.
N
M
r0
O
M
0
r
Slide 7
У равн ен и я
и
r r0 , N 0
(1 *)
A ( x x 0 ) B ( y y0 ) C (z z0 ) 0
(1)
н азы ваю т уравнением плоскост и, прохо дящ ей через т очку
M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) перпен дикуля рно ве кт ору N { A , B , C } (в
векто рн ой и коорд и н а тн ой ф орм е соо тве тстве н н о).
У равнения
и
r , N D 0
Ax By Cz D 0
назы ваю т общ им уравнен ием плоскос т и
коорд инатной ф орм е соотве тс тве нно).
(2 *)
(2)
(в векторно й и
ВЫВОДЫ:
1) Плоскость является поверхностью первого порядка. В общем
случае она задается уравнением Ax+By+Cz+D=0, где
A,B,C,D – числа.
2) Коэффициенты A, B, C не обращаются в ноль одновременно,
так как с геометрической точки зрения это координаты
вектора, перпендикулярного плоскости.
Slide 8
ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ
Если в уравнении Ax+By+Cz+D = 0 все коэффициенты A,B,C
и D отличны от нуля, то уравнение называют полным; если
хотя бы один из коэффициентов равен нулю – неполным.
1) Пусть общее уравнение плоскости – полное. Тогда его можно
x
y z
записать в виде
a
b
1
(3)
c
С геометрической точки зрения a,b и c – отрезки, отсекаемые
плоскостью на координатных осях
Ox, Oy
и
Oz
соответственно. Уравнение
(3)
называют уравнением
плоскости в отрезках. z
C ( 0 ,0 , c )
B ( 0 , b ,0 )
y
x
A ( a ,0 ,0 )
Slide 9
2) Пусть в общем уравнении плоскости коэффициенты A, B и
C – ненулевые, а D = 0, т.е. уравнение плоскости имеет вид
Ax+By +Cz = 0.
Такая плоскость проходит через начало координат O(0;0;0).
ℓ1: By+Cz = 0 (пересечение с плоскостью Oyz)
ℓ2: Ax+By = 0 (пересечение с плоскостью Oxy)
z
1
y
O
x
2
Slide 10
3) Пусть в общем уравнении плоскости один из коэффициентов
A, B или C – нулевой, а D 0, т.е. уравнение плоскости
один из следующих трех видов:
а) Ax+By+D = 0 б) Ax+Cz+D = 0 в) By+Cz+D = 0.
Эти уравнения можно записать соответственно в виде
а)
x
a
y
b
1
б)
x
a
z
1
в)
c
y
b
z
1
c
а) плоскость отсекает на осях Ox и Oy отрезки a и b
соответственно и параллельна оси Oz;
z
b
x
a
y
Slide 11
б) плоскость отсекает на осях Ox и Oz отрезки a и c
соответственно и параллельна оси Oy;
в) плоскость отсекает на осях Oy и Oz отрезки b и c
соответственно и параллельна оси Ox.
z
z
c
c
y
a
x
b
y
x
Иначе говоря, плоскость, в уравнении которой отсутствует
одна из координат, параллельна оси отсутствующей
координаты.
Slide 12
4) Пусть в уравнении плоскости (2) два из трех коэффициентов
A, B или C – нулевые, а D 0, т.е. уравнение плоскости
имеет вид: а) Ax+D = 0 или б) By+D = 0 или в) Cz+D = 0.
Эти уравнения можно записать соответственно в виде:
а)
x
a
1
б)
y
1
в)
b
z
1
c
а) плоскость отсекает на оси Ox отрезок a и параллельна
осям Oy и Oz (т.е. параллельна плоскости Oyz);
z
a
x
y
Slide 13
б) плоскость отсекает на Oy отрезок b и параллельна осям Ox и
Oz (т.е. параллельна плоскости Oxz);
в) плоскость отсекает на Oz отрезок c и параллельна осям Ox и
Oy (т.е. параллельна плоскости Oxy).
z
z
c
b
y
y
x
x
Иначе говоря, плоскость, в уравнении которой отсутствуют
две координаты, параллельна координатной плоскости,
проходящей через оси отсутствующих координат.
Slide 14
5) Пусть в общем уравнении плоскости (2) D = 0 и один из
коэффициентов A, B или C тоже нулевой, т.е. уравнение
плоскости имеет вид:
а) Ax+By = 0 или б) Ax+Cz = 0 или в) By+Cz = 0.
