Transcript Numération entière du cycle 2 à la sixième

NUMERATION
AU CYCLE 3
Bruno Canivenc, IUFM, Université d’Aix-Marseille
PLAN
1) Numération entière du cycle 2 à la classe de
sixième
2) Numération fractionnaire et décimale du
cycle 3 à la classe de sixième
3) Conséquences sur les progressions annuelles
1) Numération entière
du cycle 2 à la classe de sixième
Numération entière du cycle 2 à la sixième
• L’essentiel de la numération entière est construit de la GS
au CM2, le collège devra consolider les acquis et
introduire quelques autres écritures (2,3 millions en
sixième; puissances de 10 et écriture scientifique en
quatrième pour les petits et les grands nombres)
• Évaluations : des lacunes dans la compréhension de la
valeur des chiffres dans un nombre et dans la maîtrise des
grands nombres pour un nombre significatif d’élèves
Numération entière du cycle 2 à la sixième
• Rôle déterminant du cycle 2 dans la construction de la
notion de dizaine, centaine, millier d’unités
• Importance de la manipulation effective de matériel
de numération pour percevoir la dizaine comme un
regroupement de dix unités et comme un tout (idem
pour la centaine) et de la verbalisation pour atteindre
l’abstraction.
• Regroupement et échange sont complémentaires
• Importance de la frise numérique linéaire et du
tableau avec des lignes de dizaines pour s’approprier
l’ordre et la régularité dans l’écriture des nombres
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Numération entière du cycle 2 à la sixième
• L’importance de la reconnaissance immédiate est bien
connue pour les premiers nombres et souvent travaillée
à partir des doigts, de la constellation du dé et parfois
d’autres matériels (cartes à 10, boîte de Picbille…)
• La reconnaissance immédiate de paquets de 10 ou
de deux paires de mains(je vois 3 paquets de 10 ou 3
paires de mains, on me montre donc 30) est souvent
moins systématisée, elle est pourtant une aide précieuse
pour reconnaître 35 sans dénombrer les 35 éléments
présentés, pour peu qu’on entraîne par ailleurs la
récitation de la suite à partir de n et de 10 en 10
Numération entière du cycle 2 à la sixième
• Difficultés dans l’écriture des dizaines 70, 80 et 90
atténuées par l’introduction simultanée des
dizaines 60 et 70 d’une part, 80 et 90 d’autre part.
• Penser aussi à l’utilisation des cartons du type de
ceux utilisés dans la pédagogie Montessori : carrés
des unités, rectangles des dizaines, rectangles plus
grands des centaines, etc… qui se placent l’un sur
l’autre pour ne pas « perdre » le 0 de la dizaine
quand on écrit 64 à partir de 60 et 4, il est
seulement caché !
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Numération entière du cycle 2 à la sixième
Rien ne justifie l’importance accordée dans
les manuels et dans les évaluations de classe à
la question : « quel est le nombre de dizaines
dans 325? »
L’énorme difficulté de vocabulaire plaide
pour utiliser longtemps une formulation du
type : « combien y a-t-il de paquets de 10? »
ou « combien y a-t-il de dizaines en tout? ».
Relations arithmétiques entre nombres
Les programmes énoncent trois types de relations différentes mais
complémentaires :
• double, moitié ou demi, triple, quart : ces expressions ne sont pas forcément
reliées aux fractions. En effet, elles font appel à des relations fondamentales entre
les nombres qui doivent être connues : la moitié de 30 est 15 ; le quart de 80 est 20 ;
•
relations entre des nombres d’usage courant : les décompositions additives
et multiplicatives des nombres 100, 1 000 doivent faire l’objet d’une attention
particulière. Par exemple : 100 = 20 × 5 ; 100 = 4 × 25 ; 100 = 10 × 10 ; 100 = 75 +
25 ; 100 = 50 + 50 ; ≪ 25 est le quart de 100 ≫ ; 100 : 4 = 25
•
la notion de multiple : peut être abordée dès le CE2. Elle permet de mettre en
évidence une caractéristique de certains nombres (par exemple, ≪ dans 30, il y a 6
fois le nombre 5 ≫). Le travail sur la division dépend de la qualité de cet
apprentissage, bien différent de l’étude de critères de divisibilité qui ne sont pas
exigibles.
