Transcript Dr. Humberto Ochoa

LECTURA 2
Señales y Sistemas
Instructor: Humberto de J. Ochoa Domínguez
Universidad Autónoma de Ciudad Juárez
[email protected]
TRANS ………… QUEEEEE?
f(t) =
c os
( 2*pi*10*t
)
1
0.5
0
-0.5
-1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
t (s eg)
f(t) =
c os
( 2*pi*20*t
)
1
0.5
0
-0.5
-1
0
0.05
0.1
0.15
t
f(t) =
c os
0.2
0.25
0.3
0.25
0.3
(s eg)
( 2*pi*30*t
)
1
0.5
0
-0.5
-1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
t
(s eg)
TRANS ………… QUEEEEE?
Existen muchas transformaciones las cuales se utilizan para obtener
información que no esta disponible en el tiempo. La transformación
mas popular es la de Fourier.
Magnitud de la transformada de Fourier de la suma de las tres funciones
anteriores
Magnitud de la TF
150
100
50
0
0
20
40
60
80
Hertz
TRANS ………… QUEEEEE?
1
0.5
0
-0.5
-1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
t (seg)
200
150
100
50
0
0
20
40
60
80
100
Hetz
PERO CUIDADO, SI ENCUENTRAS UNA SENAL ASI, ALEJALA
DE FOURIER INMEDIATAMENTE Y CUENTASELO A QUIEN
MAS SEPA DE TRANSFORMACIONES.
Funciones periódicas
f(t) = sen( 2*pi*10*t )
f(t) = cos ( 2*pi*10*t )
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
-1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
t (seg)
f (t )  f (t  nT )
Para n= 0,1,2…..
T
es el periodo
Para señales seno o coseno
f (t )  f (t  n2 )
Esto es
0.3
t (seg)
cos(t )  cos(t  (5)2 )
O sea que la amplitud se repite cada 360º
Funciones pares e impares
Función par
Función impar f (t )   f (t )
f (t )  f (t )
f(t) = sen( 2*pi*10*t )
f(t) = cos ( 2*pi*10*t )
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
-1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
t (seg)
Ejemplo
f (t )  t
0.25
0.3
t (seg)
Ejemplo
f (t )  t 3
2
f (t )  (t )  t
2
f (t )  f (t )
f (t )  (t ) 3  (t )(t )(t )  t 3
f (t )  t 3
 f (t )   f (t )
Funciones pares e impares
De acuerdo con lo anterior una señal par y una impar pueden ser
expresadas de la siguiente forma.
f p (t ) 
1
 f (t )  f (t )
2
f I (t ) 
1
 f (t )  f (t )
2
Por lo tanto, cualquier señal, sea par, impar o incluso que no pertenezca
a ninguno de estos dos grupos, puede ser expresada en forma de suma
de una señal par y una impar.
f p (t )  f I (t ) 
1
 f (t )  f (t )  1  f (t )  f (t )  f (t )
2
2
Entonces
f (t )  f p (t )  f I (t )
Producto punto y ortogonalidad
Producto punto

f (t ), g (t )   f (t ) g (t )dt

Ortogonalidad
f (t ), g (t )  0
f (t ), f (t )  A
g (t ), f (t )  0
g (t ), g (t )  A
Producto punto y ortogonalidad
f (t )  cos(t );
Asumimos:
g (t )  sin(t )
Sabemos que:

  cos(t )dt  0


  sin(t )dt  0
de igual manera

Entonces:




1

 12 cos(2t )dt  
2


f (t ), f (t )   cos(t ) cos(t )dt   cos (t )dt 
De igual forma
g (t ), g (t )  
2
Producto punto y ortogonalidad
Luego tenemos

f (t ), g (t )   cos(t ) sin(t )dt  0

f (t ), g (t ) 
 sin(t  t )  sin(t  t )dt  0

1
2 
También

g (t ), f (t )   sin(t ) cos(t )dt  0

f (t ), g (t ) 
 sin(t  t )  sin(t  t )dt  0

1
2 
Producto punto y ortogonalidad
Quiere decir que yo puedo definir
g (t )  cos(t )  j sin(t )
f (t ), g (t )   f (t )cos(t )  j sin(t )dt


También

F ( )  f (t ), g (t )   f (t )e  jt dt

La T. F. es compleja, o sea
es de la forma de a+jb
Lo que da como resultado la transformada de Fourier. Este producto interno
descompone la señal f(t) en senos y cosenos. Dicho de otra forma, la ortogonalidad de la transformada permite detectar el contenido frecuencial de la
Senal f(t).
El operador J en la
transformada de Fourier
A( )  0  j
A( )  tan1 ( 10 )  tan1 () 

