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LA CONSTRUCTION DU
NOMBRE
Développement qui fait suite à la conférence de
Michel VINAIS du 17.11.2010
Catherine WAECKEL-DUNOYER
 La numération
(ordinalité)
1 Cadrage
2 Progression
 LeS PROCedures de
quantification
(cardinalité)
3 Cadrage
4 Progression
1 La numération :
cadrage
1.1/ Les 2+1 systèmes de numération
1.2/ La chaîne numérique verbale et ses
4 niveaux d’élaboration
1.3/ La chaîne insécable et ses 3 zones
différentes
1.4/ Les préalables à la construction des
données numériques : quelques
repères, le mur du 4, le zéro, les
activités logico-mathématiques.
1.1 / Les 2 systèmes de numération écrite
totalement différents
Numération mot
Numération chiffre
Nb de symboles
25 mots
10 chiffres
Algorithme
Non algorithmique
Parfait et constant
Répétitif et récursif (période
qui évolue suivant un
paramètre)
Base
Pas de base
Base 10
Le zéro
Pas d’oralisation
Systématique et fondamental
Valeur
positionnelle
Suite de mot nombre donne
souvent un nombre : ex :
Quatre vingt six
Mais ce n’est pas forcément le
cas : ex : Trente douze
Suite de chiffre =
1 nombre
dans tous les cas
Ordre de
grandeur
Nombre de mots sans lien
avec la grandeur
Nombre de chiffres en lien
avec la grandeur
Danger : ne pas appuyer la numération chiffre sur la numération mot.
+1 système numérique oral
correspondant aux 2 systèmes écrits
La chaîne numérique verbale
 Système qui a deux signifiants symboliques
« 5 » et « cinq »
 Pour un même signifié oral [sink]
 Et un même signifié quantité XXXXX
 Attention aux appels que l’on fait d’un
système à l’autre !
 Attention bien identifier cardinalité ou
ordinalité : la construction de la chaîne est uniquement dans
l’ordinalité, les problèmes mettent en œuvre la cardinalité.
 Danger : les premiers nombres sont les
chiffres-nombres : attention au vocabulaire
employé !
1.2 / La chaîne numérique verbale et ses 4
niveaux d’élaboration
La chaîne
chapelet
(avant 3 ans)
La chaîne
insécable
(maternelle)
La chaîne
sécable
Un savoir par cœur inutilisable, un groupe de souffle
monobloc, sans représentation mathématique
« Undeuxtroisquatrecinq »
Chaîne dont la segmentation et sa liaison aux quantités sont
conscientes mais qu’on ne peut pas encore dissocier.
L’élève est toujours obligé de repartir de 1 (au moins en
parlant doucement) « Un deux trois quatre cinq… »
(maternelle)
C’est quand l’enfant peut établir des liaison numériques à
partir de n’importe quel nombre de cette chaîne, dans sa zone
stable et exacte.
La chaîne
terminale (ou
dénombrable)
Chaîne totalement malléable et complètement automatisée :
elle est utilisable dans tous les sens, il n’y a plus de problèmes
pour circuler dans cette chaîne.
(fin GS/CP/CE1)
1.3/






zone stable et exacte : revient dans plus de 80% de ses énonciations.
zone stable inexacte : revient dans plus de 80% de ses énonciations mais elle est non conventionnelle
et peut même avoir des retour. Il peut y avoir des reprises de la chaîne connue.
zone non stable et inexacte : l’élève prouve au moins qu’il sait que ça continue, mais il ne sait pas
comment.
L’apprentissage se fait par imprégnation et mémorisation. L’hétérogénéité la favorise.
Attention les passages à la dizaines sont à donner régulièrement aux élèves : pas à construire mais à
savoir.
Toutes les activités de dénombrement et de problème qu’on va mener doivent se situer dans la zone
stable et exacte.
