Transcript Relation entre nombre et calcul

CONSTRUCTION DU
NOMBRE
Le
nombre ne
s’apprend pas il se
construit.
 (Par
contre on apprend la numération et le
codage)
La notion de
nombre
 Un
concept: c’est-à-dire une notion
abstraite :c’est la propriété qu’ont en
commun des collections qui ont la
même quantité d’objets
indépendamment de leur nature, de leur
taille et de leur disposition
La notion de
nombre
représentation :c’est-à-dire un
choix culturel et arbitraire .On a décidé
de représenter une information au
moyen de caractères Ce sont les
chiffres.
 Une
La notion de
nombre
 Une
fonction: Il permet de dénombrer
,de classer d’ordonner ou de mesurer
Le nombre entier
 Le
nombre entier permet d’indiquer une
quantité
 ►aspect cardinal du nombre
 C’est
aussi le moyen de repérer des
positions dans une liste ordonnée
d’objets
 ►aspect ordinal du nombre
A quoi servent les
nombres?
A
comparer.
A
mémoriser une quantité.
A
partager.
A
agir sur les quantités :calculer
Savoir les utiliser
pour résoudre
des problèmes
Savoir les utiliser
pour mesurer
Connaître
les nombres
Savoir les
opérer
Savoir les
désigner
Savoir les
comparer
De la maternelle au
CM2
 La
construction du nombre

 La
Désignation d’une quantité
numération décimale
Le nombre : objet d’étude
 Différencier valeur et quantité

 Les
grands nombres
 Insuffisance des nombres entiers
Connaissance des
nombres
entiers naturels
Calcul
Calcul automatisé
Calcul réfléchi
Calcul posé
Calcul instrumenté
Apprendre les
nombres
entiers naturels
Grandeurs
et mesures
Organisation et gestion des données
Résoudre des problèmes d’anticipation,
de partage. Utiliser des graphiques,
des tableaux…
Les nombres et le
sens
 Deux


types de problèmes :
Ceux qui donnent du sens aux nombres
en tant que quantité, mesure ou position.
Ceux qui relient le nombre et sa
désignation


Règles du fonctionnement de notre système de
numération écrite et orale
Relation d’ordre entre les nombres
Apprentissage de la
numération
1)
2)
3)
4)
De la récitation de la comptine
numérique à la désignation d’une
quantité
L’aspect algorithmique de la suite
écrite chiffrée
Du dénombrement à la désignation
écrite chiffrée des quantités
Numération et calcul
Quelles difficultés
repérées au CP?
 La
connaissances des compléments à
10
 Passage de la désignation orale à la
désignation écrite
 Les relations arithmétiques entre les
nombres: double et moitié
Quelle difficulté au cycle 3?
La numération et les grands
nombres
Le modèle
« Planchon »
-
-
-
-
Une approche « nouvelle » de la numération
Chaque graphique correspond à un nombre
(lire/écrire/décomposer le nombre)
Poursuivre le tableau vers la gauche : les
« milliards »
Poursuivre le tableau vers la « droite » : les
dixièmes (colonne B’), centièmes (C’),
millièmes (D’)
Comparaison de nombres, conversions…
Les difficultés
●Numération de position :
système des bases
●Codage et décodage:
●Langue
●image mentale et cardinalité
:comptage/dénombrement
Activités en lien
avec la construction
du nombre
 Ce
sont des opérations logicomathématiques
 Elles ne s’apprennent pas, ne
s’enseignent pas, mais s’installent au fil
du temps. Celles-ci se construisent à
partir de stratégies cognitives :
explorer, comparer, trier, classer,
sérier, évoquer et mettre en relation.
Activités logico mathématiques en
lien avec la construction du
nombre
 CLASSIFICATION
 INCLUSION
 SERIATION
 CONSERVATION
 ORDINALITE

La classification
C’est la structure de penser qui nous permet de dégager des
critères communs à une série d’éléments, de façon à les
regrouper par collections puis de les nommer

Il s’agit de classer des objets, de les regrouper selon leurs
critères communs: concept de collection

Le classement nécessite de la décentration car l’élève doit
sélectionner, considérer deux points de vue pour organiser des
groupements, des classifications.
Pour les quantités ,le nom de la collection c’est le cardinal
Pour Piaget il ne suffit pas de trouver un critère de le nommer et de ranger .Il faut être
capable d’en changer. C’est cette mobilité ,cette souplesse de pensée qui permettra
pour un même objet de le considérer sous plusieurs critères différents et donc
d’organiser plusieurs rangements.(12 éléphants et un rôti à 12 euros)
Précision
«Classifier » je trouve les critères par moi-même ;
« Classer » les critères sont déjà établis.
Ces activités de classification sont basées sur la différence, la
ressemblance ou l’équivalence entre les éléments d’une même
classe.
Une classe peut se définir :
- Soit en citant tous les éléments de l’ensemble (ex : « les poires, les
pommes, les abricots … » c’est la définition en extension de
l’ensemble des fruits de mon jardin) ;
- Soit en donnant une propriété caractérisant tous les éléments de
l’ensemble et seulement ceux-là (ex : « ce sont les fruits de mon
jardin » c’est la définition en compréhension qui désigne les poires,
les pommes, les abricots … par un mot).
La classification organise la pensée, la perception du monde réel.
L’inclusion :
Elle situe les ensembles de nombres inclus hiérarchiquement les uns
dans les autres.
Exemple, le 1 ,représentant de la classe de tous les ensembles ayant
1 pour cardinal est inclus dans le deux, celui-ci lui-même
représentant de tous les ensembles comportant deux éléments ,la
suite se construit ainsi par ajout d’une unité

