Transcript Teoría

Cálculo de Áreas
Áreas de regiones comprendidas entre la gráfica de
una función y el eje X.
Área encerrada entre dos curvas.
Integración respecto a la variable y.
Área de un círculo de radio r.
Integración/Primeras aplicaciones/Áreas
Área encerrada por una gráfica y el eje X
La figura de la derecha muestra la
aproximación (escogiendo el punto medio)
del área encerrada por la función f y el eje
X. La Suma de Riemann correspondiente
será la suma de las áreas de todos los
rectángulos de la figura.
b
La integral
 f  x  dx
es el área de:
a
la región comprendida entre la función
f, y el eje x en el intervalo [a,b].
Ejemplo
El área de la región
representada en amarillo, es decir la
comprendida entre la gráfica del seno, y
el eje X en el intervalo [0,π] será:


 sen  x  dx   cos  x     1   1  2.
0
0
Integración/Primeras aplicaciones/Áreas
Funciones que toman valores positivos y
En esta parte, con la fórmula
negativos.
anterior, nos daría una zona
b
de área negativa.
La fórmula  f  x  dx
para el cálculo del
área solo es válida si la función es
positiva en el intervalo [a,b].
a
Si la función f toma valores negativos,
el área encerrada entre la gráfica y el
eje x en el intervalo [a,b], se calculará
por medio de la integral:
El área de las regiones
comprendidas entre las
funciones f(x) y el eje x, y |f(x)|
y el eje x son las mismas.
b
Área =
 f  x  dx
a
Ejemplo
2

0
El área encerrada entre la gráfica del seno y el eje x en
el intervalo [0,2π] será:

sen  x  dx   sen  x  dx 
0
2
  sen  x  dx  4.
Integración/Primeras aplicaciones/Áreas
Área encerrada entre dos curvas
El área encerrada por las gráficas de
las funciones f(x) y g(x) en a ≤ x ≤ b
viene dada por la integral:
b
Área =
 f  x   g  x  dx.
a
Ejemplo
El área de la región comprendida entre las gráficas
del seno y del coseno en π/4 ≤ x ≤ 5π/4 será
5 4


cos  x   sen  x  dx 
4
5 4
  sen  x   cos  x   dx
4
   cos  x   sen  x  
5 4
 4


 2   2  2 2.
Integración/Primeras aplicaciones/Áreas
Nota: sen(x) ≥ cos(x) si
π/4 ≤ x ≤ 5π/4.
Integración respecto a la variable y
Ejemplo
Hallar el área comprendida entre
el eje X y las gráficas de las funciones
y = x-2 y
y
x.
Nota: Se trata de una simplificación
técnica para ver estas funciones como
funciones de y en lugar de x.
Entonces las ecuaciones de las
funciones serán x = y + 2 y x = y2.
Integrando respecto a y en vez
de x es posible calcular el área
a través de una integral y no de
dos.
El área en cuestión es ahora el área entre las gráficas de estas
funciones de y para 0 ≤ y ≤ 2. El área es por lo tanto,
2

0

2
y  2  y 2 dy 

y  2  y 2 dy 
0
Áreas
10
3
.
Área de un círculo de radio r.
La ecuación de una circunferencia de
radio r es:
x2 + y2 = r2.
Por tanto el área encerrada por la función:
y  r 2  x2
para –r  x  r será la del semicírculo
superior de la figura.
–r
r
El área del semicírculo será por tanto: A 

r 2  x 2 dx.
r
r
A

r
2
r
x
r 2  x 2 dx   r 1    dx. Con el cambio de variable:
r
x = ru, dx = rdu:
r
r
Ar
r
2
1
x
1    dx  r 2  1  u2 du.
r
1
Integración/Primeras aplicaciones/Áreas
r
Área de un círculo de radio r (2)
El área del semicírculo de radio r será
por tanto:
2
r
1
x
1    dx  r 2  1  u2 du.
r
1
Ar
r
–r
r
Como la función del integrando es par:
Ar
2
1

2
1  u du  2r
1
2
1

1  u2 du.
0
Con el cambio de Variable: u =sen(v) se obtiene:
1

0
 2
1  u2 du 

0
 2
cos2 v dv 

0
 2
cos2v  1
1  sen2v

dv  
v
2
2 2
0
Respuesta El Área de un círculo de radio r será: 2 A  4r
2
1

0
Integración/Primeras aplicaciones/Áreas


4
.
1  u2 du  r 2 .
Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:
Félix Alonso
Gerardo Rodríguez
Agustín de la Villa