Transcript Teoría
Cálculo de Áreas
Áreas de regiones comprendidas entre la gráfica de
una función y el eje X.
Área encerrada entre dos curvas.
Integración respecto a la variable y.
Área de un círculo de radio r.
Integración/Primeras aplicaciones/Áreas
Área encerrada por una gráfica y el eje X
La figura de la derecha muestra la
aproximación (escogiendo el punto medio)
del área encerrada por la función f y el eje
X. La Suma de Riemann correspondiente
será la suma de las áreas de todos los
rectángulos de la figura.
b
La integral
f x dx
es el área de:
a
la región comprendida entre la función
f, y el eje x en el intervalo [a,b].
Ejemplo
El área de la región
representada en amarillo, es decir la
comprendida entre la gráfica del seno, y
el eje X en el intervalo [0,π] será:
sen x dx cos x 1 1 2.
0
0
Integración/Primeras aplicaciones/Áreas
Funciones que toman valores positivos y
En esta parte, con la fórmula
negativos.
anterior, nos daría una zona
b
de área negativa.
La fórmula f x dx
para el cálculo del
área solo es válida si la función es
positiva en el intervalo [a,b].
a
Si la función f toma valores negativos,
el área encerrada entre la gráfica y el
eje x en el intervalo [a,b], se calculará
por medio de la integral:
El área de las regiones
comprendidas entre las
funciones f(x) y el eje x, y |f(x)|
y el eje x son las mismas.
b
Área =
f x dx
a
Ejemplo
2
0
El área encerrada entre la gráfica del seno y el eje x en
el intervalo [0,2π] será:
sen x dx sen x dx
0
2
sen x dx 4.
Integración/Primeras aplicaciones/Áreas
Área encerrada entre dos curvas
El área encerrada por las gráficas de
las funciones f(x) y g(x) en a ≤ x ≤ b
viene dada por la integral:
b
Área =
f x g x dx.
a
Ejemplo
El área de la región comprendida entre las gráficas
del seno y del coseno en π/4 ≤ x ≤ 5π/4 será
5 4
cos x sen x dx
4
5 4
sen x cos x dx
4
cos x sen x
5 4
4
2 2 2 2.
Integración/Primeras aplicaciones/Áreas
Nota: sen(x) ≥ cos(x) si
π/4 ≤ x ≤ 5π/4.
Integración respecto a la variable y
Ejemplo
Hallar el área comprendida entre
el eje X y las gráficas de las funciones
y = x-2 y
y
x.
Nota: Se trata de una simplificación
técnica para ver estas funciones como
funciones de y en lugar de x.
Entonces las ecuaciones de las
funciones serán x = y + 2 y x = y2.
Integrando respecto a y en vez
de x es posible calcular el área
a través de una integral y no de
dos.
El área en cuestión es ahora el área entre las gráficas de estas
funciones de y para 0 ≤ y ≤ 2. El área es por lo tanto,
2
0
2
y 2 y 2 dy
y 2 y 2 dy
0
Áreas
10
3
.
Área de un círculo de radio r.
La ecuación de una circunferencia de
radio r es:
x2 + y2 = r2.
Por tanto el área encerrada por la función:
y r 2 x2
para –r x r será la del semicírculo
superior de la figura.
–r
r
El área del semicírculo será por tanto: A
r 2 x 2 dx.
r
r
A
r
2
r
x
r 2 x 2 dx r 1 dx. Con el cambio de variable:
r
x = ru, dx = rdu:
r
r
Ar
r
2
1
x
1 dx r 2 1 u2 du.
r
1
Integración/Primeras aplicaciones/Áreas
r
Área de un círculo de radio r (2)
El área del semicírculo de radio r será
por tanto:
2
r
1
x
1 dx r 2 1 u2 du.
r
1
Ar
r
–r
r
Como la función del integrando es par:
Ar
2
1
2
1 u du 2r
1
2
1
1 u2 du.
0
Con el cambio de Variable: u =sen(v) se obtiene:
1
0
2
1 u2 du
0
2
cos2 v dv
0
2
cos2v 1
1 sen2v
dv
v
2
2 2
0
Respuesta El Área de un círculo de radio r será: 2 A 4r
2
1
0
Integración/Primeras aplicaciones/Áreas
4
.
1 u2 du r 2 .
Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:
Félix Alonso
Gerardo Rodríguez
Agustín de la Villa