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Series de Fourier
Series de Fourier Complejas, en Cuadratura y Polares
Espectros de Línea y Densidad Espectral de Potencia de Ondas Periódicas

Series de Fourier

Series de Fourier
La serie de Fourier es un tipo particular de series ortogonales de gran utilidad en la solución de problemas
de ingeniería, especialmente de comunicación. Las funciones ortogonales utilizadas son senoidales o, en
forma equivalente, funciones exponenciales complejas.

Series Complejas de Fourier
La serie compleja de Fourier utiliza las funciones exponenciales ortogonales

Donde n varía sobre el rango de todos los valores enteros posibles, negativos, positivos y cero; ω0 = 2π/T0 ,
donde T0 = (b - a) es la longitud del intervalo sobre el cual la serie, ecuación (2-83), es válida; y, del ejemplo
2-11, Kn = T0. El teorema de la serie de Fourier sigue de la ecuación (2-83).
Teorema: Una forma de onda física (es decir, de energía finita) puede representarse sobre el intervalo a < t <
a + T0 mediante la serie exponencial compleja de Fourier

donde los coeficientes complejos (fasores) de Fourier son

y donde ω0 = 2πf0 = 2π/T0

Series de Fourier
Si la forma de onda w(t) es periódica con un periodo de T0 , esta representación por series de Fourier es
válida durante todo el tiempo (es decir, sobre el intervalo -∞ < t < ∞), debido a que w(t) y ϕ(t) son periódicas
con el mismo periodo fundamental de T0. Para este caso de formas de onda periódicas, la opción de un valor
para el parámetro a es arbitraria y a menudo se consideran los valores de a = 0 o a = -T0/2 como
conveniencia matemática. La frecuencia f0 = 1/ T0 se llama frecuencia fundamental y la nf0 n-ésima
frecuencia armónica cuando n > 1. El coeficiente de Fourier c0 es equivalente al valor de DC de la forma de
onda w(t) debido a que, cuando n = 0, la ecuación (2-89) es idéntica a la ecuación (2-4).
cn es, en general, un número complejo. También es un fasor porque es el coeficiente de una función del tipo
ejωt. Por consecuencia, la ecuación (2-88) es una serie compleja o de fasor de Fourier.
Algunas propiedades de la serie compleja de Fourier son las siguientes:

Series de Fourier

Ver demostración

Series de Fourier
Series de Fourier en Cuadratura
La forma en cuadratura de la serie de Fourier que representa a cualquier forma de onda física w(t) sobre el
intervalo a < t < a + T0 es

donde las funciones ortogonales son cos nω0 t y sen nω0 t. Utilizando la ecuación (2-84) se encuentra que
estos coeficientes de Fourier están dados por

De nuevo, debido a que estas funciones ortogonales senoidales son periódicas, la serie es también periódica
con el periodo fundamental T0, y si w(t) es periódica con un periodo de T0, la serie representará a w(t) sobre
la línea real entera (es decir, -∞ < t < ∞).

Series de Fourier
La serie compleja de Fourier [ecuación (2-88)] y la serie de Fourier en cuadratura [ecuación (2-95)] son
representaciones equivalentes. Esto puede demostrarse expresando el número complejo cn en términos de
sus partes conjugadas, xn y yn. Esto es, utilizando la ecuación (2-89), obtenemos

para todos lo valores de n. Por lo tanto,

Utilizando las ecuaciones (2-96) y (2-97) obtenemos las identidades

Series de Fourier
Series Polares de Fourier
La serie de Fourier en cuadratura, en la ecuación (2-95), puede arreglarse y escribirse en una forma polar
(amplitud-fase). La forma polar es

donde w(t) es real y

Las últimas dos ecuaciones pueden invertirse, y se obtiene que

donde el operador de ángulo está definido por

Series de Fourier
Nota:

La equivalencia entre los coeficientes de la serie de Fourier se demuestra geométricamente en la figura 2-11.
Se observa que, en general, cuando una forma de onda física (real) w(t) se representa mediante una serie de
Fourier, el término cn es un número complejo con una parte real xn y una imaginaria yn (las cuales son ambas
números reales) y, por consecuencia, an, bn, Dn y ϕn son números reales. Además, Dn es un número no
negativo para n ≥ 1. Más aún, todos estos coeficientes describen la cantidad de componentes de frecuencia
contenidos en la señal a la frecuencia de nf0 Hz.

Series de Fourier
En la práctica, la serie de Fourier (FS, por sus siglas en inglés) es a menudo truncada a un número finito de
términos. Por ejemplo, cinco o diez harmónicas podrían utilizarse para aproximar la serie FS para una onda
cuadrada. Por tanto, surge una importante cuestión: para la serie finita, ¿son iguales los valores óptimos
para los coeficientes de la serie que los de los términos correspondientes en la serie infinita, o acaso
deberán ajustarse los coeficientes para la serie infinita a algunos otros nuevos valores para suministrar la
mejor aproximación de serie finita? La respuesta es que los valores óptimos para los coeficientes de la FS son
los mismos que los de los términos correspondientes en la FS no truncada.
Como se ha visto, las formas compleja, en cuadratura y polar de la serie de Fourier son todas equivalentes,
pero la pregunta es: ¿cuál es la que debe utilizarse? La respuesta depende del problema en particular a
solucionar. Si éste se resolverá analíticamente, los coeficientes complejos son generalmente más fáciles de
evaluar. Por otra parte, si se están llevando a cabo mediciones de una forma de onda en un laboratorio,
entonces la forma polar es a menudo más conveniente, ya que los instrumentos de medición, como los
voltímetros, osciloscopios, voltímetros vectoriales y analizadores de onda suministran lecturas de magnitud
y de fase. Utilizando los resultados de laboratorio, los ingenieros pueden realizar gráficas espectrales de un
solo lado en donde se dibujan líneas correspondientes a cada valor de Dn a f = f0, donde n ≥ 0 (es decir, sólo
frecuencias positivas). Por supuesto que esta gráfica espectral puede convertirse en un espectro bilateral
dado por la gráfica de cn utilizando la ecuación (2-94). Se entiende que un espectro bilateral está definido
como la transformada de Fourier de w(t). Esto se demuestra en la figura 2-4, donde la ecuación (2-109), del
siguiente teorema, puede utilizarse.

Series de Fourier
Ecuaciones y problemas usados anteriormente o de utilidad

Series de Fourier

Series de Fourier

Series de Fourier


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Espectros de Línea y Densidad Espectral de Potencia de Ondas Periódicas

Series de Fourier

Series de Fourier
La serie de Fourier es un tipo particular de series ortogonales de gran utilidad en la solución de problemas
de ingeniería, especialmente de comunicación. Las funciones ortogonales utilizadas son senoidales o, en
forma equivalente, funciones exponenciales complejas.

Series Complejas de Fourier
La serie compleja de Fourier utiliza las funciones exponenciales ortogonales

Donde n varía sobre el rango de todos los valores enteros posibles, negativos, positivos y cero; ω0 = 2π/T0 ,
donde T0 = (b - a) es la longitud del intervalo sobre el cual la serie, ecuación (2-83), es válida; y, del ejemplo
2-11, Kn = T0. El teorema de la serie de Fourier sigue de la ecuación (2-83).
Teorema: Una forma de onda física (es decir, de energía finita) puede representarse sobre el intervalo a < t <
a + T0 mediante la serie exponencial compleja de Fourier

donde los coeficientes complejos (fasores) de Fourier son

y donde ω0 = 2πf0 = 2π/T0

Series de Fourier
Si la forma de onda w(t) es periódica con un periodo de T0 , esta representación por series de Fourier es
válida durante todo el tiempo (es decir, sobre el intervalo -∞ < t < ∞), debido a que w(t) y ϕ(t) son periódicas
con el mismo periodo fundamental de T0. Para este caso de formas de onda periódicas, la opción de un valor
para el parámetro a es arbitraria y a menudo se consideran los valores de a = 0 o a = -T0/2 como
conveniencia matemática. La frecuencia f0 = 1/ T0 se llama frecuencia fundamental y la nf0 n-ésima
frecuencia armónica cuando n > 1. El coeficiente de Fourier c0 es equivalente al valor de DC de la forma de
onda w(t) debido a que, cuando n = 0, la ecuación (2-89) es idéntica a la ecuación (2-4).
cn es, en general, un número complejo. También es un fasor porque es el coeficiente de una función del tipo
ejωt. Por consecuencia, la ecuación (2-88) es una serie compleja o de fasor de Fourier.
Algunas propiedades de la serie compleja de Fourier son las siguientes:

Series de Fourier

Ver demostración

Series de Fourier
Series de Fourier en Cuadratura
La forma en cuadratura de la serie de Fourier que representa a cualquier forma de onda física w(t) sobre el
intervalo a < t < a + T0 es

donde las funciones ortogonales son cos nω0 t y sen nω0 t. Utilizando la ecuación (2-84) se encuentra que
estos coeficientes de Fourier están dados por

De nuevo, debido a que estas funciones ortogonales senoidales son periódicas, la serie es también periódica
con el periodo fundamental T0, y si w(t) es periódica con un periodo de T0, la serie representará a w(t) sobre
la línea real entera (es decir, -∞ < t < ∞).

Series de Fourier
La serie compleja de Fourier [ecuación (2-88)] y la serie de Fourier en cuadratura [ecuación (2-95)] son
representaciones equivalentes. Esto puede demostrarse expresando el número complejo cn en términos de
sus partes conjugadas, xn y yn. Esto es, utilizando la ecuación (2-89), obtenemos

para todos lo valores de n. Por lo tanto,

Utilizando las ecuaciones (2-96) y (2-97) obtenemos las identidades

Series de Fourier
Series Polares de Fourier
La serie de Fourier en cuadratura, en la ecuación (2-95), puede arreglarse y escribirse en una forma polar
(amplitud-fase). La forma polar es

donde w(t) es real y

Las últimas dos ecuaciones pueden invertirse, y se obtiene que

donde el operador de ángulo está definido por

Series de Fourier
Nota:

La equivalencia entre los coeficientes de la serie de Fourier se demuestra geométricamente en la figura 2-11.
Se observa que, en general, cuando una forma de onda física (real) w(t) se representa mediante una serie de
Fourier, el término cn es un número complejo con una parte real xn y una imaginaria yn (las cuales son ambas
números reales) y, por consecuencia, an, bn, Dn y ϕn son números reales. Además, Dn es un número no
negativo para n ≥ 1. Más aún, todos estos coeficientes describen la cantidad de componentes de frecuencia
contenidos en la señal a la frecuencia de nf0 Hz.

