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Ingeniería de la Salud
IMAGEN BIOMEDICA
Matemáticas de los sistemas
de imagen biomédica (II)
2013-14
Métodos de adquisión de imágenes
médicas
1. Rayos- X
2. Tomografía Computerizada (CT o CAT)
3. Resonancia Magnética o nuclearMRI (or NMR)
4. PET / SPECT (Positron Emission Tomography,
Single Photon Emission Computerized Tomography)
RayosX
Rayos-X, Física
Los rayos-X se asocian con elctrones de la capa
interna del átomo.
Como los electrones desaceleran cuando chocan
con el objetivo, emiten una radiación
electromagnética en forma de rayos-X.
Se posiciona al paciente entre la fuente de rayosX y un film _> radiografías
Barato y relativamente fácil de usar
Potencialmente peligroso para el tejido biológico
RAYOS-X
Rayos-X
Similar a la luz
visible, pero con
mayor cantidad
de energía
Rayos-X-Visibilidad
Los huesos contienen átomos pesados -> con
muchos electrones, actuando como un
absorbedor de rayos-X.
Usado comunmente para visualizar estructuras
de hueso y pulmones.
Excelente para detectar cuerpos metálicos
extraños
Principal desventaja: pérdida de la estructura
anatómica
Todos los demas tejidos tienen un coeficiente
de absorción similar de rayos-X
Rayos-X - Imágenes
Los rayos-X pueden ser usados en
tomografía computerizada
Tomografía
Axial
Computerizada
Escaner CT(CAT) y su matemática
más relevante
Introducción a los escaneres CT
Algoritmos de reconstrucción
• Problemas básicos de reconstrucción a partir
de proyecciones
• Reconstrucciones simples usando álgebra
lineal
• El teorema de cortes de Fourier
• Backproyección (normal y filtrada)
Diagnosis médica no-invasiva basada en TC
– Computer
tomography CT
Un sistema de escaner CT
(From Jain’s Fig.10.1)
Diagnosis médica no-invasiva basada en TC
La fuente y dectector
se mueven alrededor
del cuerpo humano
(From Bovik’s Handbook
Fig.10.2.1)
Diagnosis médica no-invasiva basada en TC
Conjunto de proyecciones (integraciones) a través de diferentes
ángulos de una sección transversal.
Cada proyección pierde la resolución de su estructura interna.
Tipo de mediciones
transmisión (rayosX),
emisión, resonancia magnética (MRI)
Se quiere recuperar la estructura interna a partir de las
proyecciones
Diagnosis médica no invasiva basada en
Tomografía de emisiones
– La tomografía de emisiones (PET) mide los rayos gamma por la
atenuación de los isótopos de un nucleo radioactivo de ciertos
componentes químicos existentes en ciertas partes del cuerpo.
–MRI: basado en el hecho de que los protones poseen un momento
mágnetico y un spin
–En un campo magnético => alineación paralelos o antiparalelos.
–Aplicación de campo magnético=> alineación antiparalela.
Eliminación de campo magnético=> energía absorbida es detectada
por los sensores
f(x,y) ies una imagen 2D
Principios de la Transformada
de Radon
Una transformada lineal
f(x,y)  g(s,)
Integral de línea o “suma de rayos”
A través de una recta con ángulo de
inclinación  a partir del eje OX y
distancia al origen s
Tenemos un conjunto de imágenes
Fix
 to get a 1-D signal g(s)
g(s) que representan g(s,)

g (s, )    f ( x, y) ( x cos  y sin   s)dxdy
(From Jain’s Fig.10.2)




f ( s cos  u sin  , s sin   u cos )du
 s   cos
where    
u   sin 
sin    x 
(coordinate rot at ion)