Les grands nombres
Voir deux extraits du document
« Ressources pour faire la classe,
Le nombre au cycle 3 »
- Lien entre les unités avec la collection
d’étoiles organisée dans l’espace, page 17
- Plusieurs techniques de dénombrement
d’une collection organisée avec du matériel
de numération, page 20
Les grands nombres
La contextualisation des grands nombres dans des
domaines disciplinaires divers est indispensable :
•
les longueurs : distance Paris/New York : 5 828 km (environ 6 000 km),
distance Paris/Sydney : 16 970 km, distance moyenne Terre/Lune : 384 400 km,
distance moyenne Terre/Soleil : 149 600 000 km ;
•
les aires : superficie de la France : 551 695 km2 (soit 551 695 millions de m2,
ou 551 695 000 000 m2), superficie du Portugal : 91 950 km2 ;
•
les masses : masse de déchets électriques, en France, en 2007 : 172 800 tonnes
•
le temps : apparition des algues : il y a 450 000 000 d’années, apparition des
plantes à fleurs : il y a 120 000 000 d’années, nombre de secondes en une semaine :
604 800 secondes ;
•
la monnaie : prix d’un avion (exemple de l’Airbus A380… à ce jour) :
218 385 000 euros, montant du Smic..
• mais aussi en géographie : population de Marseille, de la France, de
l’Union Européenne, de la Terre
Numération entière du cycle 2 à la sixième
Repères pour la progressivité des apprentissages
CP
CE1
Connaître (savoir écrire et nommer)
les nombres entiers naturels
inférieurs à 100
Produire et reconnaître les
décompositions additives des
nombres inférieurs à 20
Écrire une suite de nombres dans
l’ordre croissant ou décroissant
Connaître (savoir écrire et nommer)
les nombres entiers naturels
inférieurs à 1 000
Repérer et placer ces nombres sur
une droite graduée, les comparer,
les ranger, les encadrer
Écrire ou dire des suites de
nombres de 10 en 10, de 100 en
100, etc.
Numération entière du cycle 2 à la sixième
Repères pour la progressivité des apprentissages
CE2
CM1
Les nombres entiers jusqu’au million
Les nombres entiers jusqu’au milliard
Connaître, savoir écrire et nommer
les nombres entiers jusqu’au
million
Comparer, ranger, encadrer ces
nombres
Connaître et utiliser des
expressions telles que : double,
moitié ou demi, triple, quart
Connaître et utiliser certaines
relations : entre 5, 10, 25, 50, 100,
entre 15, 30 et 60
Connaître, savoir écrire et nommer
les nombres entiers jusqu’au
milliard
Comparer, ranger, encadrer ces
nombres
La notion de multiple : reconnaître
les multiples des nombres d’usage
courant : 5,10, 15, 20, 25, 50
Numération entière du cycle 2 à la sixième
-
Le programme de la classe de sixième, dans la partie » Nombres
et Calculs » détaille les capacités suivantes:
Connaître et utiliser la valeur des chiffres en fonction de leur rang
dans l’écriture d’un entier ou d’un décimal
Associer diverses désignations d’un nombre décimal : écriture à
virgule, fractions décimales
Comparer deux nombres entiers ou décimaux, ranger une liste de
nombres
Encadrer un nombre, intercaler un nombre entre deux autres
Placer un nombre sur une demi-droite graduée
Lire l’abscisse d’un point ou en donner un encadrement
Donner une valeur approchée décimale d’un décimal à l’unité, au
dixième, au centième près.