Series de Fourier
En la práctica, la serie de Fourier (FS, por sus siglas en inglés) es a menudo truncada a un número finito de
términos. Por ejemplo, cinco o diez harmónicas podrían utilizarse para aproximar la serie FS para una onda
cuadrada. Por tanto, surge una importante cuestión: para la serie finita, ¿son iguales los valores óptimos
para los coeficientes de la serie que los de los términos correspondientes en la serie infinita, o acaso
deberán ajustarse los coeficientes para la serie infinita a algunos otros nuevos valores para suministrar la
mejor aproximación de serie finita? La respuesta es que los valores óptimos para los coeficientes de la FS son
los mismos que los de los términos correspondientes en la FS no truncada.
Como se ha visto, las formas compleja, en cuadratura y polar de la serie de Fourier son todas equivalentes,
pero la pregunta es: ¿cuál es la que debe utilizarse? La respuesta depende del problema en particular a
solucionar. Si éste se resolverá analíticamente, los coeficientes complejos son generalmente más fáciles de
evaluar. Por otra parte, si se están llevando a cabo mediciones de una forma de onda en un laboratorio,
entonces la forma polar es a menudo más conveniente, ya que los instrumentos de medición, como los
voltímetros, osciloscopios, voltímetros vectoriales y analizadores de onda suministran lecturas de magnitud
y de fase. Utilizando los resultados de laboratorio, los ingenieros pueden realizar gráficas espectrales de un
solo lado en donde se dibujan líneas correspondientes a cada valor de Dn a f = f0, donde n ≥ 0 (es decir, sólo
frecuencias positivas). Por supuesto que esta gráfica espectral puede convertirse en un espectro bilateral
dado por la gráfica de cn utilizando la ecuación (2-94). Se entiende que un espectro bilateral está definido
como la transformada de Fourier de w(t). Esto se demuestra en la figura 2-4, donde la ecuación (2-109), del
siguiente teorema, puede utilizarse.

Series de Fourier
Ecuaciones y problemas usados anteriormente o de utilidad

Series de Fourier

Series de Fourier

Series de Fourier


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Series de Fourier

Series de Fourier
La serie de Fourier es un tipo particular de series ortogonales de gran utilidad en la solución de problemas
de ingeniería, especialmente de comunicación. Las funciones ortogonales utilizadas son senoidales o, en
forma equivalente, funciones exponenciales complejas.

Series Complejas de Fourier
La serie compleja de Fourier utiliza las funciones exponenciales ortogonales

Donde n varía sobre el rango de todos los valores enteros posibles, negativos, positivos y cero; ω0 = 2π/T0 ,
donde T0 = (b - a) es la longitud del intervalo sobre el cual la serie, ecuación (2-83), es válida; y, del ejemplo
2-11, Kn = T0. El teorema de la serie de Fourier sigue de la ecuación (2-83).
Teorema: Una forma de onda física (es decir, de energía finita) puede representarse sobre el intervalo a < t <
a + T0 mediante la serie exponencial compleja de Fourier

donde los coeficientes complejos (fasores) de Fourier son

y donde ω0 = 2πf0 = 2π/T0

Series de Fourier
Si la forma de onda w(t) es periódica con un periodo de T0 , esta representación por series de Fourier es
válida durante todo el tiempo (es decir, sobre el intervalo -∞ < t < ∞), debido a que w(t) y ϕ(t) son periódicas
con el mismo periodo fundamental de T0. Para este caso de formas de onda periódicas, la opción de un valor
para el parámetro a es arbitraria y a menudo se consideran los valores de a = 0 o a = -T0/2 como
conveniencia matemática. La frecuencia f0 = 1/ T0 se llama frecuencia fundamental y la nf0 n-ésima
frecuencia armónica cuando n > 1. El coeficiente de Fourier c0 es equivalente al valor de DC de la forma de
onda w(t) debido a que, cuando n = 0, la ecuación (2-89) es idéntica a la ecuación (2-4).
cn es, en general, un número complejo. También es un fasor porque es el coeficiente de una función del tipo
ejωt. Por consecuencia, la ecuación (2-88) es una serie compleja o de fasor de Fourier.
Algunas propiedades de la serie compleja de Fourier son las siguientes:

Series de Fourier

Ver demostración

Series de Fourier
Series de Fourier en Cuadratura
La forma en cuadratura de la serie de Fourier que representa a cualquier forma de onda física w(t) sobre el
intervalo a < t < a + T0 es

donde las funciones ortogonales son cos nω0 t y sen nω0 t. Utilizando la ecuación (2-84) se encuentra que
estos coeficientes de Fourier están dados por

De nuevo, debido a que estas funciones ortogonales senoidales son periódicas, la serie es también periódica
con el periodo fundamental T0, y si w(t) es periódica con un periodo de T0, la serie representará a w(t) sobre
la línea real entera (es decir, -∞ < t < ∞).

Series de Fourier
La serie compleja de Fourier [ecuación (2-88)] y la serie de Fourier en cuadratura [ecuación (2-95)] son
representaciones equivalentes. Esto puede demostrarse expresando el número complejo cn en términos de
sus partes conjugadas, xn y yn. Esto es, utilizando la ecuación (2-89), obtenemos

para todos lo valores de n. Por lo tanto,

Utilizando las ecuaciones (2-96) y (2-97) obtenemos las identidades

Series de Fourier
Series Polares de Fourier
La serie de Fourier en cuadratura, en la ecuación (2-95), puede arreglarse y escribirse en una forma polar
(amplitud-fase). La forma polar es

donde w(t) es real y

Las últimas dos ecuaciones pueden invertirse, y se obtiene que

donde el operador de ángulo está definido por

Series de Fourier
Nota:

La equivalencia entre los coeficientes de la serie de Fourier se demuestra geométricamente en la figura 2-11.
Se observa que, en general, cuando una forma de onda física (real) w(t) se representa mediante una serie de
Fourier, el término cn es un número complejo con una parte real xn y una imaginaria yn (las cuales son ambas
números reales) y, por consecuencia, an, bn, Dn y ϕn son números reales. Además, Dn es un número no
negativo para n ≥ 1. Más aún, todos estos coeficientes describen la cantidad de componentes de frecuencia
contenidos en la señal a la frecuencia de nf0 Hz.

Series de Fourier
En la práctica, la serie de Fourier (FS, por sus siglas en inglés) es a menudo truncada a un número finito de
términos. Por ejemplo, cinco o diez harmónicas podrían utilizarse para aproximar la serie FS para una onda
cuadrada. Por tanto, surge una importante cuestión: para la serie finita, ¿son iguales los valores óptimos
para los coeficientes de la serie que los de los términos correspondientes en la serie infinita, o acaso
deberán ajustarse los coeficientes para la serie infinita a algunos otros nuevos valores para suministrar la
mejor aproximación de serie finita? La respuesta es que los valores óptimos para los coeficientes de la FS son
los mismos que los de los términos correspondientes en la FS no truncada.
Como se ha visto, las formas compleja, en cuadratura y polar de la serie de Fourier son todas equivalentes,
pero la pregunta es: ¿cuál es la que debe utilizarse? La respuesta depende del problema en particular a
solucionar. Si éste se resolverá analíticamente, los coeficientes complejos son generalmente más fáciles de
evaluar. Por otra parte, si se están llevando a cabo mediciones de una forma de onda en un laboratorio,
entonces la forma polar es a menudo más conveniente, ya que los instrumentos de medición, como los
voltímetros, osciloscopios, voltímetros vectoriales y analizadores de onda suministran lecturas de magnitud
y de fase. Utilizando los resultados de laboratorio, los ingenieros pueden realizar gráficas espectrales de un
solo lado en donde se dibujan líneas correspondientes a cada valor de Dn a f = f0, donde n ≥ 0 (es decir, sólo
frecuencias positivas). Por supuesto que esta gráfica espectral puede convertirse en un espectro bilateral
dado por la gráfica de cn utilizando la ecuación (2-94). Se entiende que un espectro bilateral está definido
como la transformada de Fourier de w(t). Esto se demuestra en la figura 2-4, donde la ecuación (2-109), del
siguiente teorema, puede utilizarse.

Series de Fourier
Ecuaciones y problemas usados anteriormente o de utilidad

Series de Fourier

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Series de Fourier


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Series de Fourier

Series de Fourier
La serie de Fourier es un tipo particular de series ortogonales de gran utilidad en la solución de problemas
de ingeniería, especialmente de comunicación. Las funciones ortogonales utilizadas son senoidales o, en
forma equivalente, funciones exponenciales complejas.

Series Complejas de Fourier
La serie compleja de Fourier utiliza las funciones exponenciales ortogonales

Donde n varía sobre el rango de todos los valores enteros posibles, negativos, positivos y cero; ω0 = 2π/T0 ,
donde T0 = (b - a) es la longitud del intervalo sobre el cual la serie, ecuación (2-83), es válida; y, del ejemplo
2-11, Kn = T0. El teorema de la serie de Fourier sigue de la ecuación (2-83).
Teorema: Una forma de onda física (es decir, de energía finita) puede representarse sobre el intervalo a < t <
a + T0 mediante la serie exponencial compleja de Fourier

donde los coeficientes complejos (fasores) de Fourier son

y donde ω0 = 2πf0 = 2π/T0

Series de Fourier
Si la forma de onda w(t) es periódica con un periodo de T0 , esta representación por series de Fourier es
válida durante todo el tiempo (es decir, sobre el intervalo -∞ < t < ∞), debido a que w(t) y ϕ(t) son periódicas
con el mismo periodo fundamental de T0. Para este caso de formas de onda periódicas, la opción de un valor
para el parámetro a es arbitraria y a menudo se consideran los valores de a = 0 o a = -T0/2 como
conveniencia matemática. La frecuencia f0 = 1/ T0 se llama frecuencia fundamental y la nf0 n-ésima
frecuencia armónica cuando n > 1. El coeficiente de Fourier c0 es equivalente al valor de DC de la forma de
onda w(t) debido a que, cuando n = 0, la ecuación (2-89) es idéntica a la ecuación (2-4).
cn es, en general, un número complejo. También es un fasor porque es el coeficiente de una función del tipo
ejωt. Por consecuencia, la ecuación (2-88) es una serie compleja o de fasor de Fourier.
Algunas propiedades de la serie compleja de Fourier son las siguientes:

Series de Fourier

Ver demostración

Series de Fourier
Series de Fourier en Cuadratura
La forma en cuadratura de la serie de Fourier que representa a cualquier forma de onda física w(t) sobre el
intervalo a < t < a + T0 es

donde las funciones ortogonales son cos nω0 t y sen nω0 t. Utilizando la ecuación (2-84) se encuentra que
estos coeficientes de Fourier están dados por

De nuevo, debido a que estas funciones ortogonales senoidales son periódicas, la serie es también periódica
con el periodo fundamental T0, y si w(t) es periódica con un periodo de T0, la serie representará a w(t) sobre
la línea real entera (es decir, -∞ < t < ∞).

