Transcript ECUACIONES DE FRESNEL Ó p t

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i
c
a
ECUACIONES DE FRESNEL
Estos problemas proceden de cuadernillos y exámenes de años anteriores.
Las soluciones presentadas aquí se basan en los enunciados resueltos por
los profesores de la sede central Carmen Carreras y Manuel Yuste
1
PROBLEMA 1 (CUADERNILLO 2002-2003, 1º P). Ecuaciones de Fresnel.
Un rayo láser, de intensidad I0 = 0.1 W/cm2, incide perpendicularmente sobre una de las paredes laterales de
una cubeta paralelepipédica de vidrio transparente. Después de atravesarla sale por la pared opuesta con la
intensidad I. Admitiendo por simplicidad que sólo se produce una reflexión en cada una de las caras de las
paredes de la cubeta (es decir, despreciando las múltiples reflexiones internas), se pide:
1. Determinar el índice de refracción nv del vidrio respecto del aire
(índice del aire na = 1), sabiendo que el valor de la intensidad
luminosa de salida con la cubeta vacía es I = 0.08493 W/cm2.
1
2
3
4
Ó
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2. Si se rellena la cubeta con un líquido de índice de refracción nl <
nv, la intensidad de salida vale I = 0.09208 W/cm2. Halle nl.
3. Si se rellena la cubeta con un líquido de índice de refracción nl >
nv, la intensidad de salida vale I = 0.09163 W/cm2. Halle nl.
Factor de reflexión en
incidencia nomal: ver
demostración aquí
4. Determine I cuando el índice de refracción del líquido coincide con el del vidrio.
1. El rayo entra perpendicularmente, por lo tanto el factor de reflexión cada vez que atraviesa una interfase es:
 n  1
R  R1  R2  R3  R4   v 
 nv  1 
2
pues inicialmente la cubeta está vacía y todas las interfases son vidrio/aire
0.08493
I4
4
 1  R  
0.1
I0
Intensidades
I1  I 0 1  R 
1
I0
2
I1
3
I2
4
I3
I 2  I1 1  R   I 0 1  R 
2
I4
I 3  I 2 1  R   I 0 1  R 
R  1  0.84931/ 4
3
I 4  I 3 1  R   I 0 1  R 
4
nv 
 n  1
 0.0400   v 
 nv  1 
1.2
 1.50
0.8
2
2
PROBLEMA 1 (CUADERNILLO 2002-2003, 1º P). Ecuaciones de Fresnel.
2. Si se rellena la cubeta con un líquido de índice de refracción nl < nv, la
intensidad de salida vale I = 0.09208 W/cm2. Halle nl.
(iguales al caso anterior ya que las
interfases 1 y 4 son aire/vidrio)
2
1
I0
2
I1
nl
3
 n  1
En este caso los coeficientes de reflexión son: R  R1  R4   v   0.0400
 nv  1 
2
n n 
Rl  R2  R3   v l 
(interfases líquido/vidrio)
 nv  nl 
4
I2
I3
I4
I1  I 0 1  R 
I 2  I11  Rl   I 0 1  R 1  Rl 
I 3  I 2 1  Rl   I 0 1  R 1  Rl 
I 4  I 3 1  R   I 0 1  R  1  Rl 
Intensidades
nv  1.50
2
I4
0.09208
2
2
 1  R  1  Rl  
I0
0.1
Rl  1 
0.9208
 4.34 104
2
1  0.04
2
nl 
2
1  Rl
nv  1.439
1  Rl
3. Si se rellena la cubeta con un líquido de índice de refracción nl >
nv, la intensidad de salida vale I = 0.09163 W/cm2. Halle nl.
En caso de que el índice de refracción del líquido y del vidrio sean iguales, el razonamiento es el mismo que
en el apartado anterior, con la única salvedad siguiente: cuando se haya de despejar nl a partir de Rl, debe
utilizarse el signo negativo de la raíz cuadrada, pues en caso contrario no se cumple la condición nl > nv .
I 4  I 3 1  R   I 0 1  R  1  Rl 
2
n n 
Rl  R2  R3   v l 
 nv  nl 
2
2
I4
0.09163
2
2
 1  R  1  Rl  
I0
0.1
nv  nl
  Rl
nv  nl
Tomamos el signo negativo
nl 
Rl  1 
0.9163
 2.88 103
2
1  0.04
1  Rl
nv  1.670
1  Rl
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PROBLEMA 1 (CUADERNILLO 2002-2003, 1º P). Ecuaciones de Fresnel.
4. Determine I cuando el índice de refracción del líquido coincide con el del vidrio.
2
1
I0
2
I1
nl
 n  1
Coeficientes de reflexión para nl = nv: R  R1  R4   v   0.0400
 nv  1 
3
I2
nv  1.50
2
n n 
Rl  R2  R3   v l   0
 nv  nl 
4
I3
I4
Intensidad
I 4  I 3 1  R   I 0 1  R  1  Rl   I 0 1  R 
2
2
2
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I  I 4  I 0 1  R   0.11  0.04  0.09216 W cm-2
2
2
4
PROBLEMA 2 (EX. 1º P, FEBRERO 97, 2ª VUELTA). Ley de Snell y ecuaciones de Fresnel.
nl
Un haz de luz de intensidad I0 incide sobre un prisma en ángulo recto de vidrio
flint denso (n = 1.72 respecto al aire) como se indica en la figura. El haz está
polarizado linealmente en la dirección perpendicular al plano de incidencia.
n
2
1
Sobre la superficie horizontal del prisma hay un líquido de índice
de refracción nl respecto al aire que se quiere determinar. Se pide:
3
I0
90º
1. Encontrar la expresión de la intensidad I emergente por la cara 3, en función de los factores
de reflexión en las caras 1, 2 y 3, que dependen de los índices de refracción n y nl.
2. Sabiendo que I/I0 = 0.127, determinar el índice de refracción nl del líquido.
3. Si la superficie superior del prisma estuviese en contacto directo con el aire, calcular I/I0.
I
Factor de reflexión en
incidencia normal: ver
demostración aquí.
1. Encontrar la expresión de la intensidad I emergente por la cara 3, en función de los factores
de reflexión en las caras 1, 2 y 3, que dependen de los índices de refracción n y nl.
La luz incidente sobre la cara 1 se reflejará y transmitirá en primer lugar en la cara 2;
pero hay que tener en cuenta que cada vez que la luz alcanza una interfase se produce
reflexión y refracción, de modo que en las tres caras 1, 2 y 3 habrá que considerar el
efecto de las reflexiones múltiples sobre la intensidad que finalmente emerge de la
cara 3.
Coeficientes de reflexión:
R2  R2
 sin i  r  