Плоскость проходит через начало координат и ось
отсутствующей координаты
z
z
y
x
z
y
y
x
x
Slide 15
6) Пусть в общем уравнении плоскости (2) три коэффициента
равны нулю, т.е. уравнение плоскости имеет вид
а) Ax = 0 или б) By = 0 или
в) Cz = 0.
Эти уравнения можно записать соответственно в виде:
а) x = 0 – уравнение координатной плоскости Oyz;
б) y = 0 – уравнение координатной плоскости Oxz,
в) z = 0 – уравнение координатной плоскости Oxy.
Slide 16
Замечание. Пусть плоскость λ не проходит через O(0;0;0).
O
n
P0
Обозначим:
1) P0(x0;y0;z0) – основание перпендикуляра, опущенного на λ
из начала координат,
2) n {cos , cos , cos } – орт вектора OP
3) p OP
0
0
.
– расстояние от начала координат до
Тогда уравнение λ можно записать в виде
cosα · x + cosβ · y + cosγ · z + D = 0,
где D = – p (доказать самим).
Этот частный случай общего уравнения плоскости называется
нормальным уравнением плоскости.
Slide 17
2. Другие формы записи уравнения плоскости
Другие формы записи:
Уравнение
плоскости,
проходящей
через
точку
перпендикулярно вектору (см. уравнение (1) и (1*));
Уравнение плоскости в отрезках (см уравнение (2));
Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно
двум неколлинеарным векторам;
Уравнение плоскости, проходящей через три точки;
1) Уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно двум неколлинеарным векторам
ЗАДАЧА 2. Записать уравнение плоскости, проходящей через
точку M0(x0;y0;z0), параллельно неколлинеарным векторам
1 { m 1 ; n1 ; p1 } и 2 { m 2 ; n 2 ; p 2 }
Slide 18
1
2
M
M
0
r
r0
O
У равн ен и я
и
r r0 ,
x x0
m1
m2
1 , 2 0
y y0
n1
n2
z z0
p1
0
p2
(4 *)
(4)
н азы ваю т ур авн ен и я м и п л ос кост и , п роход я щ ей через
т очку п ара л л ел ьн о д вум н е кол л и н еа рн ы м вект орам (в
векто рн ой и коорд и н а тн ой ф орм е соотве тс тве н н о).
Slide 19
2) Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не
лежащие на одной прямой – частный случай уравнения (4)
Пусть плоскость проходит через три точки M1(x1;y1;z1),
M2(x2;y2;z2) и M3(x3;y3;z3), не лежащие на одной прямой.
M
2
M
M
M
У равн ен и я
и
3
1
r r1 , r2 r1 , r3 r1 0
x x1
x 2 x1
x 3 x1
y y 1 z z1
y 2 y 1 z 2 z1 0
y 3 y 1 z 3 z1
(5 *)
(5)
н азы ваю т урав н ен и я м и п л оскост и , п роход я щ ей через
т ри т очк и M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) и M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 )
(в век торн о й и коорд и н атн ой ф орм е соответ с твен н о).
3. Взаимное расположение прямых на плоскости
На плоскости две прямые могут:
а) быть параллельны,
Пусть уравнения прямых ℓ1 и ℓ2
ℓ1: A1x + B1y + C1 = 0
ℓ2: A2x + B2y + C2 = 0
1) Пусть прямые параллельны:
б) пересекаться.
имеют вид:
или y = k1x + b1
или y = k2x + b2
N1
1
2
N2
1
1
2
2
x
Slide 2
Получаем, что прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны тогда и только
тогда, когда в их общих уравнениях коэффициенты при
соответствующих неизвестных пропорциональны, т.е.
A1
A2
B1
B2
или их угловые коэффициенты равны, т.е.
k1 = k2 .
Slide 3
2) Пусть прямые пересекаются
N2
1
N1
1
1
2
2
cos 1,2
( N 1, N 2 )
N1 N2
1
A 1 A 2 B 1B 2
2
2
(A1) (B 1)
2
(A 2 ) (B 2 )
2
где знак плюс берется в том случае, когда надо найти
величину острого угла, а знак минус – когда надо найти
величину тупого угла.