Series de Fourier
La serie compleja de Fourier [ecuación (2-88)] y la serie de Fourier en cuadratura [ecuación (2-95)] son
representaciones equivalentes. Esto puede demostrarse expresando el número complejo cn en términos de
sus partes conjugadas, xn y yn. Esto es, utilizando la ecuación (2-89), obtenemos

para todos lo valores de n. Por lo tanto,

Utilizando las ecuaciones (2-96) y (2-97) obtenemos las identidades

Series de Fourier
Series Polares de Fourier
La serie de Fourier en cuadratura, en la ecuación (2-95), puede arreglarse y escribirse en una forma polar
(amplitud-fase). La forma polar es

donde w(t) es real y

Las últimas dos ecuaciones pueden invertirse, y se obtiene que

donde el operador de ángulo está definido por

Series de Fourier
Nota:

La equivalencia entre los coeficientes de la serie de Fourier se demuestra geométricamente en la figura 2-11.
Se observa que, en general, cuando una forma de onda física (real) w(t) se representa mediante una serie de
Fourier, el término cn es un número complejo con una parte real xn y una imaginaria yn (las cuales son ambas
números reales) y, por consecuencia, an, bn, Dn y ϕn son números reales. Además, Dn es un número no
negativo para n ≥ 1. Más aún, todos estos coeficientes describen la cantidad de componentes de frecuencia
contenidos en la señal a la frecuencia de nf0 Hz.

Series de Fourier
En la práctica, la serie de Fourier (FS, por sus siglas en inglés) es a menudo truncada a un número finito de
términos. Por ejemplo, cinco o diez harmónicas podrían utilizarse para aproximar la serie FS para una onda
cuadrada. Por tanto, surge una importante cuestión: para la serie finita, ¿son iguales los valores óptimos
para los coeficientes de la serie que los de los términos correspondientes en la serie infinita, o acaso
deberán ajustarse los coeficientes para la serie infinita a algunos otros nuevos valores para suministrar la
mejor aproximación de serie finita? La respuesta es que los valores óptimos para los coeficientes de la FS son
los mismos que los de los términos correspondientes en la FS no truncada.
Como se ha visto, las formas compleja, en cuadratura y polar de la serie de Fourier son todas equivalentes,
pero la pregunta es: ¿cuál es la que debe utilizarse? La respuesta depende del problema en particular a
solucionar. Si éste se resolverá analíticamente, los coeficientes complejos son generalmente más fáciles de
evaluar. Por otra parte, si se están llevando a cabo mediciones de una forma de onda en un laboratorio,
entonces la forma polar es a menudo más conveniente, ya que los instrumentos de medición, como los
voltímetros, osciloscopios, voltímetros vectoriales y analizadores de onda suministran lecturas de magnitud
y de fase. Utilizando los resultados de laboratorio, los ingenieros pueden realizar gráficas espectrales de un
solo lado en donde se dibujan líneas correspondientes a cada valor de Dn a f = f0, donde n ≥ 0 (es decir, sólo
frecuencias positivas). Por supuesto que esta gráfica espectral puede convertirse en un espectro bilateral
dado por la gráfica de cn utilizando la ecuación (2-94). Se entiende que un espectro bilateral está definido
como la transformada de Fourier de w(t). Esto se demuestra en la figura 2-4, donde la ecuación (2-109), del
siguiente teorema, puede utilizarse.

Series de Fourier
Ecuaciones y problemas usados anteriormente o de utilidad

Series de Fourier

Series de Fourier

Series de Fourier


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Espectros de Línea y Densidad Espectral de Potencia de Ondas Periódicas

Series de Fourier

Series de Fourier
La serie de Fourier es un tipo particular de series ortogonales de gran utilidad en la solución de problemas
de ingeniería, especialmente de comunicación. Las funciones ortogonales utilizadas son senoidales o, en
forma equivalente, funciones exponenciales complejas.

Series Complejas de Fourier
La serie compleja de Fourier utiliza las funciones exponenciales ortogonales

Donde n varía sobre el rango de todos los valores enteros posibles, negativos, positivos y cero; ω0 = 2π/T0 ,
donde T0 = (b - a) es la longitud del intervalo sobre el cual la serie, ecuación (2-83), es válida; y, del ejemplo
2-11, Kn = T0. El teorema de la serie de Fourier sigue de la ecuación (2-83).
Teorema: Una forma de onda física (es decir, de energía finita) puede representarse sobre el intervalo a < t <
a + T0 mediante la serie exponencial compleja de Fourier

donde los coeficientes complejos (fasores) de Fourier son

y donde ω0 = 2πf0 = 2π/T0

Series de Fourier
Si la forma de onda w(t) es periódica con un periodo de T0 , esta representación por series de Fourier es
válida durante todo el tiempo (es decir, sobre el intervalo -∞ < t < ∞), debido a que w(t) y ϕ(t) son periódicas
con el mismo periodo fundamental de T0. Para este caso de formas de onda periódicas, la opción de un valor
para el parámetro a es arbitraria y a menudo se consideran los valores de a = 0 o a = -T0/2 como
conveniencia matemática. La frecuencia f0 = 1/ T0 se llama frecuencia fundamental y la nf0 n-ésima
frecuencia armónica cuando n > 1. El coeficiente de Fourier c0 es equivalente al valor de DC de la forma de
onda w(t) debido a que, cuando n = 0, la ecuación (2-89) es idéntica a la ecuación (2-4).
cn es, en general, un número complejo. También es un fasor porque es el coeficiente de una función del tipo
ejωt. Por consecuencia, la ecuación (2-88) es una serie compleja o de fasor de Fourier.
Algunas propiedades de la serie compleja de Fourier son las siguientes:

Series de Fourier

Ver demostración

Series de Fourier
Series de Fourier en Cuadratura
La forma en cuadratura de la serie de Fourier que representa a cualquier forma de onda física w(t) sobre el
intervalo a < t < a + T0 es

donde las funciones ortogonales son cos nω0 t y sen nω0 t. Utilizando la ecuación (2-84) se encuentra que
estos coeficientes de Fourier están dados por

De nuevo, debido a que estas funciones ortogonales senoidales son periódicas, la serie es también periódica
con el periodo fundamental T0, y si w(t) es periódica con un periodo de T0, la serie representará a w(t) sobre
la línea real entera (es decir, -∞ < t < ∞).

Series de Fourier
La serie compleja de Fourier [ecuación (2-88)] y la serie de Fourier en cuadratura [ecuación (2-95)] son
representaciones equivalentes. Esto puede demostrarse expresando el número complejo cn en términos de
sus partes conjugadas, xn y yn. Esto es, utilizando la ecuación (2-89), obtenemos

para todos lo valores de n. Por lo tanto,

Utilizando las ecuaciones (2-96) y (2-97) obtenemos las identidades

Series de Fourier
Series Polares de Fourier
La serie de Fourier en cuadratura, en la ecuación (2-95), puede arreglarse y escribirse en una forma polar
(amplitud-fase). La forma polar es

donde w(t) es real y

Las últimas dos ecuaciones pueden invertirse, y se obtiene que

donde el operador de ángulo está definido por

Series de Fourier
Nota:

La equivalencia entre los coeficientes de la serie de Fourier se demuestra geométricamente en la figura 2-11.
Se observa que, en general, cuando una forma de onda física (real) w(t) se representa mediante una serie de
Fourier, el término cn es un número complejo con una parte real xn y una imaginaria yn (las cuales son ambas
números reales) y, por consecuencia, an, bn, Dn y ϕn son números reales. Además, Dn es un número no
negativo para n ≥ 1. Más aún, todos estos coeficientes describen la cantidad de componentes de frecuencia
contenidos en la señal a la frecuencia de nf0 Hz.

Series de Fourier
En la práctica, la serie de Fourier (FS, por sus siglas en inglés) es a menudo truncada a un número finito de
términos. Por ejemplo, cinco o diez harmónicas podrían utilizarse para aproximar la serie FS para una onda
cuadrada. Por tanto, surge una importante cuestión: para la serie finita, ¿son iguales los valores óptimos
para los coeficientes de la serie que los de los términos correspondientes en la serie infinita, o acaso
deberán ajustarse los coeficientes para la serie infinita a algunos otros nuevos valores para suministrar la
mejor aproximación de serie finita? La respuesta es que los valores óptimos para los coeficientes de la FS son
los mismos que los de los términos correspondientes en la FS no truncada.
Como se ha visto, las formas compleja, en cuadratura y polar de la serie de Fourier son todas equivalentes,
pero la pregunta es: ¿cuál es la que debe utilizarse? La respuesta depende del problema en particular a
solucionar. Si éste se resolverá analíticamente, los coeficientes complejos son generalmente más fáciles de
evaluar. Por otra parte, si se están llevando a cabo mediciones de una forma de onda en un laboratorio,
entonces la forma polar es a menudo más conveniente, ya que los instrumentos de medición, como los
voltímetros, osciloscopios, voltímetros vectoriales y analizadores de onda suministran lecturas de magnitud
y de fase. Utilizando los resultados de laboratorio, los ingenieros pueden realizar gráficas espectrales de un
solo lado en donde se dibujan líneas correspondientes a cada valor de Dn a f = f0, donde n ≥ 0 (es decir, sólo
frecuencias positivas). Por supuesto que esta gráfica espectral puede convertirse en un espectro bilateral
dado por la gráfica de cn utilizando la ecuación (2-94). Se entiende que un espectro bilateral está definido
como la transformada de Fourier de w(t). Esto se demuestra en la figura 2-4, donde la ecuación (2-109), del
siguiente teorema, puede utilizarse.