 
 sin i  r  
 n 1
R1  R3  R  

 n 1
2
2
 sin i cos r  cos i sin r   cos r  sin r 

 

 sin i cos r  cos i sin r   cos r  sin r 
2
R2  R2
2
n
i
1
3
90º
 n  1   1.72  1 
R
 
  0.0701
 n  1   1.72  1 
2
(Incidencia normal)
r
nl
2
2
(puesto que i = 45º  sin i = cos i)
(Nótese que el ángulo r no es conocido por el momento, ya que depende del índice de refracción del líquido,
desconocido por ahora, que tendremos que determinar)
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PROBLEMA 2 (EX. 1º P, FEBRERO 97, 2ª VUELTA). Ley de Snell y ecuaciones de Fresnel.
Luz que entra al prisma: estudio de las reflexiones múltiples.
Los coeficientes de reflexión de interés son R (cada vez que hay una reflexión en la cara 1 o en la 3) y R2 (cada
vez que hay una reflexión en la cara 2).
2
2
 n 1
R

 n 1
 cos r  sin r 
R2  

 cos r  sin r 
La intensidad que, procedente de múltiples reflexiones, sale finalmente por la cara 3 se puede obtener
siguiendo el esquema siguiente.
La intensidad luminosa que sale de la cara 3 tras
las múltiples reflexiones producidas es la suma:
2
2