1.4 / Les préalables à la construction
des données numériques
 Quelques repères
 Le mur du 4
 Le zéro
 Les activités logico-mathématiques
Quelques repères
 On ne parle pas de chaîne numérique avant le 4,
lorsque l’enfant a passé le « mur du 4 ».
 L’acquisition de la chaîne numérique verbale
s’étale sur 4 années.
 L’apprentissage doit être mémoriel, il n’y a pas
de logique dans les noms des chiffres.
 On s’appuie sur les savoirs spontanés de
l’enfant : les nombres sont des mots pour
compter.
 En maternelle on doit s’attacher à donner du
sens à l’outil nombre. Après, on travaillera sur
l’objet nombre et l’algorithme de sa symbolique.
Le mur du 4
 Difficulté pour enclencher la chaîne numérique :
passer le « mur du 4 »
Rupture à 4 car le 3 a une valeur affective qui
viendrait perturber la chaîne.
 Redonner à 3 une valeur purement numérique.
 Activités :
- Utiliser le corporel en lien avec l’adulte
pour coordonner et rassurer.
Ex: marcher en disant, montrer les doigts…
- Associer ce bout de chaîne au pointage de
trois objets identiques alignés régulièrement sur
une table. Ce n’est pas du dénombrement c’est
un début de segmentation.
Le zéro
 Le zéro n’est pas intuitif : domaine de l’acquisition et de
l’apprentissage.
Il y a 3 zéros différents.
- le zéro chiffre (symbole) « rien »,
- le zéro nombre « Il n’y en a plus » « Comptage à rebours »
- le zéro origine (mesure : invisible en maternelle)
 En maternelle on manipule les zéros, on les utilise dans l’action
 donner du sens à ce nombre : essentiel pour un bon apprentissage
Différentes expressions pour le désigner.
D’autres représentations de zéro (en parallèle aux
représentations utilisées pour 1, 2, 3) un domino vierge, un sac vide,
une main fermée, etc…
(Attention aux représentations choisies. Les enfants sont dans le principe
de réalité : un panier, même vide, reste un panier donc = 1 = une unité)
 L'introduction du chiffre/symbole se fait alors au même titre que
pour 1, 2, 3... En particulier, il n'y a pas lieu de distinguer deux files
numériques séparées, mais on ne se presse pas de le représenter.
 Le zéro ne fera vraiment sens, ne sera conceptualisé, qu’avec la
soustraction.
Les activités logico-mathématiques
La logique est nécessaire à la construction du nombre
 La classification : d’abord les classes schématiques (même espace : ex : tous les
objets de la cuisine) puis les classes taxonomiques (propriétés) qui permettent
d’avancer vers la cardinalité. Ce sont des relations d’équivalence.
 La sériation : (ex : du plus petit au plus grand, du plus clair au plus foncé) Ce sont
des relations d’ordre qui permettent d’avancer vers l’ordinalité.
 Les algorithmes : ils sont primordiaux à l’école maternelle : ils construisent
l’opératoire. Or, les apprentissages numériques sont construits sur des lois.
- A la maternelle on travaille déjà les algorithmes répétitifs dans cet ordre : binaire,
quaternaire et ensuite seulement, ternaire.
- Puis plus tard, les algorithmes récursifs : on fait évoluer la période sur un
paramètre.
Attention à l’évaluation des algorithmes : l’enfant est opératoire quand la période
est isolée et mémorisée. Or, sur papier, il peut se contenter de comparer avec ce
qui est déjà fait, il ne sera véritablement opératoire que s’il ne regarde pas ce qui est
avant.
 Approche institutionnelle : Les IO de 85 et 95 esquissent bien les contours du
logico-mathématiques. Ils existent encore en 2008 mais sont moins explicites.
2 La numération : progression
2.1/ De la chaîne chapelet à la chaîne
insécable
2.2/ La chaîne insécable
2.3/ La chaîne sécable
2.4/ La chaîne terminale
2.5/ Mise en œuvre
2.1/ De la chaîne chapelet à
la chaîne insécable
Objectif
Activités
Faire entrer
dans la chaîne
insécable.