Series de Fourier
Ecuaciones y problemas usados anteriormente o de utilidad

Series de Fourier

Series de Fourier

Series de Fourier


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Series de Fourier
Series de Fourier Complejas, en Cuadratura y Polares
Espectros de Línea y Densidad Espectral de Potencia de Ondas Periódicas

Series de Fourier

Series de Fourier
La serie de Fourier es un tipo particular de series ortogonales de gran utilidad en la solución de problemas
de ingeniería, especialmente de comunicación. Las funciones ortogonales utilizadas son senoidales o, en
forma equivalente, funciones exponenciales complejas.

Series Complejas de Fourier
La serie compleja de Fourier utiliza las funciones exponenciales ortogonales

Donde n varía sobre el rango de todos los valores enteros posibles, negativos, positivos y cero; ω0 = 2π/T0 ,
donde T0 = (b - a) es la longitud del intervalo sobre el cual la serie, ecuación (2-83), es válida; y, del ejemplo
2-11, Kn = T0. El teorema de la serie de Fourier sigue de la ecuación (2-83).
Teorema: Una forma de onda física (es decir, de energía finita) puede representarse sobre el intervalo a < t <
a + T0 mediante la serie exponencial compleja de Fourier

donde los coeficientes complejos (fasores) de Fourier son

y donde ω0 = 2πf0 = 2π/T0

Series de Fourier
Si la forma de onda w(t) es periódica con un periodo de T0 , esta representación por series de Fourier es
válida durante todo el tiempo (es decir, sobre el intervalo -∞ < t < ∞), debido a que w(t) y ϕ(t) son periódicas
con el mismo periodo fundamental de T0. Para este caso de formas de onda periódicas, la opción de un valor
para el parámetro a es arbitraria y a menudo se consideran los valores de a = 0 o a = -T0/2 como
conveniencia matemática. La frecuencia f0 = 1/ T0 se llama frecuencia fundamental y la nf0 n-ésima
frecuencia armónica cuando n > 1. El coeficiente de Fourier c0 es equivalente al valor de DC de la forma de
onda w(t) debido a que, cuando n = 0, la ecuación (2-89) es idéntica a la ecuación (2-4).
cn es, en general, un número complejo. También es un fasor porque es el coeficiente de una función del tipo
ejωt. Por consecuencia, la ecuación (2-88) es una serie compleja o de fasor de Fourier.
Algunas propiedades de la serie compleja de Fourier son las siguientes:

Series de Fourier

Ver demostración

Series de Fourier
Series de Fourier en Cuadratura
La forma en cuadratura de la serie de Fourier que representa a cualquier forma de onda física w(t) sobre el
intervalo a < t < a + T0 es

donde las funciones ortogonales son cos nω0 t y sen nω0 t. Utilizando la ecuación (2-84) se encuentra que
estos coeficientes de Fourier están dados por

De nuevo, debido a que estas funciones ortogonales senoidales son periódicas, la serie es también periódica
con el periodo fundamental T0, y si w(t) es periódica con un periodo de T0, la serie representará a w(t) sobre
la línea real entera (es decir, -∞ < t < ∞).

Series de Fourier
La serie compleja de Fourier [ecuación (2-88)] y la serie de Fourier en cuadratura [ecuación (2-95)] son
representaciones equivalentes. Esto puede demostrarse expresando el número complejo cn en términos de
sus partes conjugadas, xn y yn. Esto es, utilizando la ecuación (2-89), obtenemos

para todos lo valores de n. Por lo tanto,

Utilizando las ecuaciones (2-96) y (2-97) obtenemos las identidades

Series de Fourier
Series Polares de Fourier
La serie de Fourier en cuadratura, en la ecuación (2-95), puede arreglarse y escribirse en una forma polar
(amplitud-fase). La forma polar es

donde w(t) es real y

Las últimas dos ecuaciones pueden invertirse, y se obtiene que

donde el operador de ángulo está definido por

Series de Fourier
Nota:

La equivalencia entre los coeficientes de la serie de Fourier se demuestra geométricamente en la figura 2-11.
Se observa que, en general, cuando una forma de onda física (real) w(t) se representa mediante una serie de
Fourier, el término cn es un número complejo con una parte real xn y una imaginaria yn (las cuales son ambas
números reales) y, por consecuencia, an, bn, Dn y ϕn son números reales. Además, Dn es un número no
negativo para n ≥ 1. Más aún, todos estos coeficientes describen la cantidad de componentes de frecuencia
contenidos en la señal a la frecuencia de nf0 Hz.

Series de Fourier
En la práctica, la serie de Fourier (FS, por sus siglas en inglés) es a menudo truncada a un número finito de
términos. Por ejemplo, cinco o diez harmónicas podrían utilizarse para aproximar la serie FS para una onda
cuadrada. Por tanto, surge una importante cuestión: para la serie finita, ¿son iguales los valores óptimos
para los coeficientes de la serie que los de los términos correspondientes en la serie infinita, o acaso
deberán ajustarse los coeficientes para la serie infinita a algunos otros nuevos valores para suministrar la
mejor aproximación de serie finita? La respuesta es que los valores óptimos para los coeficientes de la FS son
los mismos que los de los términos correspondientes en la FS no truncada.
Como se ha visto, las formas compleja, en cuadratura y polar de la serie de Fourier son todas equivalentes,
pero la pregunta es: ¿cuál es la que debe utilizarse? La respuesta depende del problema en particular a
solucionar. Si éste se resolverá analíticamente, los coeficientes complejos son generalmente más fáciles de
evaluar. Por otra parte, si se están llevando a cabo mediciones de una forma de onda en un laboratorio,
entonces la forma polar es a menudo más conveniente, ya que los instrumentos de medición, como los
voltímetros, osciloscopios, voltímetros vectoriales y analizadores de onda suministran lecturas de magnitud
y de fase. Utilizando los resultados de laboratorio, los ingenieros pueden realizar gráficas espectrales de un
solo lado en donde se dibujan líneas correspondientes a cada valor de Dn a f = f0, donde n ≥ 0 (es decir, sólo
frecuencias positivas). Por supuesto que esta gráfica espectral puede convertirse en un espectro bilateral
dado por la gráfica de cn utilizando la ecuación (2-94). Se entiende que un espectro bilateral está definido
como la transformada de Fourier de w(t). Esto se demuestra en la figura 2-4, donde la ecuación (2-109), del
siguiente teorema, puede utilizarse.

Series de Fourier
Ecuaciones y problemas usados anteriormente o de utilidad

Series de Fourier

Series de Fourier

Series de Fourier


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Espectros de Línea y Densidad Espectral de Potencia de Ondas Periódicas

Series de Fourier

Series de Fourier
La serie de Fourier es un tipo particular de series ortogonales de gran utilidad en la solución de problemas
de ingeniería, especialmente de comunicación. Las funciones ortogonales utilizadas son senoidales o, en
forma equivalente, funciones exponenciales complejas.

Series Complejas de Fourier
La serie compleja de Fourier utiliza las funciones exponenciales ortogonales

Donde n varía sobre el rango de todos los valores enteros posibles, negativos, positivos y cero; ω0 = 2π/T0 ,
donde T0 = (b - a) es la longitud del intervalo sobre el cual la serie, ecuación (2-83), es válida; y, del ejemplo
2-11, Kn = T0. El teorema de la serie de Fourier sigue de la ecuación (2-83).
Teorema: Una forma de onda física (es decir, de energía finita) puede representarse sobre el intervalo a < t <
a + T0 mediante la serie exponencial compleja de Fourier

donde los coeficientes complejos (fasores) de Fourier son

y donde ω0 = 2πf0 = 2π/T0

Series de Fourier
Si la forma de onda w(t) es periódica con un periodo de T0 , esta representación por series de Fourier es
válida durante todo el tiempo (es decir, sobre el intervalo -∞ < t < ∞), debido a que w(t) y ϕ(t) son periódicas
con el mismo periodo fundamental de T0. Para este caso de formas de onda periódicas, la opción de un valor
para el parámetro a es arbitraria y a menudo se consideran los valores de a = 0 o a = -T0/2 como
conveniencia matemática. La frecuencia f0 = 1/ T0 se llama frecuencia fundamental y la nf0 n-ésima
frecuencia armónica cuando n > 1. El coeficiente de Fourier c0 es equivalente al valor de DC de la forma de
onda w(t) debido a que, cuando n = 0, la ecuación (2-89) es idéntica a la ecuación (2-4).
cn es, en general, un número complejo. También es un fasor porque es el coeficiente de una función del tipo
ejωt. Por consecuencia, la ecuación (2-88) es una serie compleja o de fasor de Fourier.
Algunas propiedades de la serie compleja de Fourier son las siguientes:

Series de Fourier

Ver demostración

Series de Fourier
Series de Fourier en Cuadratura
La forma en cuadratura de la serie de Fourier que representa a cualquier forma de onda física w(t) sobre el
intervalo a < t < a + T0 es

donde las funciones ortogonales son cos nω0 t y sen nω0 t. Utilizando la ecuación (2-84) se encuentra que
estos coeficientes de Fourier están dados por

De nuevo, debido a que estas funciones ortogonales senoidales son periódicas, la serie es también periódica
con el periodo fundamental T0, y si w(t) es periódica con un periodo de T0, la serie representará a w(t) sobre
la línea real entera (es decir, -∞ < t < ∞).