2
2
3
2
4
5
2
2
4
I 0 1  R R R
3
I 0 1  R RR22

I 0 1  R R R
I0
I  I 0 1  R R2 1  RR2   RR2   ...
2
I 0 1  R 
1
I  I 0 1  R R2  I 0 1  R R R  I 0 1  R R R  ...
2
Este término es una serie geométrica de razón RR 2 
2
2
2
I 0 1  R R 3 R24
2
I 0 1  R RR2
2
I 0 1  R R 4 R25
I 0 1  R R2
I 0 1  R R 4 R24
R 1  R 
I  I0 2
2
1  RR2 
3
2
2
I 0 1  R R 2 R23
2
3
 n 1
R

 n 1
5
2
I 0 1  R R 2 R23
El primer término es a1 = 1 y la razón r es menor que la unidad,
por tanto la suma de los infinitos términos de la serie es:
a
1
S 1 
1  r 1  RR2 2
Intensidad que
emerge por la
cara 3:
I 0 1  R R R
4
I 0 1  R R2
2
2
 cos r  sin r 
R2  

 cos r  sin r 
2
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PROBLEMA 2 (EX. 1º P, FEBRERO 97, 2ª VUELTA). Ley de Snell y ecuaciones de Fresnel.
2. Sabiendo que I/I0 = 0.127, determinar el índice de refracción nl del líquido.
R 1  R 
I  I0 2
2
1  RR2 
2
R2 1  0.0701
 0.127
2
1  0.0701R2 
R2 1  R 
I

 0.127
2
I0
1  RR2 
2
 n  1   1.72  1 
R
 
  0.0701
 n  1   1.72  1 
2
2
 cos r  sin r 
R2  

 cos r  sin r 
2
R2 
6.24 104 R22  0.8647 R2  0.127  0
cos r  sin r
  0.1469  0.3832
cos r  sin r
Caso 1. Se acerca a la normal: obtenemos r y aplicamos ley de Snell
tan r 
0.6168
 0.4195
1.3832
0.1469
Valor aceptado
 0.1469
Respecto al ángulo r hay dos posibilidades: que al
salir el rayo transmitido por la cara 2 se acerque a
la normal, cuando (cos r – sin r) > 0, o bien se
aleje de la normal, cuando (cos r – sin r) < 0.
cos r  sin r  0.3832 cos r  0.3832 sin r
0.6168 cos r  1.3832 sin r
2
Un índice tan elevado es poco realizta
r  24.03º
nl  1.72
sin 45
 2.99
sin 24.03
r  65.97º
nl  1.72
sin 45
 1.332
sin 65.97
Caso 2. Se aleja de la normal: obtenemos r y aplicamos ley de Snell
cos r  sin r  0.3832 cos r  0.3832 sin r
1.3832 cos r  0.6168 sin r
tan r 
1.3832
 2.2425
0.6168
3. Si la superficie superior del prisma estuviese en contacto directo con el aire, calcular I/I0.
Véase que el ángulo de incidencia de 45º es superior al ángulo límite para n = 1.72, por lo que R2 =
1
2
2
2
1  R 2  1  R  1  0.0701  0.869
I 1  R 
R2 1  R 

1  R


I  I0
I  I0
2
1  R 1  R  1  R 1  0.0701
I0 1 R2
1 R2
1  RR2 
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PROBLEMA 3 (EX. FEB 03, 2ª V)
Utilización de las ecuaciones de Fresnel para determinar el índice de refracción de un líquido
Se dispone de dos cubetas semicilíndricas, de paredes transparentes y
adosadas como se indica en la figura.
I0
En ellas hay sendos líquidos de índices de refracción respecto del aire
n1 y n2. Sobre la cubeta 1 incide radialmente un rayo láser polarizado
linealmente y de intensidad I0 = 0.1 W/cm2.
1

