Transcript Integración por partes

Integración por Partes
Integración por partes
Derivada de un Producto
La integración por partes es consecuencia de la regla de la derivada de un producto:
d
(f( x ) g( x )  f '( x ) g( x )  f( x ) g'( x ).
dx
Esto implica que
f( x )g'( x ) 
d
(f( x )g( x ))  f '( x )g( x ).
dx
Integramos ambos lados de la igualdad:
d
f(
x
)g'(
x
)
dx


 dx  f( x )g( x )  dx   f '( x )g( x )dx
es decir se obtiene
 f( x )g'( x )dx  f( x )g( x )   f '( x )g( x )dx.
Fórmula
 udv  uv   vdu,
donde dv  g  x  dx, u  f  x  , du  f   x  dx.
Integración por partes
Integración por Partes
Fórmula
 udv  uv   vdu
La idea es utilizar esta fórmula para simplificar el cálculo de primitivas.
Debemos elegir u y dv de tal forma que la función vdu es más fácil
de integrar que la original udv.
Ejemplo
Tenemos
 x s e n( x )dx.
Escogemos u  x. Entonces
dv  s e n( x )dx, v   cos( x ) y du  dx.
 x s e n( x )dx   x cos( x )   (  cos( x ))dx   x cos( x )   cos( x )dx
  x cos( x )  s e n( x )  C.
En este ejemplo con estas elecciones, vdu = -cos(x)dx, que es muy
fácil de integrar. La elección u=sen(x) nos hubiera llevado a una
integral mucho más complicada.
Integración por partes
Ejemplos (1)
Fórmula
 udv  uv   vdu
Ejemplo
2
x
 cos( x )dx.
Escogemos u  x 2. Entonces dv  cos( x )dx, v  s e n( x ), du  2xdx.
2
2
2
x
cos(
x
)
dx

x
s
e
n(
x
)

s
e
n(
x
)2
xdx

x
s e n( x )  2  x s e n( x )dx


Repetimos la integracion por partes para  x s e n( x )dx como en el ejemplo anterior.
Obtenemos
 x s e n( x )dx   x cos( x )  s e n( x )  C.
Por lo tanto
2
2
x
cos(
x
)
dx

x
s e n( x )  2   x cos( x )  s e n( x )  C 

 x 2 s e n( x )  2 x cos( x )  2s e n( x )  C.
Integración por partes
Ejemplos (2)
Fórmula
 udv  uv   vdu
Ejemplo
2
s
e
n
x dx.

Escogemos u  s e n( x ), du  cos( x )dx, dv  s e n( x )dx, v   cos( x ).
2
s
e
n
( x )dx   cos( x )s e n( x )     cos( x )  cos( x )dx

  cos( x )s e n( x )   cos2 ( x )dx
 s e n ( x )dx   cos( x )s e n( x )   (1 s e n ( x ))dx 
 s e n ( x )dx   cos( x )s e n( x )   dx   s e n ( x )dx
2
2
2
2
2 s e n2 ( x )dx   cos( x )s e n( x )  x  C ' 
1
x
2
s
e
n
(
x
)
dx


cos(
x
)s
e
n(
x
)

C

2
2
Integración por partes
En este caso la
integración no se
simplifica con la
integración por partes.
Pero obtenemos, una
ecuación y al
resolverla hallamos la
integral.
Ejemplos (3)
Fórmula
 udv  uv   vdu
Ejemplo
 arcs e n x dx.
Escogemos u  arcs e n( x ), du 
 arcs e n  x  dx  x arcs e n  x   
Para
xdx

xdx
1 x 2
dx
1 x
xdx
2
, dv  dx, v  x.
1 x 2
hacemos el cambio de variable t  1  x 2, dt  2 xdx.
1 dt
2


t

C


1

x
 C. Esto implica
 1 x 2 2  t
En este caso la función a
2
 arcs e n( x )dx  x arcs e n( x )   1  x  C integrar no es un producto. Por
ello ha podido ser más
 x arcs e n( x )  1  x 2  C
complicada la elección de dv.



Integración por partes
Ejemplos (4)
Fórmula
 udv  uv   vdu
Ejemplo
Escogemos u  s e n( x), du  cos  x  dx, dv  ex dx, v  ex .
1
 senxe
x
x
s
e
n
x
e
dx.



dx  s e n  x  e x   cos  x  e x dx
Repetimos la integracion por partes para  cos  x  ex dx.
Escogemos u  cos  x  , du   s e n  x  dx, dv  e x dx,v  e x .
 2  cos  x  e x dx  cos  x  e x     s e n  x   e x dx
1   2   sen  x  ex dx  sen  x  ex  cos  x  e x   s e n  x  e x dx 
2 sen  x  e x dx  sen  x  e x  cos  x  e x  C ' 
1
1
C'
sen  x  e x  cos  x  e x  C. Donde C  .
2
2
2
En este caso es importante escoger dv correctamente en la
segunda integración por partes. La otra elección nos conduce a la
ecuación 0=0 que no es muy útil.
x
sen
x
e
dx 



Integración por partes
Integrales Definidas
b
b
b
a
a
 udv  uv    vdu  u  b  v  b   u a v a    vdu
Fórmula
b
a
a
La fórmula de la integración por partes y el Teorema Fundamental
del Cálculo nos conducen a esta fórmula para la integración por
partes para integrales definidas. Supondremos que tanto las
funciones u y v como sus respectivas derivadas son continuas.
1
2
Ejemplo
 arcs e n  x  dx
Escogemos u  arcs e n  x  . Entonces
0
dx
dv  dx, v  x y du 
1
2
1 x
1
2
 arcs e n  x  dx  x arcs e n  x 0  
1
2
0
0
2
.
xdx
1 x 2
Para calcular la última integral debemos hacer el cambio de
variable t = x2.
Integración por partes
Integrales Definidas
b
b
b
a
a
 udv  uv    vdu  u  b  v  b   u a v a    vdu
Fórmula
b
a
a
Ejemplo
Por los cálculos anteriores obtuvimos
1
2
1
2
 arcs e n  x  dx  x arcs e n  x 0  
1
2
0
0
1
2

xdx
1 x 2

arcs en  12 
2
1
2

0
xdx
1 x 2
xdx
mediante el cambio de variable t  1  x 2, dt  23xdx.
2
3
1
4
2
4
0 1 x
xdx
dt
3
2 3




t




1



1
3
0 1 x 2 1 2 t

2
2
x  0  t 1y x   t 
1
2
4
Calculamos
Si sustituimos obtenemos el resultado
1
2
 arcs e n  x  dx 
0
arcs e n  12 
2

2 3  2 3


2
12
2
Integración por partes
Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:
Félix Alonso
Gerardo Rodríguez
Agustín de la Villa