cos   y 
Es una transformada
entre espacios 2D
Reconstrucción y Tomografía
Lecture Overview
1. Applications
2. Background/history of
tomography
3. Radon Transform
4. Fourier Slice Theorem
5. Filtered Back Projection
6. Algebraic techniques
•Measurement of Projection data
•Example of flame tomography
APLICACIONES Y TIPOS DE TOMOGRAFIA
Medical Applications
Type of Tomography
Full body scan
X-ray
Respiratory, digestive
systems, brain scanning
PET Positron Emission
Tomography
Respiratory, digestive
systems.
Radio-isotopes
Mammography
Ultrasound
Whole Body
Magnetic Resonance
(MRI, NMR)
MRI y PET muestran
lesiones en el cerebro.
PET escanea el cerebro mostrando la
enfermedad de Parkison
Aplicaciones (no-medicas) de la Tomografía
Non Medical
Applications
Type of Tomography
Oil Pipe Flow
Turbine Plumes
Resistive/Capacitance
Tomography
Flame Analysis
Optical Tomography
ECT on industrial pipe flows
Principios de la TC o TAC
En ingles CT o CAT (Computerized (Axial) Tomography)
¡Nuevamente, Radon!
Introducida en 1972 por Hounsfield y Cormack
Evolución natural de los rayos-X
De 2D a 3D !
Basado en los principios de que un objeto tres-dimensional
puede ser reconstruido a partir de sus proyecciones dos
dimensionales.
Basado en la transformada de Radon (una aplicación de un
espacio n-dimensional a un espacio (n-1)-dimensional)
Métodos TAC
Mide la atenuación de los rayos a partir de varios
ángulos diferentes.
Un ordenador reconstruye el órgano bajo estudio en
una serie de secciones planas
Combina imágenes de rayos-X desde varios ángulos
para reconstruir estructuras 3D
La historia del TAC
• Johan Radon (1917) mostró como era posible matemáticamente una
reconstrucción a partir de proyecciones
• Cormack (1963,1964) introdujo las transformadas de Fourier en los
algoritmos de reconstrucción.
• Hounsfield (1972) inventó el escaner de rayos X computerizado para
trabajo médico (gracias al cual, Cormack y Hounsfield compartieron un
premio Nobel).
• EMI Ltd (1971) anunció el desarrollo de un escaner EMI, el cual
combinaba medidas de rayosX y sofisticados algoritmos.
Principios de la
Retropropagación
Retropropagación
Sabemos que ciertos
objetos estan en alguna
parte en las tiras negras,
pero ¿dónde?
Ejemplo simple de reconstrucción por
retroprogagación
Dadas estas sumas, tenemos que reconstruir
los valores de los píxeles A, B, C y D
Técnica de reconstrucción algebraica o ART
ART
Técnica de reconstrucción algebraica o ART
METODO 1: Técnica de Reconstrucción Algebraica
Técnica iterativa
Atribuida a Gordon
Retroproyección
Propuesta inicial
Modelo
reconstruido
Proyección
Cortes del dato
actuales
Reconstrucción TAC: Retropropagación filtrada
o FBP ( “Filtered Back Propagation”)
METODO 2 : Retropropagación filtrada
Método muy común
Usa la transformada de Radon y el teorema de cortes de Fourier
y
F(u,v)
f(x,y)
Gf(r)
x
f
s
u
gf(s)
Dominio espacial
Dominio de la frecuencia
Comparación ART versus FBP
ART
FBP
Técnica de Reconstrucción Algebraica
•
Demasiado lento
•
Mejor calidad cuanto menos
proyecciones
•
mejor calidad para proyecto nouniforme .
•
Reconstrucción “guiada”.
(¡propuesta inicial!)
Retropropagación filtrada
Barato
computacionalmente
En uso clínico, sobre 500
proyecciones por corte
Problemático para
proyecciones con mucho
ruido
Teorema de
cortes de
Fourier
El cuerpo del paciente se describe
como una distribución espacial de
los coeficientes de atenuación.
Propiedades de los coeficientes de atenuación
Nuestra transformada: f(x,y)  p(r,)
Unidades Hounsfield
1.
2.
El coeficiente de atenuación se usa en el número CT (o TAC) de los diiferentes tejidos
Estos números se representan en unidades Hounsfield= HU
Los números CT usan los coeficientes
de atenuación.
La transformada de Radon:
Propiedades
Recuerda: f(x,y)  p(r,)
Sinograma versus Hough
The object
An aside
AN ASIDE
The
sinogram
Integrales de
Línea y
Proyecciones
Integrales de Línea y Proyecciones
(t )1
•La función P P
= Radon
transformada
P (t )1
•Función objeto f(x,y).
La función P (t )1 se conoce
como la transformada de Radon
de la función f(x,y).
y
f ( x, y)
P (t ) 
f ( x, y )ds