2
 900
Pero como la parte REAL y la parte IMAGINARIA de la señal pueden tomar
cualquier valor esto nos sirve para conocer el ángulo de fase o arranque de
la señal
Se dice que el conjunto de funciones sen(n x / L) para n = 1,2,3,…. es
un conjunto de funciones ortogonal en el ontervalo (0, L) . O sea:
(m  n) t
(m  n) t 

sen
sen
L

m t
n t
L
L
L
f (t ), g (t )   sen
sen
dt  

 0
0
L
L
  2( m  n )
2(m  n) 

0
L
La norma cuadrada es cuando las dos funciones son iguales
L
f (t ), f (t )  f (t )   sen2
2
0
L 
m t
2m t 
L
dt   12 1  cos
dt


0
L
L 
2

Entonces:
sen
0 m  n
m t
n t
L
, sen
  m,n   L
L
L
2
2 m  n
mn
Se dice que el conjunto de funciones cos(n x / L) para n = 1,2,3,…. es
un conjunto de funciones ortogonal en el ontervalo (0, L) . O sea:
(m  n) t
(m  n) t 

sen
sen
L

m t
n t
L
L
L
f (t ), g (t )   cos
cos
dt  

 0
0
L
L
  2( m  n )
2(m  n) 

0
L
La norma cuadrada es cuando las dos funciones son iguales
L
f (t ), f (t )  f (t )   cos2
2
0
L 
m t
2m t 
L
dt   12 1  cos
dt


0
L
L 
2

Entonces:
cos
m t
n t
L
, cos
  m,n
L
L
2
0 m  n

  L2 m  n
L m  n  0

mn
Producto punto
sen5t  cos3.2345t  cos4t 
cos5t
cos5t  sen100.234t  ......
cos5t
Visualización fasorial de la
transformada de Fourier de f(t)
Real
(+)
Imaginaria
(+)
F(ω)
ω rads/sec
Imaginaria
(-)
Real
(-)
 Las series de Fourier se aplican a señales
periódicas. Fueros descubiertas por el
matemático francés Joseph Fourier en 1807.
 Con el uso de las series de Fourier, “una señal
periódica que satisface ciertas condiciones,
puede ser expandida a una suma infinita de
funciones seno y coseno.”
Considere una señal periódica real de tiempo x(t), con
periodo T
xt   xt  T 
T 
De el teorema de Fourier, bajo ciertas circunstancias,
la forma trigonométrica con coeficientes reales de la
serie de Fourier, está dada por:
1
xt   a0 
2


n 1
an cosn0t   bn sinn0t 
Frecuencia angular 0=2/T
an 
bn 
2
T
2
T
T
2

T
2
T
2

T
2
xt cosn0t dt 
T
2
xt  cosn0t dt, n  0,1,...
T

0
xt sinn0t dt 
T
2
xt sinn0t dt, n  0,1,...
T

0
 En estas integrales n0 es un parámetro, los coeficientes
an y bn están en función de n0, es decir an = an (n0) y
bn = bn (n0).
 Debido a la periodicidad, es más conveniente
utilizar los límites de integración de t=0 a t=T.
note que el coeficiente a0/2 da el valor promedio
de x(t) en el intervalo de un periodo, es decir:
a0 1

2 T
T
2
 xt dt
T
2
En la fórmula de expansión de la serie de Fourier, n=1 define el
armónico fundamental, n=2 da el segundo armónico, etc.
Una señal senoidal de frecuencia angular n0, se llama el
armónico n.
Para muchos coeficientes reales an y bn decaen muy rápido a
cero a medida que n incrementa, por esto, las señales pueden
ser aproximadas por la serie truncada de Fourier
1
x N t   a0 
2


an cosn0t   bn sinn0t 
n 1
N
Donde N es el número de armónicos incluidos en la
aproximación.
Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la
siguiente función de periodo T:
1
f(t)
t
...
-T/
2
0
T/
2
-1
Solución: La expresión para f(t) en –T/2<t<T/2 es
 1 para  T2  t  0
f (t)  
T
1
para
0

t


2
Coeficientes an:
T /2
an  T2
 f (t ) cos(n t )dt
0
T / 2
0
T /2


 T2    cos(n0t )dt   cos(n0t )dt
0
T / 2

0
T /2
 1

1
 
sen(n0t )

sen(n0t ) 
n

n


0
0
T / 2
0 

2
T
0
para n  0
Coeficiente a0:
0
T /2



2
2
2
a0  T  f (t )dt  T    dt   dt  T  t

T / 2
0
T / 2

T /2
0
T / 2
t
T /2
0

0

Coeficientes bn:
bn 
2
T
T/2
 f ( t )sen (n0 t )dt
T / 2
0
T/2


2
 T    sen (n0 t )dt   sen (n0 t )dt 
 T / 2

0
0
T/2

1
1
 T2 
cos(n0 t )

cos(n0 t )

n

n

 0
0
T / 2
0 


1
(1  cos(n))  (cos(n)  1)
n

para n  0
 0
2

bn 
1  (1) n )   0
para n  par
n
 4
 n para n  im par


Serie de Fourier: Finalmente la Serie de Fourier
queda como
4
f ( t )  sen (0 t )  13 sen (30 t )  15 sen (50 t )  ...