2
O

Cuando el rayo está polarizado paralelamente al plano de incidencia, la
intensidad IA // medida por el fotómetro A es mínima para  = 50.96º. Se pide:
Fotómetro B
1. Determine la relación entre los índices de refracción n = n2/n1.
Fotómetro A
2. Si la intensidad IB // medida por el fotómetro B es 0.0748 W/cm2, determine n1 y
n 2.
3. Determine I A e I B para el mismo valor de  cuando el láser está polarizado perpendicularmente
al plano de incidencia.
Nota. Desprecie los efectos debidos a las paredes de las cubetas y considere una sola reflexión en los pasos
de la luz a través de las superficies de separación líquido-líquido y líquido-aire. Use cuatro cifras decimales
para los cálculos numéricos.
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PROBLEMA 3 (EX. FEB 03, 2ª V)
Factor de reflexión en
incidencia normal: ver
demostración aquí.
1. Determine la relación entre los índices de refracción n = n2/n1.
Considerando en todos los casos una sola reflexión, según el enunciado, veamos cuanta luz llega al fotómetro.
(Recordemos que el rayo incidente está polarizado paralelamente al plano de incidencia)
Del aire a la cubeta 1: el rayo I0 incide normalmente a
 n1  1 


R

1
la superficie, por lo tanto el coeficiente de reflexión es
n

1
 1 
I0
1
O
La intensidad del
rayo I1 será pues
I1  I 0 1  R1 
2
Reflexión en el punto O: El ángulo de incidencia es ,
 tg     Ó
R// (O)  

el de refracción es ; el coeficiente de reflexión será:
 tg     p
2
I1

2
Intensidad reflejada Ir:
I r  I1R// (O)  I 0 1  R1  R// (O)
t
i
c
a

De la cubeta 1 al aire tenemos el rayo IA (incidencia normal)
Ir
I A  I r 1  R1   I 0 1  R1  R// (O)
2
IA
Fotómetro A
(Las ecuaciones de Fresnel son reversibles, el coeficiente de reflexión del medio 1 al aire es el mismo que si el rayo va a la inversa)
Puesto que el coeficiente de reflexión R1 (el que corresponde a incidencia normal) es constante,
la intensidad del rayo IA será mínima si R//(O) es mínima  R//(O) es mínima si  +  = 90º
Es decir, R//(O) se anula cuando el ángulo de incidencia  es el ángulo de Brewster. Entonces  = 90 -  = 39.04º
La relación entre los índices de refracción n = n2/n1 se obtiene aplicando la ley de Snell
n1 sen  n2 sen 
n
sen 
sen 
n2 sen 


 tg  1.2331

n1 sen  sen 90    cos
9
PROBLEMA 3 (EX. FEB 03, 2ª V)
2. Si la intensidad IB // medida por el fotómetro B es 0.0748 W/cm2, determine n1 y
n2.
Ii  I1
I cos t
El factor de transmisión de la luz
T t
En nuestro caso
1  R
que se refracta se expresa como
I i cos i
R  R// (O)
i  incidente
t  refractado (transmitido)
I0
1
I t cos 
 1  R// (O)
I i cos
I t  I1 1  R// (O) 
O

It
Ir
I1  I 0 1  R1 
cos
cos
 I 0 1  R1 
cos 
cos 
=0
IB
Fotómetro B
n12  2n1  1 n12  2n1  1  n12  2n1  1
 n1  1 

  1 
1  R1  1  
2
n

1


n1  12
n

1
 1 
1
2
n22  2n2  1 n22  2n2  1  n22  2n2  1
 n2  1 

  1 
1  R2  1  
2
n

1


n2  12
n

1
 2 
2
n2 sen 

n1 sen 
se obtiene
2
(incidencia normal)
2
De la relación n 
 n  1
R2   2 
 n2  1 
Intensidad que alcanza el fotómetro B: I B  I 0 1  R1 
IA
Fotómetro A
t  
Recordemos que en las condiciones propuestas en el enunciado R// (O)  0
2
I1