( ,t ) line

x
 
P (t ) 
  f ( x, y)( x cos  y sin  t )dxdy

x cos  y sin   t
x cos  y sin   t1
Abanico
de haces
Haz en
paralelo
Tenemos un abanico de
haces cuando los rayos
se cortan en un punto.
Los haces paralelos se
forman midiendo un
projections are taken by
measuring a set of
parallel rays for a
number of different
angles
Pueden ser usados varios tipos de haces
Integrales de línea y proyecciones
Una proyección se forma combinando un
conjunto de integrales de línea.
P 1 (t )
Se muestra aquí, las proyecciones más simples
son las que conforman la colección de
integrales de rayos paralelos, i.e. θ constante.
y
P 2 (t )
f ( x, y)

x
Notación para los
cálculos en estas
proyecciones
Integrales de línea y proyecciones
Un diagrama simple
mostrando una
proyección de haz en
abanico (fan beam
projection)
P 1 (t )
P 2 (t )
y
f ( x, y)

x
Teorema de
las secciones
de Fourier
Teorema de las secciones de Fourier
•El teorema de las secciones de Fourier se deriva de la transformada de Fourier unodimensional de una proyección paralela, considerando que es igual a una sección de la
transfromada de Fourier dos-dimensional del objeto original.
• Se sigue que dado un conjunto de proyecciones, debe ser posible estimar el objeto
simplemente realizando la transformada inversa de Fourier 2D.
Comenzamos definiendo la Transformada de
Fourier 2D de la función objeto:
 
F (u, v) 
  f ( x, y)e
 j 2 ( ux  vy)
dxdy

• Definimos la proyección en el ángulo θ = Pθ(t)
Por simplicidad θ=0, que significa
v=0
 
F (u,0) 

f ( x, y)e j 2ux dxdy

• Definimos su transformada como

S (w)   P (t )e j 2wt dt

P (t ) 
f ( x, y )ds


( ,t ) line
 
P (t ) 
Como el factor fase no depende de y,
la integral puede separarse
  f ( x, y)( x cos  y sin  t )dxdy

Teorema de las secciones de Fourier
Como el factor fase ya no depende de y, la integral puede separarse:

  j 2ux
F (u,0)     f ( x, y )dye
dx
   


La parte entre corchetes es la ecuación para la proyección a lo largo de rectas con x constante

P 0 ( x) 
 f ( x, y)dy

Sustituyendo
en

F (u,0)   P 0 ( x)e  j 2ux dx

Nos queda la siguiente relación entre la proyección vertical y la transformada 2D del la
función objeto:
F (u,0)  S 0 (u)
Teorema de las secciones de Fourier Stanley and Kak
No daremos ahora
los detalles
completos de la
derivación
El teorema de las secciones de Fourier
El teorema de las secciones de Fourier
relaciona la transformada de Fourier del
objeto a lo largo de una recta radial
P 1 (t )
t
Transformada de Fourier
y
f ( x, y)
v

x
θ
u
Dominio
del espacio
Dominio de la
frecuencia
El Teorema de las secciones de Fourier
Colección de proyecciones de un
objeto en un número de ángulos
P 1 (t )
t
v
Transformada de Fourier
y
f ( x, y)
v

u
x
θ
u
Dominio
espacial
• Para la reconstrucción se determinan
los valores sobre un mallado cuadrado
por interpolación lineal a partir de
Dominio frecuencial
puntos radiales. Pero para las altas
frecuencias los puntos están muy
separados y crea una degradación de
imagen.
Retroproyección
de la
transformada de
Radon
Retroproyección de la
transformada de Radon
Ideal
cylinder
Lados
borrosos
Lado con
picos
La retropropagación
filtrada crea lados
con picos-
Equipo de
Tomografía
Computerizada
TAC - 2D vs. 3D
Avance lineal (sección por sección)
Método clásico
El tumor puede encontrarse entre las
fisuras
toma mucho tiempo
Movimiento helicoidal
o
5-8 veces más rápido
Evolución de la tecnología TAC
TC o TAC - Ventajas