+
+
Activité autour de
l’inclusion
On présente à l’enfant dix tulipes et
deux roses .Y a t il plus de tulipes ou de
fleurs?
 Jusqu’à 6-7 ans l’enfant se trompe et
répond plus de tulipes?
C’est selon Piaget un défaut d’inclusion
de sous classe de tulipe dans fleurs qui
inclut aussi les roses
 Normalement après 7 ans tout


La sériation:
 Elle
concerne la capacité d’ordonner des
éléments selon un ordre conventionnel et
s’intéressant cette fois à leur différence.
(relation d’ordre)
D’un point de vue conventionnel (plus grand
,plus lourd, ou ordre alphabétique)
 D’un point de vue plus complexe (Annie est
arrivée avant Pascale qui est arrivée la veille de
l’arrivée de Valérie)

 Par
exemple,
 les jeux à une différence conduisent à
sérier un ensemble d’objets.
 Le rangement est une action plus
complexe et donc plus contraignante que
la sériation, dans la mesure où il est
nécessaire de comparer chaque objet à
tous les autres et non pas seulement,
comme dans la sériation, à quelques
d’entre eux.
Situation de
sériation
 On
propose à l’enfant les deux bandes
on demande à l’enfant ce qu’il pense de
leur grandeur.
 Comment est la bleue? Comment est la
rose?
Situation de
sériation
 Maintenant
on introduit une jaune on la
place à côté de la rose, on enlève la
bleue
 On parle de la grandeur et on provoque
le changements de statut.
●Conservation
 Correspondance
terme à terme ou
bijection en mathématique:
capacité à faire correspondre 1 par 1 les
éléments de deux collections et ensuite de
considérer ces collections comme
identiques du point de vue du nombre
d ’éléments
Conservation
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
●Ordinalité

La conservation de la quantité discontinue
Une fois la correspondance terme à terme installée et reconnue ,il faut
que cette notion de quantité identique soit conservée
indépendamment des modifications physiques perceptibles
effectuées sur la matière.
1
AAAA
2
Epreuve sur
l’ordinalité


Au tableau une série de cartons blancs .On dispose en dessous des
cartons de couleurs variées de façon aléatoire
Le bleu est l’ami de celui qui est placé au dessus etc
Epreuve sur
l’ordinalité
Les cartons vont aller se promener et on espace les cartons en créant des
espaces plus grands .Et on questionne ;qui est l’ami de qui ?On
continue avec d’autres espacements
Confusion
dénombrement et
comptage
 D’après
Brissiaux il faut faire attention
entre
 Dénombrement :désigne toute
procédure permettant d’accéder au
nombre
 Comptage: désigne l’énumération des
objets à l’aide de la comptine numérique
,la notion de tous les objets n’est pas
forcément effective
Le dénombrement
(Depuis 78 R Gelman)(principe innéiste)


Il y a 5 principes
 La correspondance terme à terme

‘(à chaque unité on fait correspondre un mot nombre)

L’ordre stable de la comptine numérique

(les mots nombres doivent être toujours récités dans le même ordre )

La cardinalité

le dernier mot nombre prononcé se réfère à l’ensemble)

L’abstraction

(toute sorte d’éléments peuvent être comptés)

La non pertinence de l’ordre de comptage

(les unités peuvent être comptées dans n’importe quel ordre)

Pour compter les enfants doivent mettre en œuvre tous les principes
simultanément ,de façon coordonnée .C’est donc par surcharge que des
erreurs sont commises
CYCLE 1
Les différentes
écritures du nombre
de la PS au CM2
Ce qui devient au
cycle 2
Et au cycle 3…..
Les 3 points
essentiels à
travailler
3 points essentiels à travailler..sur
l'ensemble des 3 cycles et tout au long de
l'année :
- l'aspect cardinal et ordinal du nombre : le
nombre pour mémoriser, le nombre pour
comparer
- les notions de groupements et d'échanges
- la relation entre les nombres et le calcul : le
nombre pour calculer

Groupements et échanges
Difficultés pour les élèves:
- regrouper pour dénombrer
- échanger un tas contre « quelque chose »
d'unique qui lui est équivalent
- comprendre la signification des chiffres en
fonction de leur position (ex : 15 et 51)
→ Donner l'occasion aux élèves de voir et de
comprendre dans une activité de groupement,
comment chacune de ces écritures a été
produite .

Des exemples
d'activités
● Des situations amenant à repenser les
groupements par rapport aux échanges:
histoires de comptes, les craies, les
trombones, les carrelages
 ● Des situations de groupements: Freddy la
grenouille, les fourmillons,
● Des situations d'échange pour travailler
l'écriture chiffrée du nombre: échange 2
contre 1, banquier 5 pour 1 puis 10 pour 1
Le matériel de
numération
- Faciliter l'appropriation de la situation
- Valider et justifier
- Permettre aux élèves de se construire
une représentation mentale des
nombres
 Le boulier au cycle 2 et au cycle 3 :
 → vidéo
Relation entre
nombre et calcul
- aider à l'installation de représentations
mentales des nombres chez l'élève
29 = 20 + 9 9 = 10 -1
Quelles sont plus-values
de la manipulation?
- amener à faire le lien entre les nombres
et le calcul.
- entrer dans l'univers numérique sans
nombre
- l'objet est un vecteur d'explicitation
- travail de la mémoire à court terme
- outils de différenciation
Quand et comment
utiliser ces
manipulations?
- en rituel, rapide, avec ou sans trace
écrite
- Contextualisation de la situation de
départ - importance de la justification
- utilisation au cycle 3 pour les nombres
décimaux
- une utilisation illimitée au cycle 1