Series de Fourier
La serie compleja de Fourier [ecuación (2-88)] y la serie de Fourier en cuadratura [ecuación (2-95)] son
representaciones equivalentes. Esto puede demostrarse expresando el número complejo cn en términos de
sus partes conjugadas, xn y yn. Esto es, utilizando la ecuación (2-89), obtenemos

para todos lo valores de n. Por lo tanto,

Utilizando las ecuaciones (2-96) y (2-97) obtenemos las identidades

Series de Fourier
Series Polares de Fourier
La serie de Fourier en cuadratura, en la ecuación (2-95), puede arreglarse y escribirse en una forma polar
(amplitud-fase). La forma polar es

donde w(t) es real y

Las últimas dos ecuaciones pueden invertirse, y se obtiene que

donde el operador de ángulo está definido por

Series de Fourier
Nota:

La equivalencia entre los coeficientes de la serie de Fourier se demuestra geométricamente en la figura 2-11.
Se observa que, en general, cuando una forma de onda física (real) w(t) se representa mediante una serie de
Fourier, el término cn es un número complejo con una parte real xn y una imaginaria yn (las cuales son ambas
números reales) y, por consecuencia, an, bn, Dn y ϕn son números reales. Además, Dn es un número no
negativo para n ≥ 1. Más aún, todos estos coeficientes describen la cantidad de componentes de frecuencia
contenidos en la señal a la frecuencia de nf0 Hz.

Series de Fourier
En la práctica, la serie de Fourier (FS, por sus siglas en inglés) es a menudo truncada a un número finito de
términos. Por ejemplo, cinco o diez harmónicas podrían utilizarse para aproximar la serie FS para una onda
cuadrada. Por tanto, surge una importante cuestión: para la serie finita, ¿son iguales los valores óptimos
para los coeficientes de la serie que los de los términos correspondientes en la serie infinita, o acaso
deberán ajustarse los coeficientes para la serie infinita a algunos otros nuevos valores para suministrar la
mejor aproximación de serie finita? La respuesta es que los valores óptimos para los coeficientes de la FS son
los mismos que los de los términos correspondientes en la FS no truncada.
Como se ha visto, las formas compleja, en cuadratura y polar de la serie de Fourier son todas equivalentes,
pero la pregunta es: ¿cuál es la que debe utilizarse? La respuesta depende del problema en particular a
solucionar. Si éste se resolverá analíticamente, los coeficientes complejos son generalmente más fáciles de
evaluar. Por otra parte, si se están llevando a cabo mediciones de una forma de onda en un laboratorio,
entonces la forma polar es a menudo más conveniente, ya que los instrumentos de medición, como los
voltímetros, osciloscopios, voltímetros vectoriales y analizadores de onda suministran lecturas de magnitud
y de fase. Utilizando los resultados de laboratorio, los ingenieros pueden realizar gráficas espectrales de un
solo lado en donde se dibujan líneas correspondientes a cada valor de Dn a f = f0, donde n ≥ 0 (es decir, sólo
frecuencias positivas). Por supuesto que esta gráfica espectral puede convertirse en un espectro bilateral
dado por la gráfica de cn utilizando la ecuación (2-94). Se entiende que un espectro bilateral está definido
como la transformada de Fourier de w(t). Esto se demuestra en la figura 2-4, donde la ecuación (2-109), del
siguiente teorema, puede utilizarse.

Series de Fourier
Ecuaciones y problemas usados anteriormente o de utilidad

Series de Fourier

Series de Fourier

Series de Fourier


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Series de Fourier

Series de Fourier
La serie de Fourier es un tipo particular de series ortogonales de gran utilidad en la solución de problemas
de ingeniería, especialmente de comunicación. Las funciones ortogonales utilizadas son senoidales o, en
forma equivalente, funciones exponenciales complejas.

Series Complejas de Fourier
La serie compleja de Fourier utiliza las funciones exponenciales ortogonales

Donde n varía sobre el rango de todos los valores enteros posibles, negativos, positivos y cero; ω0 = 2π/T0 ,
donde T0 = (b - a) es la longitud del intervalo sobre el cual la serie, ecuación (2-83), es válida; y, del ejemplo
2-11, Kn = T0. El teorema de la serie de Fourier sigue de la ecuación (2-83).
Teorema: Una forma de onda física (es decir, de energía finita) puede representarse sobre el intervalo a < t <
a + T0 mediante la serie exponencial compleja de Fourier

donde los coeficientes complejos (fasores) de Fourier son

y donde ω0 = 2πf0 = 2π/T0

Series de Fourier
Si la forma de onda w(t) es periódica con un periodo de T0 , esta representación por series de Fourier es
válida durante todo el tiempo (es decir, sobre el intervalo -∞ < t < ∞), debido a que w(t) y ϕ(t) son periódicas
con el mismo periodo fundamental de T0. Para este caso de formas de onda periódicas, la opción de un valor
para el parámetro a es arbitraria y a menudo se consideran los valores de a = 0 o a = -T0/2 como
conveniencia matemática. La frecuencia f0 = 1/ T0 se llama frecuencia fundamental y la nf0 n-ésima
frecuencia armónica cuando n > 1. El coeficiente de Fourier c0 es equivalente al valor de DC de la forma de
onda w(t) debido a que, cuando n = 0, la ecuación (2-89) es idéntica a la ecuación (2-4).
cn es, en general, un número complejo. También es un fasor porque es el coeficiente de una función del tipo
ejωt. Por consecuencia, la ecuación (2-88) es una serie compleja o de fasor de Fourier.
Algunas propiedades de la serie compleja de Fourier son las siguientes:

Series de Fourier

Ver demostración

Series de Fourier
Series de Fourier en Cuadratura
La forma en cuadratura de la serie de Fourier que representa a cualquier forma de onda física w(t) sobre el
intervalo a < t < a + T0 es

donde las funciones ortogonales son cos nω0 t y sen nω0 t. Utilizando la ecuación (2-84) se encuentra que
estos coeficientes de Fourier están dados por

De nuevo, debido a que estas funciones ortogonales senoidales son periódicas, la serie es también periódica
con el periodo fundamental T0, y si w(t) es periódica con un periodo de T0, la serie representará a w(t) sobre
la línea real entera (es decir, -∞ < t < ∞).

Series de Fourier
La serie compleja de Fourier [ecuación (2-88)] y la serie de Fourier en cuadratura [ecuación (2-95)] son
representaciones equivalentes. Esto puede demostrarse expresando el número complejo cn en términos de
sus partes conjugadas, xn y yn. Esto es, utilizando la ecuación (2-89), obtenemos

para todos lo valores de n. Por lo tanto,

Utilizando las ecuaciones (2-96) y (2-97) obtenemos las identidades

Series de Fourier
Series Polares de Fourier
La serie de Fourier en cuadratura, en la ecuación (2-95), puede arreglarse y escribirse en una forma polar
(amplitud-fase). La forma polar es

donde w(t) es real y

Las últimas dos ecuaciones pueden invertirse, y se obtiene que

donde el operador de ángulo está definido por

Series de Fourier
Nota:

La equivalencia entre los coeficientes de la serie de Fourier se demuestra geométricamente en la figura 2-11.
Se observa que, en general, cuando una forma de onda física (real) w(t) se representa mediante una serie de
Fourier, el término cn es un número complejo con una parte real xn y una imaginaria yn (las cuales son ambas
números reales) y, por consecuencia, an, bn, Dn y ϕn son números reales. Además, Dn es un número no
negativo para n ≥ 1. Más aún, todos estos coeficientes describen la cantidad de componentes de frecuencia
contenidos en la señal a la frecuencia de nf0 Hz.

Series de Fourier
En la práctica, la serie de Fourier (FS, por sus siglas en inglés) es a menudo truncada a un número finito de
términos. Por ejemplo, cinco o diez harmónicas podrían utilizarse para aproximar la serie FS para una onda
cuadrada. Por tanto, surge una importante cuestión: para la serie finita, ¿son iguales los valores óptimos
para los coeficientes de la serie que los de los términos correspondientes en la serie infinita, o acaso
deberán ajustarse los coeficientes para la serie infinita a algunos otros nuevos valores para suministrar la
mejor aproximación de serie finita? La respuesta es que los valores óptimos para los coeficientes de la FS son
los mismos que los de los términos correspondientes en la FS no truncada.
Como se ha visto, las formas compleja, en cuadratura y polar de la serie de Fourier son todas equivalentes,
pero la pregunta es: ¿cuál es la que debe utilizarse? La respuesta depende del problema en particular a
solucionar. Si éste se resolverá analíticamente, los coeficientes complejos son generalmente más fáciles de
evaluar. Por otra parte, si se están llevando a cabo mediciones de una forma de onda en un laboratorio,
entonces la forma polar es a menudo más conveniente, ya que los instrumentos de medición, como los
voltímetros, osciloscopios, voltímetros vectoriales y analizadores de onda suministran lecturas de magnitud
y de fase. Utilizando los resultados de laboratorio, los ingenieros pueden realizar gráficas espectrales de un
solo lado en donde se dibujan líneas correspondientes a cada valor de Dn a f = f0, donde n ≥ 0 (es decir, sólo
frecuencias positivas). Por supuesto que esta gráfica espectral puede convertirse en un espectro bilateral
dado por la gráfica de cn utilizando la ecuación (2-94). Se entiende que un espectro bilateral está definido
como la transformada de Fourier de w(t). Esto se demuestra en la figura 2-4, donde la ecuación (2-109), del
siguiente teorema, puede utilizarse.

Series de Fourier
Ecuaciones y problemas usados anteriormente o de utilidad

Series de Fourier

Series de Fourier

Series de Fourier


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Series de Fourier

Series de Fourier
La serie de Fourier es un tipo particular de series ortogonales de gran utilidad en la solución de problemas
de ingeniería, especialmente de comunicación. Las funciones ortogonales utilizadas son senoidales o, en
forma equivalente, funciones exponenciales complejas.