( N 1 , N 2 ) A1 A 2 B 1B 2 0
критерий перпендикулярности прямых, заданных общими
уравнениями.
Slide 4
2
1
1
2
1
tg 1,2
x
k 2 k1
1 k 2 k1
где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину
острого угла, а знак минус – когда надо найти величину тупого
угла.
1
k2
k1
критерий перпендикулярности прямых, имеющий угловые
коэффициенты k1 и k2.
Slide 5
4. Расстояние от точки до прямой
ЗАДАЧА 3. Пусть прямая ℓ задана общим уравнением
Ax + By + C = 0 ,
M0(x0;y0) – точка, не принадлежащая прямой ℓ.
Найти расстояние от точки M0 до прямой ℓ .
M0
N
d
d
M1
( N , M 1M 0 )
Ax 0 By 0 C
N
2
A B
2
Slide 6
§ 14. Плоскость
1. Общее уравнение плоскости и его исследование
ЗАДАЧА 1. Записать уравнение плоскости, проходящей через
точку M0(x0;y0;z0), перпендикулярно вектору N { A , B , C }
Вектор, перпендикулярный плоскости, называют нормальным
вектором этой плоскости.
N
M
r0
O
M
0
r
Slide 7
У равн ен и я
и
r r0 , N 0
(1 *)
A ( x x 0 ) B ( y y0 ) C (z z0 ) 0
(1)
н азы ваю т уравнением плоскост и, прохо дящ ей через т очку
M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) перпен дикуля рно ве кт ору N { A , B , C } (в
векто рн ой и коорд и н а тн ой ф орм е соо тве тстве н н о).
У равнения
и
r , N D 0
Ax By Cz D 0
назы ваю т общ им уравнен ием плоскос т и
коорд инатной ф орм е соотве тс тве нно).
(2 *)
(2)
(в векторно й и
ВЫВОДЫ:
1) Плоскость является поверхностью первого порядка. В общем
случае она задается уравнением Ax+By+Cz+D=0, где
A,B,C,D – числа.
2) Коэффициенты A, B, C не обращаются в ноль одновременно,
так как с геометрической точки зрения это координаты
вектора, перпендикулярного плоскости.
Slide 8
ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ
Если в уравнении Ax+By+Cz+D = 0 все коэффициенты A,B,C
и D отличны от нуля, то уравнение называют полным; если
хотя бы один из коэффициентов равен нулю – неполным.
1) Пусть общее уравнение плоскости – полное. Тогда его можно
x
y z
записать в виде
a
b
1
(3)
c
С геометрической точки зрения a,b и c – отрезки, отсекаемые
плоскостью на координатных осях
Ox, Oy
и
Oz
соответственно. Уравнение
(3)
называют уравнением
плоскости в отрезках. z
C ( 0 ,0 , c )
B ( 0 , b ,0 )
y
x
A ( a ,0 ,0 )
Slide 9
2) Пусть в общем уравнении плоскости коэффициенты A, B и
C – ненулевые, а D = 0, т.е. уравнение плоскости имеет вид
Ax+By +Cz = 0.
Такая плоскость проходит через начало координат O(0;0;0).
ℓ1: By+Cz = 0 (пересечение с плоскостью Oyz)
ℓ2: Ax+By = 0 (пересечение с плоскостью Oxy)
z
1
y
O
x
2
Slide 10
3) Пусть в общем уравнении плоскости один из коэффициентов
A, B или C – нулевой, а D 0, т.е. уравнение плоскости
один из следующих трех видов:
а) Ax+By+D = 0 б) Ax+Cz+D = 0 в) By+Cz+D = 0.
Эти уравнения можно записать соответственно в виде
а)
x
a
y
b
1
б)
x
a
z
1
в)
c
y
b
z
1
c
а) плоскость отсекает на осях Ox и Oy отрезки a и b
соответственно и параллельна оси Oz;
z
b
x
a
y
Slide 11
б) плоскость отсекает на осях Ox и Oz отрезки a и c
соответственно и параллельна оси Oy;
в) плоскость отсекает на осях Oy и Oz отрезки b и c
соответственно и параллельна оси Ox.
z
z
c
c
y
a
x
b
y
x
Иначе говоря, плоскость, в уравнении которой отсутствует
одна из координат, параллельна оси отсутствующей
координаты.