Numération entière du cycle 2 à la sixième
Le programme de sixième précise en commentaires :
- l’objectif est d’assurer une bonne compréhension de la
valeur des chiffres en fonction du rang qu’ils occupent
dans l’écriture à virgule, sans refaire tout le travail réalisé à
l’école élémentaire
- La bonne compréhension s’appuie sur le sens et non sur les
procédures
- Les procédures utilisées pour comparer, encadrer,
intercaler des nombres sont justifiées en s’appuyant sur la
signification des écritures décimales ou le placement des
points sur une demi-droite graduée
2) Numération fractionnaire et
décimale du cycle 3 à la classe
de sixième
a) continuité cycle 3 / sixième
b) quelle introduction au CM1?
c) quelle étude au CM2?
d) calcul avec les décimaux
a) Continuité du cycle 3 à la classe de sixième
• Programmes du cycle 3 et du collège conçus et
écrits dans une vraie continuité pour l ’étude de
la numération fractionnaire et décimale
• Choix déjà fait depuis plusieurs programmes est
réaffirmé : le nombre décimal se construit mieux
sur le long terme s ’il est introduit à partir des
fractions décimales (mais cette construction est
difficile et longue !)
a) Continuité du cycle 3 à la classe de sixième
Extrait du document d ’accompagnement « Nombres »
du programme de collège :
« A l ’école primaire, les fractions sont introduites en
vue d ’aider à la compréhension des nombres
décimaux : des fractions simples sont d’abord
utilisées (dénominateurs 2, 4 ou 5), mais ce sont les
fractions décimales qui sont véritablement visées
de façon à pouvoir interpréter, par exemple 2,405
comme 2  4  5 ou 2  405 »
10 1000
1000
a) Continuité du cycle 3 à la classe de sixième
« Dans ce but, les fractions sont définies en référence au
partage de l ’unité, soit dans des situations de mesure
(longueurs, aires…) soit dans des situations de repérage
de points sur une ligne graduée régulièrement. Une
fraction comme 7 évoque ce qui est obtenu en
4
partageant l ’unité en 4 parts égales et en reportant
7 de ces parts, ce qui correspond d ’ailleurs à la lecture
« sept quarts ». 7 c ’est 7 fois le quart de l ’unité. »
4
a) Continuité du cycle 3 à la classe de sixième
« Au collège, dès la classe de sixième, l ’écriture
7
fractionnaire prend une autre signification :
4
c ’est le quart de 7 (donc représentée en reportant 7
fois l ’unité, puis en partageant ce qui est obtenu en
4 parts égales) et c ’est aussi le nombre qui,
multiplié par 4 donne 7 (4 x 7 = 7 ) .
4
L ’équivalence entre ces deux significations (7 fois
un quart et le quart de 7) ne va pas de soi…et doit
faire l ’objet de justifications en sixième... »
a) Continuité du cycle 3 à la classe de sixième
Des capacités du programme de sixième :
- connaître et utiliser la valeur des chiffres en fonction de
leur rang dans l ’écriture d ’un entier ou d ’un décimal ;
- associer diverses désignations d ’un nombre décimal :
écriture à virgule, fractions décimales ;
- comparer des nombres entiers ou décimaux, ranger une
liste de nombres ;
- encadrer un nombre, intercaler un nombre entre deux
autres ;
- placer un nombre sur une demi-droite graduée ;
- lire l ’abscisse d ’un point ou en donner un encadrement
b) Quelle introduction au CM1?
• La première question à se poser est :
Qu’est-ce qui va permettre à des élèves de 9 ou 10
ans de comprendre que cette écriture fractionnaire
mystérieuse correspond à un nombre?
• Pour le moment, les seuls nombres connus sont les
nombres entiers et on a rencontré les demis et les
quarts en apprenant à lire l ’heure.
• De nouveaux objets mathématiques (fractions au CM1,
radicaux en quatrième…) prennent lentement le statut
de nombres…mais comment?
b) Quelle introduction au CM1?