Normalement
acquis à 3 ans,
en PS.
Compter à deux (adulte/enfant), frapper
entre les « dire », mettre un mot entre les
nombres
 Utiliser le corps pour faire ralentir et
coordonner : compter ses pas, ses sauts dans
des cerceaux, sur une marelle, ses
mouvements répétés…
Associer le début de chaîne au pointage de
trois puis quatre objets identiques (alignés
régulièrement car l’irrégularité perturbe
l’enchaînement logique)
2.2/ La chaîne insécable
Compétences Activités
Augmenter sa
zone de
stabilité puis
son exactitude
Progressivement, par des exercices de mémorisation, d’imprégnation, de
répétition et avec le support des comptines.
Augmenter sa
conscience
mathématique et
la segmentation.
« Montre-moi jusqu’où tu sais compter. » L’élève commence par un groupe
de souffle ( sur sa zone stable et exacte) puis il égrène les nombres
suivants. En les donnant, il fait de la segmentation. On essaie de lui faire
redire lentement le début de la chaîne pour reproduire cette segmentation
orale.
Dire un nombre fort et un doucement. Puis dire un fort et taire le
suivant (le dire dans sa tête).
Frapper des mains à chaque nombre. Mais attention au problème de
coordination.
On compte à 2 : adulte / enfant. Avec rythme régulier, puis irrégulier.
Puis avec un pair = obliger le sujet à tenir compte du discours de l’autre.
Attention, régulation de l’adulte nécessaire.
Intercaler un mot dans la chaîne : 1 bonbon, 2 bonbons, 3 bonbons…
Passer par le corps : compter c’est faire des pas de 1 = c’est marcher.
Compter ses pas pour aller à un endroit. La mesure n’importe pas. Compter
en sautant dans les cerceaux.
Attention, ce
travail ne
s’effectue que
sur la zone
stable et exacte
de l’élève.
2.2/ La chaîne insécable
Compétences / Capacités
Activités
Capacité à compter jusqu’à n :
1 mémoriser le nombre borne
2 faire remonter la chaîne numérique de la
mémoire à long terme à la mémoire de
travail : la dire
3 comparer au nombre borne chaque
nombre énoncé
Problème cognitif. Il faut l’aider en lui
faisant faire ce travail en regardant la
frise numérique et peu à peu le
contraindre à s’en passer : « Regarde-moi
pendant que tu comptes. »
Capacité à livrer le successeur d’un
nombre
émerge de la capacité précédente
Comme il ne peut pas encore partir de 5,
par exemple (car chaîne insécable) il a
besoin de réciter la chaîne depuis 1, de
s’arrêter à 5 et de réciter 6.
Associer le « mot-nombre oral » à son
écriture chiffrée ou inversement.
Réciter la chaîne numérique en suivant la
frise numérique écrite : faire de la
lecture au doigt : cela permet de poser la
récitation orale.
Capacité à activer les premières
procédures de quantification par
comptage
 Les premiers problèmes de
mathématiques (combien y a-t-il de
canards sur l’image ? )
2.3/ La chaîne sécable
Compétences / Capacités
Activités
Compter à partir de x
Utiliser la frise numérique
affichée pour soutenir
visuellement, structurellement,
le savoir. On l’en détache
progressivement.
La frise numérique affichée :
il faut faire des ruptures et ne
pas toujours la représenter de
façon linéaire continue pour ne
pas scléroser l’apprentissage
autour d’une représentation.
Tout savoir canonique doit être
cassé pour devenir permanent.
On peut la présenter verticale
ou en ligne courbe par exemple.
Compter de x à y
Compter par bond : de 2
en 2, sur les pairs et les
impairs…
Compter à rebours
Livrer le prédécesseur
d’un nombre
2.4/ La chaîne terminale
Compétences / Capacités
Activités
Capacité à circuler librement dans
cette chaîne.
