ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия» означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля, «метрео» – мерить). Изучает свойства Изучает свойства СТЕРЕОМЕТРИЯ.
Download ReportTranscript ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия» означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля, «метрео» – мерить). Изучает свойства Изучает свойства СТЕРЕОМЕТРИЯ.
Slide 1
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 2
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 3
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 4
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 5
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 6
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 7
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 8
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 9
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 10
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 11
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 12
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 13
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 14
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 15
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 16
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 17
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 18
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 19
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 20
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 21
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 22
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 23
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 24
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 25
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 26
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 27
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 28
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 29
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 30
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 31
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 32
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 2
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 3
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 4
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 5
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 6
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 7
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 8
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 9
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 10
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 11
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 12
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 13
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 14
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 15
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 16
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 17
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 18
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 19
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 20
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 21
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 22
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 23
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 24
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 25
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 26
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 27
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 28
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 29
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 30
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 31
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD
Slide 32
ГЕОМЕТРИЯ. В переводе с греческого - «геометрия»
означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить).
Изучает свойства
Изучает
свойства
СТЕРЕОМЕТРИЯ. Происходит
от греческих
геометрических
фигур в
слов
фигур
на«стереос» объемный,
пространстве
пространственный,
«метрео» – мерить
плоскости
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
отрезок, луч,
треугольник, квадрат,
ромб, параллелограмм,
трапеция,
прямоугольник,
выпуклые и невыпуклые
n-угольники, круг,
окружность, дуга и др.
геометрические тела и
их поверхности:
многогранники - куб,
параллелепипед,
призму, пирамиду; тела
вращения – шар, сферу,
цилиндр, конус.
ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ –
ТОЧКА
А
а
ПРЯМАЯ
ПЛОСКОСТЬ
ПЛОСКОСТЬ
В
А
A , B
AB
С
C , D
D
CD
КУБ (ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД)
ТЕТРАЭДР
Стереометрия
широко
используется
в
строительном деле, архитектуре, машиностроении,
геодезии, во многих других областях науки и техники.
Инженер Гюстав
Эйфель нашел
необычную форму для
своего проекта.
Эйфелева башня весьма
устойчива: сильный ветер
отклоняет ее вершину
всего лишь на 10-12 см. В
жару от неравномерного
нагревания солнечными
лучами она может
отклониться на 18 см.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
В
A
С
Ещё одно обозначение плоскости –
по трём точкам, лежащим в этой плоскости –
АВС
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B
Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не
будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы
с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости.
A
D
В
С
А , В АВ
b
Следствие из аксиомы А2:
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что
они пересекаются.
a
N
а N
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
а
A
А , А а, где А а.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
a
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
Q
a
P
М
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N
М
В чем ошибка чертежа, где
О EF
О
Дайте объяснение.
F
Е
B
С
D
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
18
Пользуясь рисунком назовите три плоскости,
содержащие прямую АВ1
В1
С1
D1
А1
В
А
С
D
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m.
Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой
проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию
задачи.
D
m
А
В
С
№ 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?
ответ обоснуйте.
Предположим прямые АВ и СD пересекаются.
Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
(теорема). Это противоречит условию задачи.
D
В
А
С
№5. Сколько существует плоскостей, проходящих через три точки,
лежащие на одной прямой?
В
С
А
№ 8. Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
№9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие
вершины параллелограмма в плоскости ?
А, О
A2
АО .
С АО С
С
В
O
А
D
№ 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
а) пересекает две стороны треугольника.
M AC M
A2
MN
N BC N
С
М
А
N
В
№ 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного
треугольника, если она
б) проходит через одну из вершин треугольника?
С
А
В
№ 14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две
из них проведена плоскость. Сколько всего проведено
плоскостей?
c
а
М
b
Тренировочные упражнения
D
K
P
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
Назовите
D
K
точки пересечения прямой
DK с плоскостью АВС,
прямой СЕ с плоскостью
АDB.
P
M
C
A
E
B
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите точки, лежащие в
плоскостях DCC1 и BQC
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости, в
которых лежит прямая АА1
Тренировочные упражнения
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
C
D
R
Назовите точки,
пересечения прямой МК с
плоскостью АВD