Transcript Repaso de Sistemas Lineales Sistemas lineales invariables en el tiempo, Respuesta al impulse, Función de transferencia, Transmisión de distorción, Distorción de señales.

Repaso de Sistemas Lineales
Sistemas lineales invariables en el tiempo, Respuesta al impulse, Función de
transferencia, Transmisión de distorción, Distorción de señales
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Sistemas Lineales Invariables con el Tiempo
Un filtro o sistema electrónico es lineal cuando se mantiene la superposición, esto es, cuando
donde y(t) es la salida y x(t) = a1x1(t) + a2x2(t) es la entrada, como se muestra en la figura 2-14. L [ ] denota
el operador de sistema lineal (ecuación diferencial) que actúa sobre [∙]. El sistema es invariable con el
tiempo si, para cualquier entrada retrasada x(t – t0), la salida se retrasa justo por la misma cantidad y(t - t0).
Esto es, la forma de la respuesta es la misma sin importar cuándo la entrada se aplica al sistema.
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Respuesta al Impulso
Un sistema lineal invariable con el tiempo sin bloques de retraso se describe mediante una ecuación
diferencial lineal ordinaria con coeficientes constantes y puede caracterizarse por su respuesta de impulso
h(t). La respuesta de impulso es la solución a la ecuación diferencial cuando la función de fuerza es una
función delta de Dirac (es la salida del sistema cuando la entrada es un impulso). Esto es, y(t) = h(t) cuando
x(t) = δ(t). En redes físicas la respuesta de impulso debe ser causal. Esto es, que h(t) = 0 para t < 0.
La respuesta de impulso puede utilizarse para obtener la salida del sistema cuando la entrada no es un
impulso. En tal caso, una forma de onda general a la entrada puede aproximarse mediante
lo cual indica que las muestras de la entrada se toman a intervalos de ∆t segundos. Entonces, al utilizar las
propiedades de invariabilidad con el tiempo y de superposición se encuentra que la salida es
aproximadamente
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Esta expresión se convierte en el resultado exacto conforme ∆t se aproxima a cero. Dejando que n ∆t = λ se
obtiene que
Una integral de este tipo se conoce como operación de convolución, como fue descrita por primera vez en la
ecuación (2-62). Esto es, la forma de onda de salida para un sistema (red) invariable con el tiempo puede
obtenerse mediante la convolución de la forma de onda de entrada con la respuesta de impulso para el
sistema. Por consecuencia, la respuesta de impulso puede utilizare para caracterizar la respuesta del sistema
en el dominio del tiempo, como se ilustra en la figura 2-14.
Función de Transferencia
El espectro de la señal de salida se obtiene tomando la transformada de Fourier de ambos lados de la
ecuación (2-133). Utilizando el teorema de convolución de la tabla 2-1 se obtiene que
donde H(f) = F {h(t)} es la función de transferencia o respuesta de frecuencia del sistema o red. Esto es, las
respuestas de impulso y de frecuencia son un par de la transformada de Fourier:
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Por supuesto que la función de transferencia H(f) es, en general, una cantidad compleja y puede escribirse
en forma polar como
donde |H(f)| es la respuesta de amplitud (o magnitud) y
es la respuesta de fase del sistema. Más aún, debido a que h(t) es una función real de tiempo (para
redes reales), se sigue de las ecuaciones (2-38) y (2-39) que |H(f)| es una función par de frecuencia y
una función impar de frecuencia.
La función de transferencia de un sistema lineal invariable con el tiempo puede medirse con una señal
senoidal de prueba que se barre sobre la banda de frecuencias de interés. Por ejemplo, si
entonces la salida de la red será
donde la amplitud y la fase pueden evaluarse en un osciloscopio o con un voltímetro vectorial.