Elle est totalement malléable et
complètement automatisée.
Karen Fuson dit que ce n’est qu’au niveau
de la chaîne terminale que les nombres
peuvent être « le produit d’un
dénombrement. » : qu’on peut dénombrer
des objets qui sont eux-mêmes des
nombres.
Ex compter des jetons de lotos sur
lesquels sont inscrits des nombres. Le
perceptif vient perturber l’opératoire, il
faut inhiber ce qu’on voit pour compter.
Amener à une maîtrise complète de
la chaîne numérique (objectif
majeur).
Meilleures performances en calcul
mental grâce à la gymnastique
mentale au niveau de l’acquisition
de la chaîne numérique
Le comptage par bond se développe : de 2
en 2, de 3 en 3…
Impératif à faire sur tout le cycleII, avec
du pair et de l’impair.
2.5/ Mise en œuvre
 Attention : Travailler sur la zone stable et exacte de chaque élève
(grille)  différenciation
 Vécu  représenté  dit  conçu
Alerte sur l’utilisation des fichiers. Fichiers = danger.
 2 approches complémentaires :
• la chaîne numérique comme objet d’apprentissage : travaillée
pour elle-même lors de séquences d’apprentissage spécifiques
« mathématiques»,
• la chaîne numérique comme outil lors de divers comptages
réalisés au cours du déroulement de la vie de la classe et
permettant l’imprégnation pour faciliter la mémorisation.
 Toutes ces activités demandent beaucoup de concentration et de la
mémorisation donc à faire souvent dans la journée mais pas
longtemps : 4 fois 10 minutes et faire passer quelques enfants à la
fois.
 Attention : passage au CP il faut prendre les enfants où ils en sont,
chacun. On démarre souvent comme s’ils en étaient tous à la chaîne
sécable or c’est faux.
3 LeS PROCedures de
quantification : cadrage
Procédure
Définition
Remarque
Le subitizing ou
aperception
globale
Capacité à reconnaître la quantité sans
comptage.
Ce sont des images mentales
qui se construisent par
expériences successives.
Le dénombrement Procédure de base permettant
ou le comptage
d’évaluer de manière précise des
collections…(dont la taille importe peu).
A TRAVAILLER
L’estimation
globale
Procédure de base permettant
d’évaluer par aperception sans
dénombrement.
Construire l’ordre de grandeur.
Pas de systématique à
développer en maternelle
mais pas inintéressant à
faire dans la vie de classe
sur des objets.
Autres
stratégies de
groupements et
d’opérations
Plus la collection est importante et plus
la difficulté est grande et plus on
développe d’autres stratégies que le
comptage.
Ex : le sur-comptage et
l’addition qui commencent en
maternelle. Puis plus tard, la
multiplication.
La
correspondance
terme à terme
Procédure méthodique permettant de
comparer deux collections sans les
dénombrer.
Elle doit être travaillée
aussi, elle n’est pas
spontanée.
4 LeS PROCedures de
quantification : progression
4.1/ Le subitizing
4.2/ Le dénombrement ou le
comptage
4.3/ Progressivité du
dénombrement
4.4/ L’invariance du nombre
4.5/ Les symboles (chiffres)
4.1/ Le subitizing
 Configurations non figuratives : on ne va pas au-delà de 4.
 Configurations figuratives :
• constellations du dé, organisées spatialement, orientées ou non
• les doubles des dominos
• Les cartes à jouer
 Ce sont des images mentales, elles ne se travaillent pas.
Ce serait forcer les capacités mentales d’un sujet.
 Mais il faut beaucoup les manipuler car ces images
mentales aident à la construction des nombres.
 On joue avec des dés vierges sur lesquels on dessine
plusieurs fois la constellation en apprentissage.
4.2/Le dénombrement ou le comptage
Attention : Travailler sur la zone stable et exacte de chaque élève (grille)  différenciation
Vécu (manipulé) représenté  dit  conçu
Compétences / Capacités Activités
Coordonner le geste, l’œil et la parole.