Ces nouveaux objets acquerront progressivement
le statut de nombre. Il faudra comprendre des
propriétés qui permettent de les caractériser, en
rupture ou en continuité avec les nombres connus
et en abordant les pôles suivants :
- utilité dans des situations de mesure
b) Quelle introduction au CM1?
Ces nouveaux objets acquerront progressivement
le statut de nombre. Il faudra comprendre des
propriétés qui permettent de les caractériser, en
rupture ou en continuité avec les nombres connus
et en abordant les pôles suivants :
- utilité dans des situations de mesure
- utilité pour se repérer sur une droite
b) Quelle introduction au CM1?
Ces nouveaux objets acquerront progressivement
le statut de nombre. Il faudra comprendre des
propriétés qui permettent de les caractériser, en
rupture ou en continuité avec les nombres connus
et en abordant les pôles suivants : :
- utilité dans des situations de mesure
- utilité pour se repérer sur une droite
- possibilité de les comparer entre eux et avec les
nombres déjà connus
b) Quelle introduction au CM1?
Ces nouveaux objets acquerront progressivement
le statut de nombre. Il faudra comprendre des
propriétés qui permettent de les caractériser, en
rupture ou en continuité avec les nombres connus
et en abordant les pôles suivants :
- utilité dans des situations de mesure
- utilité pour se repérer sur une droite
- possibilité de les comparer entre eux et avec les
nombres déjà connus
- possibilité d ’effectuer des calculs
b) Quelle introduction au CM1?
D ’où la progression proposée :
• introduction à partir de partage en parts égales de
disques, rectangles…
• utilisation d ’une bandelette unité (de longueur 7cm
par exemple) pour mesurer la longueur de segments
1
3
1
u ou 1u  u ou 2u  2 u
4
2
• exercices de comparaisons, de classements de
segments en fonction de leur longueur
• découverte de la possibilité d ’écritures différentes de
3
1
la même mesure, par exemple 1u  u et u
2
2
b) Quelle introduction au CM1?
• transport de la bandelette-unité marquée avec les plis
(quarts, demis) sur une droite que l’on gradue et sur
laquelle on va commencer à lire l’abscisse de points et
à placer des points d’abscisse donnée et se familiariser
avec le fait que 4 correspond au même point que 1,
4
8
que
correspond au même point que 2...
4
• rencontre éventuelle avec les tiers et les neuvièmes, au
moins sur la droite graduée
• reprise d ’un travail de mesure de longueurs avec une
bandelette-unité partagée en 10 parts égales, de
comparaisons et classements, graduation d’une droite
b) Quelle introduction au CM1?
• introduction souhaitable des centièmes, toujours à
partir de mesure de longueurs,
• puis graduation d ’une droite à l ’aide de dixièmes
et centièmes, lecture d ’abscisses de points,
placement de points
• introduction du grand carré unité partagé en 100
carrés. Chaque petit carré représente 1 , chaque
10
1 100
ligne représente à la fois 100 et
.
10
• familiarisation avec le codage sur ce carré des
23
fractions inférieures à 1 ( 100
)puis supérieures à 1
b) Quelle introduction au CM1?
b) Quelle introduction au CM1?
• ce support, permettant de coder toutes les
fractions, inférieures ou supérieures à 1(avec un
carré unité ou plusieurs carrés unités), sera utilisé
pour décomposer des écritures comme :
123
23
 1
100
100
mais aussi
123
2
3
 1 
100
10 100
• on introduira alors la convention d’écriture avec la
virgule, écriture commode inventée au 17ème
siècle : 123  1  2  3 peut aussi s ’écrire 1,23 qui
100
10 100
se lit « 1unité et 23 centièmes » ou « 1 unité 2
dixièmes et 3 centièmes » ou « 1 virgule 23 ».
b) Quelle introduction au CM1?