Slide 12
4) Пусть в уравнении плоскости (2) два из трех коэффициентов
A, B или C – нулевые, а D 0, т.е. уравнение плоскости
имеет вид: а) Ax+D = 0 или б) By+D = 0 или в) Cz+D = 0.
Эти уравнения можно записать соответственно в виде:
а)
x
a
1
б)
y
1
в)
b
z
1
c
а) плоскость отсекает на оси Ox отрезок a и параллельна
осям Oy и Oz (т.е. параллельна плоскости Oyz);
z
a
x
y
Slide 13
б) плоскость отсекает на Oy отрезок b и параллельна осям Ox и
Oz (т.е. параллельна плоскости Oxz);
в) плоскость отсекает на Oz отрезок c и параллельна осям Ox и
Oy (т.е. параллельна плоскости Oxy).
z
z
c
b
y
y
x
x
Иначе говоря, плоскость, в уравнении которой отсутствуют
две координаты, параллельна координатной плоскости,
проходящей через оси отсутствующих координат.
Slide 14
5) Пусть в общем уравнении плоскости (2) D = 0 и один из
коэффициентов A, B или C тоже нулевой, т.е. уравнение
плоскости имеет вид:
а) Ax+By = 0 или б) Ax+Cz = 0 или в) By+Cz = 0.
Плоскость проходит через начало координат и ось
отсутствующей координаты
z
z
y
x
z
y
y
x
x
Slide 15
6) Пусть в общем уравнении плоскости (2) три коэффициента
равны нулю, т.е. уравнение плоскости имеет вид
а) Ax = 0 или б) By = 0 или
в) Cz = 0.
Эти уравнения можно записать соответственно в виде:
а) x = 0 – уравнение координатной плоскости Oyz;
б) y = 0 – уравнение координатной плоскости Oxz,
в) z = 0 – уравнение координатной плоскости Oxy.
Slide 16
Замечание. Пусть плоскость λ не проходит через O(0;0;0).
O
n
P0
Обозначим:
1) P0(x0;y0;z0) – основание перпендикуляра, опущенного на λ
из начала координат,
2) n {cos , cos , cos } – орт вектора OP
3) p OP
0
0
.
– расстояние от начала координат до
Тогда уравнение λ можно записать в виде
cosα · x + cosβ · y + cosγ · z + D = 0,
где D = – p (доказать самим).
Этот частный случай общего уравнения плоскости называется
нормальным уравнением плоскости.
Slide 17
2. Другие формы записи уравнения плоскости
Другие формы записи:
Уравнение
плоскости,
проходящей
через
точку
перпендикулярно вектору (см. уравнение (1) и (1*));
Уравнение плоскости в отрезках (см уравнение (2));
Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно
двум неколлинеарным векторам;
Уравнение плоскости, проходящей через три точки;
1) Уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно двум неколлинеарным векторам
ЗАДАЧА 2. Записать уравнение плоскости, проходящей через
точку M0(x0;y0;z0), параллельно неколлинеарным векторам
1 { m 1 ; n1 ; p1 } и 2 { m 2 ; n 2 ; p 2 }
Slide 18
1
2
M
M
0
r
r0
O
У равн ен и я
и
r r0 ,
x x0
m1
m2
1 , 2 0
y y0
n1
n2
z z0
p1
0
p2
(4 *)
(4)
н азы ваю т ур авн ен и я м и п л ос кост и , п роход я щ ей через
т очку п ара л л ел ьн о д вум н е кол л и н еа рн ы м вект орам (в
векто рн ой и коорд и н а тн ой ф орм е соотве тс тве н н о).
Slide 19
2) Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не
лежащие на одной прямой – частный случай уравнения (4)
Пусть плоскость проходит через три точки M1(x1;y1;z1),
M2(x2;y2;z2) и M3(x3;y3;z3), не лежащие на одной прямой.
M
2
M
M
M
У равн ен и я
и
3
1
r r1 , r2 r1 , r3 r1 0
x x1
x 2 x1
x 3 x1
y y 1 z z1
y 2 y 1 z 2 z1 0
y 3 y 1 z 3 z1
(5 *)
(5)
н азы ваю т урав н ен и я м и п л оскост и , п роход я щ ей через
т ри т очк и M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) и M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 )
(в век торн о й и коорд и н атн ой ф орм е соответ с твен н о).