Domaine cognitif. L’adulte prend en charge une partie de
la tâche : « Tu montres et je dis » puis l’inverse. Il s’agit
de freiner. Compter en faisant déplacer les objets pour
ralentir le débit oral et synchroniser.
Déplacer mentalement la frontière
entre les objets déjà comptés et ceux
qui n’y sont pas encore.
On fait d’abord déplacer physiquement les objets. On ne
travaille surtout pas sur fiche. Il faut créer cette
frontière : objets à déplacer, à mettre dans la boîte…
L’élève qui a acquis cette capacité à « séparer » pourra
alors seulement développer des stratégies sur fiche en
barrant ou entourant les objets comptés.
Se déplacer sur une piste de jeux avec les points du dé :
les petits chevaux, jeu de l’oie…
Donner le dernier mot-nombre cité
comme le cardinal de la collection
(C’est une convention : double statut
du dernier : le dernier objet et la
totalité de la collection). => passage à
une abstraction supérieure
Lors de comptages divers : marquer la bande numérique
avec la pince à linge sur le dernier nombre donné.
On peut changer la tonalité de ce dernier mot nombre
quand on compte, il faut aider à sentir ce statut spécial.
Convention => confiance dans l’adulte.
4.3/ Progressivité du dénombrement
Toujours commencer par disposition
spatiale aidante :
la ligne (disposition canonique)
Progressivement, il faut casser cette
disposition pour qu’elle devienne un concept :
la colonne, l’oblique, la combinaison de
plusieurs dispositions.
On peut faire varier le sens de dénombrement pour installer la notion
de conservation du nombre, mais on ne la travaille pas précisément. Elle
viendra avec le « autant ».
Progressivement varier la nature des objets :
collection d’objets différents,
collections hétérogènes par la couleur,
collections hétérogènes par la taille
Aide : l’adulte donne l’attribut commun qui
permet de compter ensemble.
Varier l’organisation de l’espace.
4.4/ L’INVARIANCE DU NOMBRE
 Conservation du nombre = savoir que le changement de disposition
ou de l’espace occupé par la collection ne modifie pas le cardinal.
Savoir que l’ordre de dénombrement n’influe pas sur le cardinal.
 Travaux de Pierre GRECO : l’invariance du nombre n’est pas utile au
numérique immédiatement : au CE2 encore beaucoup d’enfants ne
sont pas « conservants » mais ça ne les gêne pas dans leurs
apprentissages.
 En effet, le nombre porte deux valeurs : la quotité et la quantité.
- La quotité c’est la capacité à répondre à « Combien ? ». C’est ce
concept premier qui est actif.
- La conservation ne concerne que la quantité, elle est moins
souvent activée : c’est la capacité à dire s’il y en a « autant ».
 Quand on travaille le numérique, on favorise l’accès à la
conservation mais celle-ci ayant plutôt rapport avec le
développemental des images mentales, elle ne se travaille pas
directement, il faut attendre que le sujet soit apte à l’intégrer.
4.5/ Les symboles (chiffres)
 Associer le « mot-nombre oral » à son écriture chiffrée et à la quantité
désignée.
 Apprentissage de la symbolique écrite. Elle se fait en graphisme, lors des
mêmes séances que les lettres. Tenter d’éviter les inversions d’axe vertical.
 A ce jour, personne ne sait remédier aux inversions de chiffre, même les
orthophonistes. Elles disparaissent souvent sans qu’on sache comment.
L’inversion est toujours d’axe vertical. Question d’orientation spatiale.
 On peut prévenir en donnant l’image mentale de la symbolique :
• Donner des étiquettes pour la zone stable et exacte
• Laisser la bande de référence toujours sur la table, au-dessus de sa
ligne d’écriture (pas à côté)
• Faire travailler par imprégnation et éloigner progressivement le travail
du modèle : la bande est en haut de la table, les étiquettes sont à
mettre en bas de la table.