C’est le carré unité qui sera le support pour comparer
3
27
et et permettre le passage de l ’écriture
10
100
fractionnaire à l ’écriture à virgule. Pour écrire
257
avec l ’écriture à virgule
, je colorie d ’abord 200
100
petits carrés, donc je remplis complètement 2 grands
carrés unités et aussi 5 lignes (donc 5 dixièmes ) et 7
petits carrés (donc 7 centièmes). Ce nombre s ’écrit
donc aussi: 2,57. Un affichage permanent montrera un
exemple de passage d ’une écriture à l ’autre (dans les
deux sens)
b) Quelle introduction au CM1?
• une fois l ’écriture à virgule introduite, on va
prolonger le tableau de la numération entière en
1
1
rajoutant les colonnes 10 et 100 (et on ne pourra se
contenter d ’écrire en lettres « dixièmes » et
« centièmes », l ’écriture fractionnaire est indispensable
longtemps)
• et on va à nouveau reprendre la droite graduée pour
12
7
travailler le lien entre 1,2 et
, entre 0,7 et
, entre
10
10
20
2 et
. Même chose avec les centièmes
10
• il reste à comparer et ranger des nombres en écriture à
virgule, en se limitant à des nombres au même format
c) Quelle étude au CM2?
• On ne répète pas l’étude du CM1, on reprend
l ’étude en proposant des exercices sur la droite
graduée avec des nombres en écriture fractionnaire
ou à virgule, on reprend les grands carrés unités de
100 carreaux pour le passage d’une écriture à
l’autre, on poursuit les comparaisons et les
rangements de nombres au même format, on dicte
des nombres lors des séances de calcul mental
• On introduit les millièmes et les dix-millièmes.
On prolonge encore le tableau de la numération et
on reprend les mêmes types d ’exercices que ceux
faits avec les dixièmes et les centièmes
c) Quelle étude au CM2?
• On va consolider des capacités autour de la
décomposition d ’un nombre en écriture fractionnaire
sous la forme de la somme d ’un entier et d’une
fraction inférieure à 1et poursuivre la systématisation
du passage d ’une écriture à une autre, l ’encadrement
d ’une fraction entre deux entiers consécutifs,
l ’addition de fractions de même dénominateur
• On va poursuivre le travail sur la droite graduée, les
comparaisons et rangements de nombres décimaux et
on décomposera un nombre décimal sous la forme :
23,475 = 2x10 + 3x1 + 4x0,1 + 7x0,01 + 5x0,001
d) Calcul avec les décimaux
• Le programme de l’école élémentaire n’est pas très
raisonnable et semble privilégier le travail de la technique
au détriment d’un travail préalable sur le sens de
l’opération et la compréhension de la technique
• La multiplication de décimaux ainsi que la division
décimale d’entiers et la division d’un décimal par un
entier sont massivement échouées à l’entrée en sixième et
sont reprises en classe de sixième, tant pour le sens que
pour la technique
• La division de deux décimaux n’est enseignée qu’en
classe de cinquième.
3) Conséquences sur
les progressions annuelles
3) Conséquences sur les progressions
annuelles
• Les acquisitions sur la numération entière sont
lentes et progressives pour de nombreux élèves :
laissons-leur le temps nécessaire . Il est difficile en
sixième de revenir sur ces apprentissages maîtrisés
par la grande majorité des élèves alors que le
programme fait la part belle aux écritures
fractionnaires et à virgule.
• Le calcul mental apporte une aide précieuse pour
les apprentissages de numération et donne
l’occasion de les entretenir
3) Conséquences sur les progressions annuelles en
numération au CM1 et au CM2
• les apprentissages en numération sont nombreux et
nécessitent beaucoup de temps
• les apprentissages en calcul sont nombreux au CM1:
- addition et soustraction de deux décimaux,
- multiplication d ’un décimal par un entier,
- division décimale de deux entiers (!)
