Transcript La construction du nombre

C. GALLE, IEN,
chargée de mission départementale mathématiques
La construction du nombre entier
Rôle de l’école maternelle
LE NOMBRE est un concept mathématique,
donc il n'existe pas.
C'est un modèle mental générique qui peut
se décliner en une infinité de représentations:
Des représentations en cycle 1
Des représentations au cycle 2
La théorie piagétienne
sur la construction du nombre
En 1941: Piaget associé à Szeminska
« La genèse du nombre du nombre chez l'enfant ».
Il considère que le nombre ne devient une notion opératoire grâce à
trois capacités logiques : sériation, classification et conservation.
 L'opération de sériation :ordonner une série d'objets en fonction de
leurs différences (la taille, le poids, ...) La sériation apparaît dans
l'acquisition de la suite ordonnée des naturels : 5 est plus grand que 4,
qui lui-même est plus grand que 3...
 La classification: ranger les objets en un ensemble commun malgré
leurs différences, attention à leurs points communs en faisant
abstraction des différences, construire des classes logiques.
 La question de la conservation se pose devant deux collections
composées du même nombre d'objets mais disposées différemment.
L'enfant non conservant répondra qu'il y a plus de jetons là où c'est le
plus long, alors que l'enfant conservant dira qu'il y en a le même
nombre. (6à 7ans)
Les apports post-piagétiens
Le comptage chez l'enfant. Pour Piaget, le comptage ne relevait
pas de la logique, mais reflétait des séquences "apprises par
cœur" ne nécessitant aucun raisonnement particulier.
 Des auteurs ont toutefois montré que la pratique du
dénombrement précède l'accès à la conservation et ont
comparé l'effet de l'apprentissage du comptage, du
dénombrement et de la logique.
Apprendre à dénombrer peut donc aider l'enfant à développer
les capacités opératoires qui sous tendent le concept de
nombre.
 Ainsi, la construction du nombre semble reposer à la fois sur les
notions logiques développées par Piaget (sériation,
classification et conservation), mais également sur des
procédures de dénombrement et de comptage qui seraient
des pré requis à la conservation.
Michel FAYOL dégage 2 groupes d'activités :

La construction logique du nombre en
s'appuyant sur les travaux de PIAGET : les
opérations logiques de classement et de sériation;
la correspondance terme à terme.

Une approche empirique du problème :
comptage, dénombrement.
Sciences cognitives et
mathématiques S. Dehaene
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Le nombre : l’enfant arrive avec des intuitions math, notamment sur le
nombre. Les mathématiques ne sont pas des constructions arbitraires
mais issus de la réalité de l’espace, de l’analyse di monde, du temps,
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Sens des nombres doit être entrainé : affiner les précisions des
systèmes. La mesure de ce système prédictif joue un rôle sur les
apprentissages maths
Utiliser les approximations : fondation pour les maths
Acquérir un sens exact des nombres : comptage et décomptage pour
la notion de linéarité (même distance entre 1 et 2 que 9 et 10)
Mots et symboles pour les nombres : représentation mentale et
algorithmes
De l’approximatif à l’algorithmique : révolution mentale
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Plaisir et attention : vecteur d’apprentissage
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S. Dehaene
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L’école doit se servir des intuitions ; pas d’approche formelle Tous les
enfants n’ont pas la même discrimination du nombre mais
l’apprentissage est possible pour chacun.
Intuition précise qui se développe avec la ligne numérique : jeu de
plateau qui améliore les compétences mathématiques
Bandes numériques : important pour le développement numérique de
l’enfant
Tout enfant a vocation à amer les maths : intuitions mathématiques à
développe, piquer la curiosité des enfants : matériels pour fournir un
environnement de classe afin de permettre à l’enfant d’aller jouer et
augmenter les difficultés
On sous estime la compétence des maths des enfants
Challenge à proposer soit à la hauteur de leur envie, de leur besoin ;
être ambitieux : challenge pour motiver l’attention et l’intérêt
Faire réfléchir les enfants : eux qui récréent à partir de intuitions
Curiosité : orientation de l’organisme vers ce que je veux apprendre :
je sais, c’est trop compliqué , je peux apprendre (endroit excitant)
Le nombre entier,
deux mouvements de pensée
 La valeur ordinale : ordre d’apparition, statut
de numéro, le quantième, la successivité
 La valeur cardinale : la quantité,
correspondance terme à terme, équivalence
entre les quantités
La quantité est considéré comme un tout
 L'ordinalité représente le nombre
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dans un cadre spatial (bande numérique)
dans un cadre temporel (comptine numérique)
 La cardinalité utilise le nombre
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pour mémoriser des quantités
pour communiquer des quantités
Ordinalité et cardinalité sont indissociables.
Stratégies de dénombrement du
nombre
Le subitizing (perception globale) est une
connaissance innée des petites quantités. Il
s'agit de la perception globale d'une quantité
sans avoir recours au comptage. 4 ou 6
Le comptage numérotage : récitation de la
comptine numérique puis association du
dernier-mot nombre prononcé à la quantité
totale observée
Quelques mots à connaître dans leur
définition
 - Le comptage numérotage : Récitation de la
comptine numérique puis association du dernier
mot-nombre prononcé à la quantité totale
observée. (énumération)
 - Le dénombrement : récitation de la comptine
numérique puis association d’une quantité à
chaque nombre prononcé
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Le surcomptage = augmenter à partir d’une quantité
Le décomptage = diminuer à partir d’une quantité
Apprendre à dénombrer
Il faut
 Savoir réciter la comptine numérique
 Synchroniser la récitation de la comptine et le
pointage de chaque objet à dénombrer
 Ne pointer chaque objet qu’une fois
 N’oublier aucun objet
 Cardinaliser le dernier terme de la comptine
Repérage des compétences numériques
(INRP équipe ERMEL)
 La comptine numérique
 La maîtrise du dénombrement
 La constitution d’une collection de cardinal
donné
 Le recours spontané au dénombrement
 Le successeur d’un nombre
 La lecture des nombres
 Problèmes arithmétiques
Quatre objectifs importants pour la maternelle
 A quoi servent les nombres ?
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Exprimer les quantités pour les mémoriser
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Repérer et exprimer des positions dans une liste
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Traiter des problèmes "arithmétiques"
 Suite orale des nombres : stabilisation
 Dénombrement : différentes méthodes
 Correspondance suite orale - suite écrite, par le biais de
la bande numérique
Les quatre grandes étapes dans l’apprentissage
du nombre
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Une approche globale d’abord orale
Une perception de l’aspect
algorithmique de l’écriture de la suite
des nombres
La découverte du groupement par dix.
Les échanges