Series Complejas de Fourier
La serie compleja de Fourier utiliza las funciones exponenciales ortogonales

Donde n varía sobre el rango de todos los valores enteros posibles, negativos, positivos y cero; ω0 = 2π/T0 ,
donde T0 = (b - a) es la longitud del intervalo sobre el cual la serie, ecuación (2-83), es válida; y, del ejemplo
2-11, Kn = T0. El teorema de la serie de Fourier sigue de la ecuación (2-83).
Teorema: Una forma de onda física (es decir, de energía finita) puede representarse sobre el intervalo a < t <
a + T0 mediante la serie exponencial compleja de Fourier

donde los coeficientes complejos (fasores) de Fourier son

y donde ω0 = 2πf0 = 2π/T0

Series de Fourier
Si la forma de onda w(t) es periódica con un periodo de T0 , esta representación por series de Fourier es
válida durante todo el tiempo (es decir, sobre el intervalo -∞ < t < ∞), debido a que w(t) y ϕ(t) son periódicas
con el mismo periodo fundamental de T0. Para este caso de formas de onda periódicas, la opción de un valor
para el parámetro a es arbitraria y a menudo se consideran los valores de a = 0 o a = -T0/2 como
conveniencia matemática. La frecuencia f0 = 1/ T0 se llama frecuencia fundamental y la nf0 n-ésima
frecuencia armónica cuando n > 1. El coeficiente de Fourier c0 es equivalente al valor de DC de la forma de
onda w(t) debido a que, cuando n = 0, la ecuación (2-89) es idéntica a la ecuación (2-4).
cn es, en general, un número complejo. También es un fasor porque es el coeficiente de una función del tipo
ejωt. Por consecuencia, la ecuación (2-88) es una serie compleja o de fasor de Fourier.
Algunas propiedades de la serie compleja de Fourier son las siguientes:

Series de Fourier

Ver demostración

Series de Fourier
Series de Fourier en Cuadratura
La forma en cuadratura de la serie de Fourier que representa a cualquier forma de onda física w(t) sobre el
intervalo a < t < a + T0 es

donde las funciones ortogonales son cos nω0 t y sen nω0 t. Utilizando la ecuación (2-84) se encuentra que
estos coeficientes de Fourier están dados por

De nuevo, debido a que estas funciones ortogonales senoidales son periódicas, la serie es también periódica
con el periodo fundamental T0, y si w(t) es periódica con un periodo de T0, la serie representará a w(t) sobre
la línea real entera (es decir, -∞ < t < ∞).

Series de Fourier
La serie compleja de Fourier [ecuación (2-88)] y la serie de Fourier en cuadratura [ecuación (2-95)] son
representaciones equivalentes. Esto puede demostrarse expresando el número complejo cn en términos de
sus partes conjugadas, xn y yn. Esto es, utilizando la ecuación (2-89), obtenemos

para todos lo valores de n. Por lo tanto,

Utilizando las ecuaciones (2-96) y (2-97) obtenemos las identidades

Series de Fourier
Series Polares de Fourier
La serie de Fourier en cuadratura, en la ecuación (2-95), puede arreglarse y escribirse en una forma polar
(amplitud-fase). La forma polar es

donde w(t) es real y

Las últimas dos ecuaciones pueden invertirse, y se obtiene que

donde el operador de ángulo está definido por

Series de Fourier
Nota:

La equivalencia entre los coeficientes de la serie de Fourier se demuestra geométricamente en la figura 2-11.
Se observa que, en general, cuando una forma de onda física (real) w(t) se representa mediante una serie de
Fourier, el término cn es un número complejo con una parte real xn y una imaginaria yn (las cuales son ambas
números reales) y, por consecuencia, an, bn, Dn y ϕn son números reales. Además, Dn es un número no
negativo para n ≥ 1. Más aún, todos estos coeficientes describen la cantidad de componentes de frecuencia
contenidos en la señal a la frecuencia de nf0 Hz.

Series de Fourier
En la práctica, la serie de Fourier (FS, por sus siglas en inglés) es a menudo truncada a un número finito de
términos. Por ejemplo, cinco o diez harmónicas podrían utilizarse para aproximar la serie FS para una onda
cuadrada. Por tanto, surge una importante cuestión: para la serie finita, ¿son iguales los valores óptimos
para los coeficientes de la serie que los de los términos correspondientes en la serie infinita, o acaso
deberán ajustarse los coeficientes para la serie infinita a algunos otros nuevos valores para suministrar la
mejor aproximación de serie finita? La respuesta es que los valores óptimos para los coeficientes de la FS son
los mismos que los de los términos correspondientes en la FS no truncada.
Como se ha visto, las formas compleja, en cuadratura y polar de la serie de Fourier son todas equivalentes,
pero la pregunta es: ¿cuál es la que debe utilizarse? La respuesta depende del problema en particular a
solucionar. Si éste se resolverá analíticamente, los coeficientes complejos son generalmente más fáciles de
evaluar. Por otra parte, si se están llevando a cabo mediciones de una forma de onda en un laboratorio,
entonces la forma polar es a menudo más conveniente, ya que los instrumentos de medición, como los
voltímetros, osciloscopios, voltímetros vectoriales y analizadores de onda suministran lecturas de magnitud
y de fase. Utilizando los resultados de laboratorio, los ingenieros pueden realizar gráficas espectrales de un
solo lado en donde se dibujan líneas correspondientes a cada valor de Dn a f = f0, donde n ≥ 0 (es decir, sólo
frecuencias positivas). Por supuesto que esta gráfica espectral puede convertirse en un espectro bilateral
dado por la gráfica de cn utilizando la ecuación (2-94). Se entiende que un espectro bilateral está definido
como la transformada de Fourier de w(t). Esto se demuestra en la figura 2-4, donde la ecuación (2-109), del
siguiente teorema, puede utilizarse.

Series de Fourier
Ecuaciones y problemas usados anteriormente o de utilidad

Series de Fourier

Series de Fourier

Series de Fourier


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Espectros de Línea y Densidad Espectral de Potencia de Ondas Periódicas

Series de Fourier

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La serie de Fourier es un tipo particular de series ortogonales de gran utilidad en la solución de problemas
de ingeniería, especialmente de comunicación. Las funciones ortogonales utilizadas son senoidales o, en
forma equivalente, funciones exponenciales complejas.

Series Complejas de Fourier
La serie compleja de Fourier utiliza las funciones exponenciales ortogonales

Donde n varía sobre el rango de todos los valores enteros posibles, negativos, positivos y cero; ω0 = 2π/T0 ,
donde T0 = (b - a) es la longitud del intervalo sobre el cual la serie, ecuación (2-83), es válida; y, del ejemplo
2-11, Kn = T0. El teorema de la serie de Fourier sigue de la ecuación (2-83).
Teorema: Una forma de onda física (es decir, de energía finita) puede representarse sobre el intervalo a < t <
a + T0 mediante la serie exponencial compleja de Fourier

donde los coeficientes complejos (fasores) de Fourier son

y donde ω0 = 2πf0 = 2π/T0

Series de Fourier
Si la forma de onda w(t) es periódica con un periodo de T0 , esta representación por series de Fourier es
válida durante todo el tiempo (es decir, sobre el intervalo -∞ < t < ∞), debido a que w(t) y ϕ(t) son periódicas
con el mismo periodo fundamental de T0. Para este caso de formas de onda periódicas, la opción de un valor
para el parámetro a es arbitraria y a menudo se consideran los valores de a = 0 o a = -T0/2 como
conveniencia matemática. La frecuencia f0 = 1/ T0 se llama frecuencia fundamental y la nf0 n-ésima
frecuencia armónica cuando n > 1. El coeficiente de Fourier c0 es equivalente al valor de DC de la forma de
onda w(t) debido a que, cuando n = 0, la ecuación (2-89) es idéntica a la ecuación (2-4).
cn es, en general, un número complejo. También es un fasor porque es el coeficiente de una función del tipo
ejωt. Por consecuencia, la ecuación (2-88) es una serie compleja o de fasor de Fourier.
Algunas propiedades de la serie compleja de Fourier son las siguientes:

Series de Fourier

Ver demostración

Series de Fourier
Series de Fourier en Cuadratura
La forma en cuadratura de la serie de Fourier que representa a cualquier forma de onda física w(t) sobre el
intervalo a < t < a + T0 es

donde las funciones ortogonales son cos nω0 t y sen nω0 t. Utilizando la ecuación (2-84) se encuentra que
estos coeficientes de Fourier están dados por

De nuevo, debido a que estas funciones ortogonales senoidales son periódicas, la serie es también periódica
con el periodo fundamental T0, y si w(t) es periódica con un periodo de T0, la serie representará a w(t) sobre
la línea real entera (es decir, -∞ < t < ∞).

Series de Fourier
La serie compleja de Fourier [ecuación (2-88)] y la serie de Fourier en cuadratura [ecuación (2-95)] son
representaciones equivalentes. Esto puede demostrarse expresando el número complejo cn en términos de
sus partes conjugadas, xn y yn. Esto es, utilizando la ecuación (2-89), obtenemos

para todos lo valores de n. Por lo tanto,

Utilizando las ecuaciones (2-96) y (2-97) obtenemos las identidades

Series de Fourier
Series Polares de Fourier
La serie de Fourier en cuadratura, en la ecuación (2-95), puede arreglarse y escribirse en una forma polar
(amplitud-fase). La forma polar es

donde w(t) es real y

Las últimas dos ecuaciones pueden invertirse, y se obtiene que

donde el operador de ángulo está definido por

Series de Fourier
Nota:

La equivalencia entre los coeficientes de la serie de Fourier se demuestra geométricamente en la figura 2-11.
Se observa que, en general, cuando una forma de onda física (real) w(t) se representa mediante una serie de
Fourier, el término cn es un número complejo con una parte real xn y una imaginaria yn (las cuales son ambas
números reales) y, por consecuencia, an, bn, Dn y ϕn son números reales. Además, Dn es un número no
negativo para n ≥ 1. Más aún, todos estos coeficientes describen la cantidad de componentes de frecuencia
contenidos en la señal a la frecuencia de nf0 Hz.