T
i  
1  R2 
cos
1  R2 
cos 
1  R1 
4n1
n1  12
4n2
4n n1

2
n2  1 n n1  12
1 n1 sen  cos cos


 
n n2 sen  sen  cos 
(ya que  = 90-)
10
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PROBLEMA 3 (EX. FEB 03, 2ª V)
cos
1  R2 
cos 
4n1
1  R1 
n1  12
4n2
4n n1
1  R2 

n2  12 n n1  12
I B  I 0 1  R1 
1 cos

n cos 
16n12
IB
2
 
I0
n1  12 n n1  12
I
4n1
4n n1
IB  0
n n1  12 n n1  12
 n1  1n n1  1  4n1
4n1
n1  1n n1  1
 n n12  n1  n n1  1  4n1
 n n12  n  1 - 4 n1    0
n12 
n  1 - 4 n
n
IB
0.0748

 0.86487
I0
0 .1
Valores numéricos:  

Resolvemos la ecuación de 2º grado en n1: n12  1.9397n1  0,8110  0
1
1
 0
n
Ó
p
t
n1  0.610
i
n1  1.330
c
n2  1.2331 n1  1.640
a
n  1.2331
3. Determine I A e I B para el mismo valor de  cuando el láser está polarizado perpendicularmente
al plano de incidencia.
I A  I r 1  R1   I 0 1  R1  R// (O)
2
Recordemos del apartado 1 que la intensidad que alcanza el fotómetro A es:
Siguiendo el mismo razonamiento, la intensidad en el fotómetro A cuando la
luz está polarizada perpendicularmente al plano de incidencia será:
I A  I 0 1  R1  R (O)
2
 sen     
R (O)  
  sen 2    
 sen     
2
I A  I 0 1  R1  R (O)  4.1 10
2
3
W cm
-2
(ya que  +  = 90º)
11
PROBLEMA 3 (EX. FEB 03, 2ª V)
I1  I 0 1  R1 
Fotómetro B
El factor de transmisión de la luz
que se refracta se expresa como
I cos t
T t
1  R
I i cos i
i  incidente
t  refractado (transmitido)
I t  I1 1  R (O) 
En nuestro caso
T
Ii  I1
i    50.96º
R  R (O)
t    39.04º
I t cos 
 1  R (O)
I i cos
cos
cos
 I 0 1  R1 1  R (O) 
cos 
cos 
R(O)  sen 2     Ó
p
t
i
c
a
Intensidad que alcanza el fotómetro B
I B  I 0 1  R1 1  R (O) 1  R2 
I0
1
2
I1

Ir
IA
Fotómetro A
O
 n  1
R1   1 
 n1  1 

It
2
cos
= 0.0716 W cm-2
cos 
 n  1
R2   2 
 n2  1 
2
IB
Fotómetro B
12
ANEXO. COEFICIENTES DE REFLEXIÓN EN INCIDENCIA NORMAL
Coeficiente de reflexión perpendicular
 seni  r  
R  

 seni  r  
n1
Coeficiente de reflexión perpendicular
 tgi  r  
R//  



tg
i

r


2
n1 sen i  n2 sen r
Ley de Snell
2
Volver Problema 1
Volver Problema 2
 sen i cos r  cos i sen r 
R  

 sen i cos r  cos i sen r 
n2
2
Volver Problema 3
 sen i  n1 / n2 sen i 
 sen i cos r  cos i sen r 

Cuando la incidencia es normal: R  lim
  lim
i 0  sen i  n / n sen i 
i 0  sen i cos r  cos i sen r 

1
2
r 0
2

sen i  n1 / n2 sen i 

R   lim
 i 0 sen i  n1 / n2 sen i 
2
n n 
R   2 1 
 n2  n1 
2
2
Cuando i  0 y r  0, el seno y la tangente tienden al mismo límite
 seni  r    n2  n1 
 tgi  r  

  
R//  lim
  lim
i 0  seni  r  
i 0  tgi  r  
n

n
 2 1
r 0
r 0
2
2
2
En incidencia normal
n n 
R  R//   2 1 
 n2  n1 
2
13
Ó
p
t
i
c
a