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L’école maternelle constitue une période décisive dans l’acquisition de la suite des
nombres (chaîne numérique) et de son utilisation dans les procédures de quantification.
l’école maternelle a un rôle capital dans la construction de la numération cardinale comme
ordinale.

Les enfants y découvrent et comprennent les fonctions du nombre, en particulier comme
représentation de la quantité et moyen de repérer des positions dans une liste ordonnée
d’objets.

Le nombre doit être perçu avant tout comme une représentation d’une quantité ou d’un
rang: ce n’est pas l’objet premier du travail à mener avec les élèves.

Les situations proposées aux plus jeunes enfants (distributions, comparaisons,
appariements...) les conduisent à dépasser une approche perceptive globale des
collections.

La manipulation d’objets doit toujours être première. Il faut mettre fin à l’utilisation exclusive
des photocopies aux exercices formels dénués de sens.

L’accompagnement qu’assure l’enseignant en questionnant (comment, pourquoi, etc.) et
en commentant ce qui est réalisé avec des mots justes, dont les mots-nombres, aide à la
prise de conscience.

La démarche d’investigation est suggérée:

1. Question concrète

2. Questionnement des élèves.

3. Élaboration d’expérimentations

4. Expérimentation

5. Bilan de l’expérimentation

6. Synthèse

Dès le début, les nombres sont utilisés dans des
situations où ils ont un sens et constituent le moyen
le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités
de la classe, problèmes posés par l’enseignant de
comparaison, d’augmentation, de réunion, de
distribution, de partage.

Il faut construire des attitudes: amener les élèves à
mobiliser les capacités et les connaissances qui leur
permettront de résoudre de vrais problèmes.

La taille des collections, le fait de pouvoir agir ou non sur les
objets sont des variables importantes que l’enseignant utilise
pour adapter les situations aux capacités de chacun.

Le support papier doit permettre aux élèves de représenter, de
schématiser, voire de coder. Il faut abandonner les photocopies
standardisées qui conditionnent, qui formatent les élèves à être
de simples exécutants de tâches répétitives, dont le sens
s’amenuise d’ailleurs à mesure qu’elles sont à nouveau
présentées aux élèves.


À la fin de l’école maternelle, les problèmes
constituent une première entrée dans l’univers du
calcul mais c’est le cours préparatoire qui installera
le symbolisme (signes des opérations, signe “égal”)
et les techniques.
La GS n’est pas un pré-Cours Préparatoire. Il ne
s’agit pas de coder les situations avec un langage
mathématiques expert, mais avec une codification
personnelle s’appuyant sur des représentations, des
symboles, mais aussi de chiffres

La suite écrite des nombres est introduite dans des situations concrètes (avec le
calendrier par exemple) ou des jeux (déplacements sur une piste portant des
indications chiffrées). Les enfants établissent une première correspondance
entre la désignation orale et l’écriture chiffrée ; leurs performances restent
variables mais il importe que chacun ait commencé cet apprentissage.
L’apprentissage du tracé des chiffres se fait avec la même rigueur que celui des
lettres.

Des constats doivent être effectués sur la construction logique de certains
intervalles et … sur les changements de logiques successifs.
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Onze à seize
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Dix-sept à dix-neuf

Extension du constat de vingt à trente et extension sur l’échantillon trente à
soixante-neuf
La construction du nombre
Manipulation intuitive des nombres :
jeux, comptines …
Correspondance
terme à terme
Premiers jeux d’échanges,
de troc…
Constellations
Comptine
numérique
comptage
comparaison
dénombrement
classement
rangement
échanges
Aspect ordinal du nombre
Aspect cardinal du nombre
Connaissance des premiers nombres
Aspect algorithmique de la suite
des nombres
Distinction
valeur-quantité
Ecritures additives des nombres
Groupements par 10
Ecriture canonique
Ecriture des nombres sous diverses formes et
lecture