Transcript Problemas resueltos

Problemas resueltos de la
Regla de la Cadena
Problemas resueltos de la regla de la cadena
Problemas
1
Si f(x) = e-x
hallar f’.
2
Si f(x) = sen(cos(x)) hallar f’.
3
Si f(x) = (x3 + 2x2 + x + 1)5 hallar f’.
4
Si f(x) = 1  x s e n  x.  hallar f’.
5
Si f(x) = sen2(x2) hallar f’.
Problemas resueltos de la regla de la cadena
Reglas a utilizar
Derivada de la
constante
D(constante) = 0
1
D x p  px p 1
Regla de identidad
D x   1
Derivada de una
constante por una
función
2
D(sen x) = cos x
D(c f) = c D(f)
3
D(cos x) = –sen x
Derivada de la suma
D f  g  D f   Dg
4
D  tan x  
Derivada del
producto
D fg  D f  g fDg
D(ex) = ex
Derivada del
cociente
 f  gD  f   fD  g
D  
g2
 g
5
Regla de la
cadena
D(f(g(x)) = f’(g(x))g’(x)
 
1
cos2 x
¡Deben
saberse de
memoria!
Problemas resueltos de la regla de la cadena
Regla de la cadena
Problema
Si f(x) = e-x hallar f’.
Solución
Mediante la regla de la cadena D(e-x) = e-x D(–x) = –e-x.
x
También se puede hallar por la derivada del cociente e 
1
.
ex
Obtenemos
 
D e
x
Conclusión
 
x
x
ex
1
 1  e D 1  D e
x
 D x  






e
2
2
ex
e 
ex
ex
 
 
f´(x) = –e-x.
Problemas resueltos de
Diferenciabilidad/Reglas
Problemas
de diferenciabilidad/La
resueltos de la regla
regla
de de
la cadena
la cadena por M. Seppälä
Regla de la cadena
Problema
Solución
Conclusión
Si f(x) = sen(cos(x)) hallar f’.
Mediante la regla de la cadena
D(sen(cos(x))) = cos(cos(x)) Dcos(x) = -sen x cos(cos( x )).
f´(x) = -sen x cos(cos( x )).
Problemas resueltos de
Diferenciabilidad/Reglas
Problemas
de diferenciabilidad/La
resueltos de la regla
regla
de de
la cadena
la cadena por M. Seppälä
Regla de la cadena
Si f(x) = (x3 + 2x2 + x + 1)5 hallar f’.
Problema
Solución
Si se opera el paréntesis y se deriva se obtendría
f´(x) = 15x14+140x13+585x12+1500x11+2750x10+3920x9+
4500x8+4240x7+3325x6+2160x5+1155x4+500x3+165x2+40x+5.
Llegamos a una respuesta poco simplificada por lo que es mejor
utilizar la regla de la cadena y dar la respuesta factorizada.
f´(x) = 5 (x3 + 2x2 + x + 1)4 D(x3 + 2x2 + x + 1)
= 5 (x3 + 2x2 + x + 1)4 (3x2 + 4x + 1).
Conclusión
f´(x) = 5 (x3 + 2x2 + x + 1)4 (3x2 + 4x + 1).
Problemas resueltos de la regla de la cadena
Regla de la cadena
Problema
Si f(x) = 1  x s e n  x.  hallar f’.
Solución
Mediante la regla de la cadena:
f  x  
D


w  D w 


 
1
2
1 12 1
1
 w

.
2
2 w
Conclusión
1
2 1  x s en x
1
D 1  x s e n x 
Aquí
aplicamos la
derivada de
una potencia:
1
2
w w .
Después
utilizamos la

D 1  D  x s e n x  

derivada del
2 1  x s en x
producto
1

 D  x  s e n x  x D s e n x 

2 1  x s en x
s e n x  x cos x

.
2 1  x s en x
f  x   
s e n x  x cos x
2 1  x s en x
.
Problemas resueltos de la regla de la cadena
Regla de la cadena
Problema
Si f(x) = sen2(x2) hallar f’.
Solución
Utilizamos dos veces la regla de la cadena:
D(sen2(x2)) = 2sen(x2)D(sen(x2))
= 2sen(x2)cos(x2)D(x2)
= 2sen(x2)cos(x2)2x = 4x sen(x2) cos(x2)
Conclusión
f´(x) = 4x sen(x2) cos(x2).
Problemas resueltos de la regla de la cadena
Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:
Félix Alonso
Gerardo Rodríguez
Agustín de la Villa