Se recolectan una cantidad muy grande de datos

superior a los escaneos simples de rayos X

mucho más fácil separar los tejidos blandos que el tejido óseo
de otro (e.g. higado, riñon)

los datos se reciben en forma digital-> pueden ser analizados
cuantitativamente
añade una cantidad de información enorme a la información
diagnóstica
usado en muchos hospitales y centros médicos en todo el
mundo


TC o TAC-
Desventajas
 Se recogen una cantidad ingente de datos
 La absorción de los rayos X del tejido blando
es relativamente similar
 representa todavía un riesgo para la salud
 IRM se usa para una visualización detallada
de la anatomía (no conlleva el uso de rayos
X).
Resonancia
Magnética Nuclear
(RMN)
Imagen deResonancia
Magnética (MRI)
IMR (RMI)
La Resonancia Magnética Nuclear (RMN) (o Imagen
de Resonancia Magnética- IRM)
Información anatómica más detallada
No usa una radiación alta de energía, es decir, es un
“método seguro”.
Basado en el principio de resonancia nuclear
(medicina) usa las propiedades de resonancia de los
protones
Imagen de Resonancia
Magnética-Polarizada
Todos los átomos (núcleos)
con un número impar de
protones tienen un “spin”,
que define su
comportamiento mágnético.
Hidrógeno (H) – muy común
en el cuerpo humano + se
magnetiza muy bien
Estimula la formación de u
campo magnético
macroscópicamente medible
IRM - Signal to Noise Ratio
Imagen de densidad de protones- mide H
IRM es apropiada para tejidos blandos, pero no para
hueso.
Señal recogida en el dominio de frecuencias!!
Ruido – cuántos más protones por unidad de volumen,
más preciso son las medidas. El SNR (signal to noise
ratio) es mejor a medida que decrece la resolución de la
imagen.
PET/SPECT
Tomografía de Emisión
de Positrones
Tomografía
Computerizada de
Emisión de Fotón
Simple
PET/SPECT
Positron Emission
Tomography
Single Photon Emission
Computerized Tomography
Técnica reciente
envuelve la emisión de
partículas de antimateria
cuando el cuerpo humano es
escaneado, a través de la
inyección de componentes
Tecnicas de reconstrucción
similares a las del TC –
Retroproyección Filtrada &
esquemas iterativos
Ultrasonidos
Ultrasonidos
El uso de ondas de sonidos de alta frecuencia (ultrasonidos)
para producir imágenes de estructuras dentro del cuerpo
humano
por encima del rango del sonido audible para los humanos
(aproximadamente por encima de los 1MHz)
un cristal piezoeléctrico crea las ondas de sonido
se aplica a una parte específica del cuerpo
las ondas reflejan los cambios en la densidad de tejido
se graban los ecos
Ultrasonidos (2)
El retraso en la señal reflejada y en su amplitud determinan of
la posición del tejido
imágenes fijas o en movimiento dentro del cuerpo
no existen ejemplos conocidos de daños en tejidos usando
dispositivos de ultrasonidos convencionales
se usan comunmente para examinar fetos en el útero de cara a
discernir su tamaño, posición y anormalidades
se usa para el corazón, hígado, riñones, pecho, ojo y vasos
sanguíneos mayores.
Ultrasonido (3)
de lejos el menos
caro
muy seguro
muy ruidoso
scaneres 1D, 2D, 3D
muestreo irregularproblemas de
reconstrucción