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FUNCIÓN SENO
(1º BACHILLERATO CIENCIAS DE LA
NATURALEZA Y DE LA SALUD/TECNOLOGÍA)

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Definición. Dominio y Conjunto Imagen.
Periodicidad.
Acotación. Continuidad.
Intervalos crecimiento/decrecimiento.
Máximos y mínimos.
Gráfica.
Ejercicios.


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DEFINICIÓN
La FUNCIÓN SENO es la aplicación que hace corresponder
a cada número real x, el seno del ángulo que mide x radianes

DOMINIO

f(x) = sen x
P(ax,bx)

bx

Teniendo en cuenta que sen x = r y que
r  0 , se verifica que sen xR xR.
Por tanto

Dom f = R

O

x
r

CONJUNTO IMAGEN
La ordenada del punto P , bx, debe verificar
-r  bx  r
1
Multiplicando por
todos los miembros de
 r bx r
r
la desigualdad obtenemos


  1  sen x  1
Por tanto

r

r

r

Imf = [-1, 1]

INICIO


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PERIODICIDAD
Los ángulos “x” y “x + 2” tienen sus lados sobre las
Q(ax+2,bx+2)
mismas semirrectas.
P(ax,bx)
Se verifica
bx = bx+2
x
Entonces
bx
b x2
O
r
sen x =
=
= sen(x+2) xR
x+2
r
r
Por tanto

la función seno es
periódica de periodo 2
Este resultado nos permite hacer el estudio de la función en el
intervalo [0, 2] y generalizar las conclusiones obtenidas a
todos los intervalos de amplitud 2

INICIO


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ACOTACIÓN
Hemos visto anteriormente que -1  sen x  1
Por tanto

la función seno está
acotada inferior y
superiormente

P(axo, bxo)
Q(ax,bx)
x
x o
O
r

CONTINUIDAD
sen xo R ,  xo  R
lim sen x  lim

x  xo

Por tanto

x  xo

bx
r



b xo
r

 sen x o

la función seno es continua en R
INICIO


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INTERVALOS DE
CRECIMIENTO/DECRECIMIENTO
En el primer cuadrante:
x < y  bx < by 

bx
r

by

Q(ay, by)
P(ax,bx)
x y
O
r


 sen x < sen y
r

La función es creciente
en el intervalo [0,/2]

P(ax,bx)
Q(ay,by)
y
x
O
r

En el segundo cuadrante:

x < y  bx > by 

bx
r



by

 sen x > sen y

r

La función es decreciente
en el intervalo [/2, ]


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En el tercer cuadrante:
x < y  bx > by 

bx
r



by

 sen x > sen y

r

La función es decreciente
en el intervalo [,3/2]

r

P(ax,bx)
Q(ay,by)

En el cuarto cuadrante:

x

y O

y x
O

r
Q(ay,by)
P(ax,bx)

x < y  bx < by 

 sen x < sen y

La función es creciente en
el intervalo [3/2, 2]

bx
r

INICIO



by
r




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MÁXIMOS Y MÍNIMOS
• Por ser la función seno creciente en [ 0,  ], decreciente en [  , ]
2
2

y continua en
, la función seno alcanza un máximo en el punto
2


x=

en el que toma el valor 1

2

•Por ser la función seno decreciente en [ ,
[

3

, 2 ] y continua en

2

el punto x =
Por tanto,

3
2

3

3

], creciente en

2

, la función seno alcanza un mínimo en

2

en el que toma el valor -1

la función seno presenta un
máximo en el punto (/2,1) y
un mínimo en el punto (3/2,-1)
INICIO


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GRÁFICA
Teniendo en cuenta el estudio realizado en el intervalo [0, 2], y
calculando algún valor auxiliar:

x
0


2


3

sen x
0

3

1
0

0

0


2

-1

2

2

1

-1



2

2


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Habíamos visto que la función seno es periódica, de periodo
2, por tanto, no tenemos más que repetir la gráfica anterior
en intervalos de amplitud 2

1


-2



3

-



3

2

2

0


2

2



2 5 

3

7
2

2

-1

INICIO

4


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EJERCICIOS
A partir de la gráfica de la función SENO representar
gráficamente las funciones:
1)
2)
3)
4)

g(x) = sen x + 1
Si quieres ver la solución pincha aquí:

SOLUCIÓN

h(x) = sen (x+1)
Si quieres ver la solución pincha aquí:

SOLUCIÓN

p(x) = sen x 
Si quieres ver la solución pincha aquí:

SOLUCIÓN

q(x) = sen x 
Si quieres ver la solución pincha aquí:

SOLUCIÓN

INICIO


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EJERCICIO 1
Teniendo en cuenta que para cada valor de “x” la función
“g” toma como valor una unidad más que la función
SENO, la gráfica quedará “desplazada hacia arriba” una
unidad
f(x) = sen x

2

g(x) = sen x + 1

1


-2  3 -



3

7

2

2

2

0

2


2

-1



2 5
2

3


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EJERCICIO 2
Teniendo en cuenta que para cada valor de “x-1” la función
“h” toma el mismo valor que la función SENO en “x”, la
gráfica quedará “desplazada hacia la izquierda” una unidad
f(x) = sen x
h(x) = sen (x+1)

1

 -1

-1
0


2

-1

1

2 -1


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EJERCICIO 3
sen x si sen x  0
Teniendo en cuenta que p(x) =|sen x|=
-sen x si sen x < 0
para los valores de “x” en los que la función SENO toma
valores positivos, su gráfica coincide con la de “p”; Para los
valores de “x” en que la función SENO toma valores negativos,
la gráfica de “p” es simétrica de ella respecto del eje OX
1

-

-2




2

f(x) = sen x
p(x) = sen x

|

|

0


2



3
2

2

3

4


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EJERCICIO 4

sen x
si x  0
Teniendo en cuenta que q(x) = sen|x|=
sen(-x) = - sen x si x < 0
para valores positivos de “x” la función SENO toma los mismos
valores que la función “q”, por tanto sus gráficas coinciden en
estos puntos; para valores negativos de “x” las dos funciones
toman valores opuestos.
f(x) = sen x
q(x) = sen x

1

-2

-





||

0


2

2

-1



3
2

2

3

4