Series de Fourier
En la práctica, la serie de Fourier (FS, por sus siglas en inglés) es a menudo truncada a un número finito de
términos. Por ejemplo, cinco o diez harmónicas podrían utilizarse para aproximar la serie FS para una onda
cuadrada. Por tanto, surge una importante cuestión: para la serie finita, ¿son iguales los valores óptimos
para los coeficientes de la serie que los de los términos correspondientes en la serie infinita, o acaso
deberán ajustarse los coeficientes para la serie infinita a algunos otros nuevos valores para suministrar la
mejor aproximación de serie finita? La respuesta es que los valores óptimos para los coeficientes de la FS son
los mismos que los de los términos correspondientes en la FS no truncada.
Como se ha visto, las formas compleja, en cuadratura y polar de la serie de Fourier son todas equivalentes,
pero la pregunta es: ¿cuál es la que debe utilizarse? La respuesta depende del problema en particular a
solucionar. Si éste se resolverá analíticamente, los coeficientes complejos son generalmente más fáciles de
evaluar. Por otra parte, si se están llevando a cabo mediciones de una forma de onda en un laboratorio,
entonces la forma polar es a menudo más conveniente, ya que los instrumentos de medición, como los
voltímetros, osciloscopios, voltímetros vectoriales y analizadores de onda suministran lecturas de magnitud
y de fase. Utilizando los resultados de laboratorio, los ingenieros pueden realizar gráficas espectrales de un
solo lado en donde se dibujan líneas correspondientes a cada valor de Dn a f = f0, donde n ≥ 0 (es decir, sólo
frecuencias positivas). Por supuesto que esta gráfica espectral puede convertirse en un espectro bilateral
dado por la gráfica de cn utilizando la ecuación (2-94). Se entiende que un espectro bilateral está definido
como la transformada de Fourier de w(t). Esto se demuestra en la figura 2-4, donde la ecuación (2-109), del
siguiente teorema, puede utilizarse.

Series de Fourier
Ecuaciones y problemas usados anteriormente o de utilidad

Series de Fourier

Series de Fourier

Series de Fourier


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Series de Fourier
Series de Fourier Complejas, en Cuadratura y Polares
Espectros de Línea y Densidad Espectral de Potencia de Ondas Periódicas

Series de Fourier

Series de Fourier
La serie de Fourier es un tipo particular de series ortogonales de gran utilidad en la solución de problemas
de ingeniería, especialmente de comunicación. Las funciones ortogonales utilizadas son senoidales o, en
forma equivalente, funciones exponenciales complejas.

Series Complejas de Fourier
La serie compleja de Fourier utiliza las funciones exponenciales ortogonales

Donde n varía sobre el rango de todos los valores enteros posibles, negativos, positivos y cero; ω0 = 2π/T0 ,
donde T0 = (b - a) es la longitud del intervalo sobre el cual la serie, ecuación (2-83), es válida; y, del ejemplo
2-11, Kn = T0. El teorema de la serie de Fourier sigue de la ecuación (2-83).
Teorema: Una forma de onda física (es decir, de energía finita) puede representarse sobre el intervalo a < t <
a + T0 mediante la serie exponencial compleja de Fourier

donde los coeficientes complejos (fasores) de Fourier son

y donde ω0 = 2πf0 = 2π/T0

Series de Fourier
Si la forma de onda w(t) es periódica con un periodo de T0 , esta representación por series de Fourier es
válida durante todo el tiempo (es decir, sobre el intervalo -∞ < t < ∞), debido a que w(t) y ϕ(t) son periódicas
con el mismo periodo fundamental de T0. Para este caso de formas de onda periódicas, la opción de un valor
para el parámetro a es arbitraria y a menudo se consideran los valores de a = 0 o a = -T0/2 como
conveniencia matemática. La frecuencia f0 = 1/ T0 se llama frecuencia fundamental y la nf0 n-ésima
frecuencia armónica cuando n > 1. El coeficiente de Fourier c0 es equivalente al valor de DC de la forma de
onda w(t) debido a que, cuando n = 0, la ecuación (2-89) es idéntica a la ecuación (2-4).
cn es, en general, un número complejo. También es un fasor porque es el coeficiente de una función del tipo
ejωt. Por consecuencia, la ecuación (2-88) es una serie compleja o de fasor de Fourier.
Algunas propiedades de la serie compleja de Fourier son las siguientes:

Series de Fourier

Ver demostración

Series de Fourier
Series de Fourier en Cuadratura
La forma en cuadratura de la serie de Fourier que representa a cualquier forma de onda física w(t) sobre el
intervalo a < t < a + T0 es

donde las funciones ortogonales son cos nω0 t y sen nω0 t. Utilizando la ecuación (2-84) se encuentra que
estos coeficientes de Fourier están dados por

De nuevo, debido a que estas funciones ortogonales senoidales son periódicas, la serie es también periódica
con el periodo fundamental T0, y si w(t) es periódica con un periodo de T0, la serie representará a w(t) sobre
la línea real entera (es decir, -∞ < t < ∞).

Series de Fourier
La serie compleja de Fourier [ecuación (2-88)] y la serie de Fourier en cuadratura [ecuación (2-95)] son
representaciones equivalentes. Esto puede demostrarse expresando el número complejo cn en términos de
sus partes conjugadas, xn y yn. Esto es, utilizando la ecuación (2-89), obtenemos

para todos lo valores de n. Por lo tanto,

Utilizando las ecuaciones (2-96) y (2-97) obtenemos las identidades

Series de Fourier
Series Polares de Fourier
La serie de Fourier en cuadratura, en la ecuación (2-95), puede arreglarse y escribirse en una forma polar
(amplitud-fase). La forma polar es

donde w(t) es real y

Las últimas dos ecuaciones pueden invertirse, y se obtiene que

donde el operador de ángulo está definido por

Series de Fourier
Nota:

La equivalencia entre los coeficientes de la serie de Fourier se demuestra geométricamente en la figura 2-11.
Se observa que, en general, cuando una forma de onda física (real) w(t) se representa mediante una serie de
Fourier, el término cn es un número complejo con una parte real xn y una imaginaria yn (las cuales son ambas
números reales) y, por consecuencia, an, bn, Dn y ϕn son números reales. Además, Dn es un número no
negativo para n ≥ 1. Más aún, todos estos coeficientes describen la cantidad de componentes de frecuencia
contenidos en la señal a la frecuencia de nf0 Hz.

Series de Fourier
En la práctica, la serie de Fourier (FS, por sus siglas en inglés) es a menudo truncada a un número finito de
términos. Por ejemplo, cinco o diez harmónicas podrían utilizarse para aproximar la serie FS para una onda
cuadrada. Por tanto, surge una importante cuestión: para la serie finita, ¿son iguales los valores óptimos
para los coeficientes de la serie que los de los términos correspondientes en la serie infinita, o acaso
deberán ajustarse los coeficientes para la serie infinita a algunos otros nuevos valores para suministrar la
mejor aproximación de serie finita? La respuesta es que los valores óptimos para los coeficientes de la FS son
los mismos que los de los términos correspondientes en la FS no truncada.
Como se ha visto, las formas compleja, en cuadratura y polar de la serie de Fourier son todas equivalentes,
pero la pregunta es: ¿cuál es la que debe utilizarse? La respuesta depende del problema en particular a
solucionar. Si éste se resolverá analíticamente, los coeficientes complejos son generalmente más fáciles de
evaluar. Por otra parte, si se están llevando a cabo mediciones de una forma de onda en un laboratorio,
entonces la forma polar es a menudo más conveniente, ya que los instrumentos de medición, como los
voltímetros, osciloscopios, voltímetros vectoriales y analizadores de onda suministran lecturas de magnitud
y de fase. Utilizando los resultados de laboratorio, los ingenieros pueden realizar gráficas espectrales de un
solo lado en donde se dibujan líneas correspondientes a cada valor de Dn a f = f0, donde n ≥ 0 (es decir, sólo
frecuencias positivas). Por supuesto que esta gráfica espectral puede convertirse en un espectro bilateral
dado por la gráfica de cn utilizando la ecuación (2-94). Se entiende que un espectro bilateral está definido
como la transformada de Fourier de w(t). Esto se demuestra en la figura 2-4, donde la ecuación (2-109), del
siguiente teorema, puede utilizarse.

Series de Fourier
Ecuaciones y problemas usados anteriormente o de utilidad

Series de Fourier

Series de Fourier

Series de Fourier


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Espectros de Línea y Densidad Espectral de Potencia de Ondas Periódicas

Series de Fourier

Series de Fourier
La serie de Fourier es un tipo particular de series ortogonales de gran utilidad en la solución de problemas
de ingeniería, especialmente de comunicación. Las funciones ortogonales utilizadas son senoidales o, en
forma equivalente, funciones exponenciales complejas.

Series Complejas de Fourier
La serie compleja de Fourier utiliza las funciones exponenciales ortogonales

Donde n varía sobre el rango de todos los valores enteros posibles, negativos, positivos y cero; ω0 = 2π/T0 ,
donde T0 = (b - a) es la longitud del intervalo sobre el cual la serie, ecuación (2-83), es válida; y, del ejemplo
2-11, Kn = T0. El teorema de la serie de Fourier sigue de la ecuación (2-83).
Teorema: Una forma de onda física (es decir, de energía finita) puede representarse sobre el intervalo a < t <
a + T0 mediante la serie exponencial compleja de Fourier

donde los coeficientes complejos (fasores) de Fourier son

y donde ω0 = 2πf0 = 2π/T0

Series de Fourier
Si la forma de onda w(t) es periódica con un periodo de T0 , esta representación por series de Fourier es
válida durante todo el tiempo (es decir, sobre el intervalo -∞ < t < ∞), debido a que w(t) y ϕ(t) son periódicas
con el mismo periodo fundamental de T0. Para este caso de formas de onda periódicas, la opción de un valor
para el parámetro a es arbitraria y a menudo se consideran los valores de a = 0 o a = -T0/2 como
conveniencia matemática. La frecuencia f0 = 1/ T0 se llama frecuencia fundamental y la nf0 n-ésima
frecuencia armónica cuando n > 1. El coeficiente de Fourier c0 es equivalente al valor de DC de la forma de
onda w(t) debido a que, cuando n = 0, la ecuación (2-89) es idéntica a la ecuación (2-4).
cn es, en general, un número complejo. También es un fasor porque es el coeficiente de una función del tipo
ejωt. Por consecuencia, la ecuación (2-88) es una serie compleja o de fasor de Fourier.
Algunas propiedades de la serie compleja de Fourier son las siguientes:

Series de Fourier

Ver demostración

Series de Fourier
Series de Fourier en Cuadratura
La forma en cuadratura de la serie de Fourier que representa a cualquier forma de onda física w(t) sobre el
intervalo a < t < a + T0 es

donde las funciones ortogonales son cos nω0 t y sen nω0 t. Utilizando la ecuación (2-84) se encuentra que
estos coeficientes de Fourier están dados por

De nuevo, debido a que estas funciones ortogonales senoidales son periódicas, la serie es también periódica
con el periodo fundamental T0, y si w(t) es periódica con un periodo de T0, la serie representará a w(t) sobre
la línea real entera (es decir, -∞ < t < ∞).