En la siguiente figura se muestran: la componente
fundamental y los armónicos 3, 5 y 7 así como la
suma parcial de estos primeros cuatro términos de
la serie para 0=, es decir, T=2:
1.5
Componentes de la Serie de Fourier
Componentes
1
0.5
0
-0.5
Suma
fundamental
tercer armónico
quinto armónico
septimo armónico
-1
-1.5
-1
-0.5
0
t
0.5
1
El espectro de amplitud se muestra a continuación
0.7
Espectro de Amplitud de f(t)
Cn 
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-30
-20
-10
0
n
10
20
Frecuencia negativa ?
Frecuencia
Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia,
armónico = múltiplo de 0).
30
(n=número de
Si el periodo del tren de pulsos aumenta:
1.5
p=1, T=2
f(t)
1
0.5
0
-20
-10
1.5
t
0
10
20
10
20
p=1, T=5
f(t)
1
0.5
0
-20
-10
0
t
1.5
p=1, T=10
f(t)
1
0.5
0
-20
-10
0
t
10
20
0
t
10
20
1.5
p=1, T=20
f(t)
1
0.5
0
-20
-10
En el límite cuando T, la función deja de ser
periódica:
1.5
p=1, T=
f(t)
1
0.5
0
-20
-10
0
t
10
20
¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de
Fourier?
p=1, T=2
cn
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-50
0
=n0
50
0.3
p=1, T=5
0.2
0.1
0
-0.1
-50
0
50
0.15
p=1, T=10
0.1
0.05
0
-0.05
-50
0.06
0
50
p=1, T=20
0.04
0.02
0
-0.02
-50
0
50
Si hace T muy grande (T): El espectro se
vuelve ¡continuo!
El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la
expresión de una función f(t) no periódica en el dominio
de la frecuencia, no como una suma de armónicos de
frecuencia n0, sino como una función continua de la
frecuencia .
Así, la serie
f (t) 

c e
n  
jn0 t
n
Al cambiar la variable discreta n0 (cuando T) por la
variable continua , se transforma en una integral de la
siguiente manera:
Como c n  T1
T/2
 jn0 t
f
(
t
)
e
dt

T / 2
La serie queda
 1 T/2
 jn0 t
 jn0 t
f ( t )    T  f ( t )e
dt  e
n     T / 2


 1 T/2

 jn0 t
f ( t )    2   f ( t )e
dt  0 e jn0 t
n   
T / 2


O bien,
cuando T, n0 y 0d y la sumatoria se
convierte en

 jt
 jt
 f (t )e dte d

f (t ) 
1
2
Es decir,

f (t ) 
1
2
 F()e
jt
d
Identidad
de Fourier
dt
Transformada
De Fourier

Donde
F ( ) 



f (t )e
 jt
Estas expresiones nos permiten calcular la
expresión F(ω) (dominio de la frecuencia) a partir
de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa
Notación: A la función F(ω) se le llama transformada de
Fourier de f(t) y se denota por F, es decir

F[f (t )]  F()   f (t )e jt dt

En forma similar, a la expresión que nos permite obtener
f(t) a partir de F(ω) se le llama transformada inversa de
Fourier y se denota por F –1 ,es decir

F 1[F()] f (t )  21  F()e jt d

Ejemplo. Calcular F(ω) para el pulso rectangular
f(t) siguiente
1
-p/
2
0
f(t)
p/
t
2
Solución. La expresión en el dominio del tiempo
de la función es
p
0

f ( t )  1
0

t
p
2
2
t
p
2
t
p
2

p/2

p / 2
F()   f ( t )e  jt dt 
 jt
e
 dt
Integrando

1
 j
e
 jt
p/2
p / 2
 1j (e jp / 2  e jp / 2 )
sen(p / 2)
Usando la fórmula de Euler F ( )  p p / 2
Obsérvese que el resultado es igual al obtenido
para cn cuando T , pero multiplicado por T.
En forma gráfica
F(ω)
F(ω) con p=1
1
0.5
0
-50
0
50
ω
Tarea. Calcular la Transformada de Fourier de la
función escalón unitario u(t):
u(t)
1
t
0
Graficar U()=F [u(t)]
¿Qué rango de frecuencias contiene U()?
¿Cuál es la frecuencia predominante?