• il faut laisser du temps pour tous ces apprentissages
(numération et calcul), d ’où la nécessité de débuter
l ’étude des fractions tôt dans l ’année
3) Conséquences sur les progressions annuelles en
numération au CM1 et au CM2
• Il s’agit donc de ne pas traiter toute la numération entière
avant d ’aborder la numération fractionnaire et décimale.
Il est inutile de savoir lire et écrire un grand nombre tel
que 20 030 051 007 pour comprendre ce qu’est un
dixième…
• Au CM1, à la rentrée, réactiver et consolider des
capacités autour de la compréhension de la valeur des
chiffres dans l ’écriture d ’un nombre, comparer des
entiers et dès octobre/novembre, aborder les fractions.
• Double but : prendre du temps pour enseigner fractions
et décimaux et en avoir pour le calcul en fin d’année
3) Conséquences sur les progressions annuelles en
numération au CM1 et au CM2
• Bloc « numération entière » fractionnée en trois
parties, dont une en fin d ’année, une fois les
décimaux introduits
• Penser à entretenir les capacités acquises en
numération entière quand on traite la numération
fractionnaire ou décimale et vice-versa : le calcul
mental est un bon moyen !
3) Conséquences sur les progressions annuelles en
numération au CM1 et au CM2
• Les nombres connus sont les nombres entiers,
fractionnaires et décimaux : on reprend leur étude
dès le début de l ’année, sans « organiser » l ’oubli
du travail fait par les collègues de CM1et on alterne
des temps de travail autour de la numération entière
et des temps, plus nombreux, autour de la
numération fractionnaire et décimale.
• Pendant tout le CM2, on continue de travailler
l ’articulation écriture fractionnaire/écriture à virgule
qui sera encore au cœur de la progression de la
classe de sixième
En guise de conclusion...
En guise de conclusion…(1)
• Les compétences en numération se construisent
durablement à plusieurs conditions :
- les élèves comprennent le système d ’écriture
- les nombres sont des outils pour résoudre des
problèmes
-on effectue des calculs avec les nombres et, en
particulier, du calcul mental
• Il y a interaction entre la construction des
compétences en calcul mental et des compétences en
numération
En guise de conclusion…(1)
• Les compétences en numération se construisent
durablement à plusieurs conditions :
- les élèves comprennent le système d ’écriture
- les nombres sont des outils pour résoudre des
problèmes
-on effectue des calculs avec les nombres
• Il y a interaction entre la construction des
compétences en calcul mental et des compétences en
numération
En guise de conclusion…(2)
• Le programme de la classe de sixième n’a pas accru
les exigences en calcul : il revient longuement sur la
multiplication de deux décimaux, dont seule la
technique est à peu près maîtrisée (et encore…),
mais que la majorité des élèves sont incapables
d ’utiliser en situation de résolution de problème. Il
revient longuement sur la division décimale de
deux entiers et d ’un décimal par un entier. Ces
deux opérations sont en cours d ’acquisition en fin
de CM2
• Ce n’est qu’en cinquième qu’est abordée la division
de deux décimaux.
En guise de conclusion…(3)
• Le programme de la classe de sixième consacre encore
beaucoup de temps aux capacités étudiées au CM1 et
au CM2 sur la décomposition canonique d ’un nombre,
sur le passage d ’une écriture à l’autre, sur la graduation
d’une droite, sur la comparaison de décimaux. Il
considère que « donner une valeur approchée au
dixième, au centième… d’un décimal » n’est pas une
compétence exigible du socle commun en fin d’année.
Le message est clair :
privilégier la compréhension !
Éléments bibliographiques
• « Le nombre au cycle 3 », MEN 2013
• « Le nombre au cycle 2 », MEN 2011
• Noirfalise et Matheron : « Enseigner les
mathématiques à l ’école primaire, tome 2 »,
Vuibert 2009
• « Activités numériques au cycle 3», Outils pour
les cycles, Sceren 2001. Idem au cycle 2
• Les collections Cap Maths, Pour comprendre les
maths, Euro Maths et toujours Ermel …
• Le programme de la classe de sixième……