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Si la entrada a la red es una señal periódica con un espectro dado por
donde, de la ecuación (2-109), {cn} son los coeficientes complejos de Fourier de la señal de entrada,
entonces el espectro de la señal periódica de salida, de la ecuación (2-134) es
Puede también obtenerse la relación entre la densidad espectral de potencia (PSD) a la entrada, P x(f), y
aquélla en la salida, P y(f), de un sistema lineal invariable con el tiempo. A partir de la ecuación (2-66) se
sabe que
Utilizando la ecuación (2-134) en un sentido formal se obtiene que
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Por consecuencia, la función de transferencia de potencia de la red es
Ver figura 2-15
Ver tabla 2-1
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Tabla 2-2
Ver ecuaciones (2-143) y (2-145)
Nota: En realidad la ganancia de potencia de ½, es decir 0.5, equivale a -3 dB (valor negativo, lo cual implica
por la definición Ganancia en dB = 10 log Ganancia, atenuación).
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Transmisión sin Distorsión
En los sistemas de comunicación a menudo se desea un canal sin distorsión. Esto implica que la salida del
canal es justamente proporcional a la versión retrasada de la entrada
donde A es la ganancia (que puede ser menor a la unidad) y Td es el retraso.
El requisito correspondiente en la especificación en el dominio de frecuencia se obtiene tomando la
transformada de Fourier de ambos lados de la ecuación (2-148)
Por lo tanto, para una transmisión sin distorsión se requiere que la función de transferencia del canal esté
dada por
lo cual implica que, para que no exista distorsión a la salida de un sistema lineal invariable con el tiempo,
deben satisfacerse dos requerimientos:
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1.
La respuesta de amplitud es plana (constante). Esto es,
2.
La repuesta de fase es una función lineal de frecuencia. Esto es,
Cuando se satisface la primera condición no existe distorsión en amplitud; cuando se satisface la segunda, no
existe distorsión en fase. Para una trasmisión sin distorsión, ambas condiciones deben satisfacerse.
El segundo requisito a menudo se especifica de manera equivalente utilizando el retraso de tiempo. El
retraso de tiempo del sistema se define como
De la ecuación (2-149) se requiere que
para una transmisión sin distorsión. Si Td(f) no es constante, entonces habrá una distorsión en fase debido a
que la respuesta de fase, ϴ(f), no es una función lineal de frecuencia.
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Ejemplo 2-14 y ecuación (2-145)
Figura 2-16
Ecuaciones (2-150 a y b)
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En aplicaciones de audio el oído humano es relativamente sensible a la distorsión de amplitud pero
insensible a la de fase. Esto se debe a que el error de fase de 15° para un filtro de audio a 15 kHz producirá
una variación (error) en retraso de tiempo de cerca de 3μs. Comparando este error con la duración de una
sílaba hablada que está en el rango de 0.01 a 0.1 segundos, el error de retraso de tiempo es despreciable
debido a una pobre respuesta de fase en el filtro. Sin embargo, un error de amplitud a 3 dB sería
ciertamente detectable por el oído humano. Por lo tanto, en las especificaciones de distorsión lineal en
amplificadores de audio de alta fidelidad, el principal interés está en la presencia de características de
respuesta de frecuencia con magnitud no plana y no en la característica de respuesta de fase.
En aplicaciones analógicas de video, lo opuesto es verdadero: la respuesta de fase se convierte en la
consideración dominante. Esto es porque el ojo humano es más sensible a errores de retraso de tiempo, los
cuales resultan en bordes borrosos de los objetos, en lugar de errores en amplitud (intensidad).
Para señales de datos, un filtro lineal puede causar que un pulso de datos en una ranura de tiempo se
propague a ranuras de tiempo adyacentes causando interferencia intersimbólica (ISI, por sus siglas en
inglés).
Si el sistema es no lineal o variable con el tiempo, entonces se producirán otros tipos de distorsión. Como
resultado de esto, aparecerán nuevos componentes de frecuencia a la salida que no están a la entrada. En
algunas aplicaciones de comunicación, las nuevas frecuencias son en realidad un resultado deseado y, en
consecuencia, no podrán considerarse como distorsión.
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Referencias
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