Series de Fourier
La serie compleja de Fourier [ecuación (2-88)] y la serie de Fourier en cuadratura [ecuación (2-95)] son
representaciones equivalentes. Esto puede demostrarse expresando el número complejo cn en términos de
sus partes conjugadas, xn y yn. Esto es, utilizando la ecuación (2-89), obtenemos

para todos lo valores de n. Por lo tanto,

Utilizando las ecuaciones (2-96) y (2-97) obtenemos las identidades

Series de Fourier
Series Polares de Fourier
La serie de Fourier en cuadratura, en la ecuación (2-95), puede arreglarse y escribirse en una forma polar
(amplitud-fase). La forma polar es

donde w(t) es real y

Las últimas dos ecuaciones pueden invertirse, y se obtiene que

donde el operador de ángulo está definido por

Series de Fourier
Nota:

La equivalencia entre los coeficientes de la serie de Fourier se demuestra geométricamente en la figura 2-11.
Se observa que, en general, cuando una forma de onda física (real) w(t) se representa mediante una serie de
Fourier, el término cn es un número complejo con una parte real xn y una imaginaria yn (las cuales son ambas
números reales) y, por consecuencia, an, bn, Dn y ϕn son números reales. Además, Dn es un número no
negativo para n ≥ 1. Más aún, todos estos coeficientes describen la cantidad de componentes de frecuencia
contenidos en la señal a la frecuencia de nf0 Hz.

Series de Fourier
En la práctica, la serie de Fourier (FS, por sus siglas en inglés) es a menudo truncada a un número finito de
términos. Por ejemplo, cinco o diez harmónicas podrían utilizarse para aproximar la serie FS para una onda
cuadrada. Por tanto, surge una importante cuestión: para la serie finita, ¿son iguales los valores óptimos
para los coeficientes de la serie que los de los términos correspondientes en la serie infinita, o acaso
deberán ajustarse los coeficientes para la serie infinita a algunos otros nuevos valores para suministrar la
mejor aproximación de serie finita? La respuesta es que los valores óptimos para los coeficientes de la FS son
los mismos que los de los términos correspondientes en la FS no truncada.
Como se ha visto, las formas compleja, en cuadratura y polar de la serie de Fourier son todas equivalentes,
pero la pregunta es: ¿cuál es la que debe utilizarse? La respuesta depende del problema en particular a
solucionar. Si éste se resolverá analíticamente, los coeficientes complejos son generalmente más fáciles de
evaluar. Por otra parte, si se están llevando a cabo mediciones de una forma de onda en un laboratorio,
entonces la forma polar es a menudo más conveniente, ya que los instrumentos de medición, como los
voltímetros, osciloscopios, voltímetros vectoriales y analizadores de onda suministran lecturas de magnitud
y de fase. Utilizando los resultados de laboratorio, los ingenieros pueden realizar gráficas espectrales de un
solo lado en donde se dibujan líneas correspondientes a cada valor de Dn a f = f0, donde n ≥ 0 (es decir, sólo
frecuencias positivas). Por supuesto que esta gráfica espectral puede convertirse en un espectro bilateral
dado por la gráfica de cn utilizando la ecuación (2-94). Se entiende que un espectro bilateral está definido
como la transformada de Fourier de w(t). Esto se demuestra en la figura 2-4, donde la ecuación (2-109), del
siguiente teorema, puede utilizarse.

Series de Fourier
Ecuaciones y problemas usados anteriormente o de utilidad

Series de Fourier

Series de Fourier

Series de Fourier


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Series de Fourier

Series de Fourier
La serie de Fourier es un tipo particular de series ortogonales de gran utilidad en la solución de problemas
de ingeniería, especialmente de comunicación. Las funciones ortogonales utilizadas son senoidales o, en
forma equivalente, funciones exponenciales complejas.

Series Complejas de Fourier
La serie compleja de Fourier utiliza las funciones exponenciales ortogonales

Donde n varía sobre el rango de todos los valores enteros posibles, negativos, positivos y cero; ω0 = 2π/T0 ,
donde T0 = (b - a) es la longitud del intervalo sobre el cual la serie, ecuación (2-83), es válida; y, del ejemplo
2-11, Kn = T0. El teorema de la serie de Fourier sigue de la ecuación (2-83).
Teorema: Una forma de onda física (es decir, de energía finita) puede representarse sobre el intervalo a < t <
a + T0 mediante la serie exponencial compleja de Fourier

donde los coeficientes complejos (fasores) de Fourier son

y donde ω0 = 2πf0 = 2π/T0

Series de Fourier
Si la forma de onda w(t) es periódica con un periodo de T0 , esta representación por series de Fourier es
válida durante todo el tiempo (es decir, sobre el intervalo -∞ < t < ∞), debido a que w(t) y ϕ(t) son periódicas
con el mismo periodo fundamental de T0. Para este caso de formas de onda periódicas, la opción de un valor
para el parámetro a es arbitraria y a menudo se consideran los valores de a = 0 o a = -T0/2 como
conveniencia matemática. La frecuencia f0 = 1/ T0 se llama frecuencia fundamental y la nf0 n-ésima
frecuencia armónica cuando n > 1. El coeficiente de Fourier c0 es equivalente al valor de DC de la forma de
onda w(t) debido a que, cuando n = 0, la ecuación (2-89) es idéntica a la ecuación (2-4).
cn es, en general, un número complejo. También es un fasor porque es el coeficiente de una función del tipo
ejωt. Por consecuencia, la ecuación (2-88) es una serie compleja o de fasor de Fourier.
Algunas propiedades de la serie compleja de Fourier son las siguientes:

Series de Fourier

Ver demostración

Series de Fourier
Series de Fourier en Cuadratura
La forma en cuadratura de la serie de Fourier que representa a cualquier forma de onda física w(t) sobre el
intervalo a < t < a + T0 es

donde las funciones ortogonales son cos nω0 t y sen nω0 t. Utilizando la ecuación (2-84) se encuentra que
estos coeficientes de Fourier están dados por

De nuevo, debido a que estas funciones ortogonales senoidales son periódicas, la serie es también periódica
con el periodo fundamental T0, y si w(t) es periódica con un periodo de T0, la serie representará a w(t) sobre
la línea real entera (es decir, -∞ < t < ∞).

Series de Fourier
La serie compleja de Fourier [ecuación (2-88)] y la serie de Fourier en cuadratura [ecuación (2-95)] son
representaciones equivalentes. Esto puede demostrarse expresando el número complejo cn en términos de
sus partes conjugadas, xn y yn. Esto es, utilizando la ecuación (2-89), obtenemos

para todos lo valores de n. Por lo tanto,

Utilizando las ecuaciones (2-96) y (2-97) obtenemos las identidades

Series de Fourier
Series Polares de Fourier
La serie de Fourier en cuadratura, en la ecuación (2-95), puede arreglarse y escribirse en una forma polar
(amplitud-fase). La forma polar es

donde w(t) es real y

Las últimas dos ecuaciones pueden invertirse, y se obtiene que

donde el operador de ángulo está definido por

Series de Fourier
Nota:

La equivalencia entre los coeficientes de la serie de Fourier se demuestra geométricamente en la figura 2-11.
Se observa que, en general, cuando una forma de onda física (real) w(t) se representa mediante una serie de
Fourier, el término cn es un número complejo con una parte real xn y una imaginaria yn (las cuales son ambas
números reales) y, por consecuencia, an, bn, Dn y ϕn son números reales. Además, Dn es un número no
negativo para n ≥ 1. Más aún, todos estos coeficientes describen la cantidad de componentes de frecuencia
contenidos en la señal a la frecuencia de nf0 Hz.

Series de Fourier
En la práctica, la serie de Fourier (FS, por sus siglas en inglés) es a menudo truncada a un número finito de
términos. Por ejemplo, cinco o diez harmónicas podrían utilizarse para aproximar la serie FS para una onda
cuadrada. Por tanto, surge una importante cuestión: para la serie finita, ¿son iguales los valores óptimos
para los coeficientes de la serie que los de los términos correspondientes en la serie infinita, o acaso
deberán ajustarse los coeficientes para la serie infinita a algunos otros nuevos valores para suministrar la
mejor aproximación de serie finita? La respuesta es que los valores óptimos para los coeficientes de la FS son
los mismos que los de los términos correspondientes en la FS no truncada.
Como se ha visto, las formas compleja, en cuadratura y polar de la serie de Fourier son todas equivalentes,
pero la pregunta es: ¿cuál es la que debe utilizarse? La respuesta depende del problema en particular a
solucionar. Si éste se resolverá analíticamente, los coeficientes complejos son generalmente más fáciles de
evaluar. Por otra parte, si se están llevando a cabo mediciones de una forma de onda en un laboratorio,
entonces la forma polar es a menudo más conveniente, ya que los instrumentos de medición, como los
voltímetros, osciloscopios, voltímetros vectoriales y analizadores de onda suministran lecturas de magnitud
y de fase. Utilizando los resultados de laboratorio, los ingenieros pueden realizar gráficas espectrales de un
solo lado en donde se dibujan líneas correspondientes a cada valor de Dn a f = f0, donde n ≥ 0 (es decir, sólo
frecuencias positivas). Por supuesto que esta gráfica espectral puede convertirse en un espectro bilateral
dado por la gráfica de cn utilizando la ecuación (2-94). Se entiende que un espectro bilateral está definido
como la transformada de Fourier de w(t). Esto se demuestra en la figura 2-4, donde la ecuación (2-109), del
siguiente teorema, puede utilizarse.

Series de Fourier
Ecuaciones y problemas usados anteriormente o de utilidad

Series de Fourier

Series de Fourier

Series de Fourier