EE –05 Princípios de Telecomunicações AULA 2 Análise de Fourier Sinais e espectros Os sinais são compostos de várias componentes senoidais (Série de Fourier) Generalização
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Transcript EE –05 Princípios de Telecomunicações AULA 2 Análise de Fourier Sinais e espectros Os sinais são compostos de várias componentes senoidais (Série de Fourier) Generalização
EE –05
Princípios de Telecomunicações
AULA 2
Análise de Fourier
Sinais e espectros
Os sinais são compostos de várias
componentes senoidais (Série de Fourier)
Generalização Transformada de Fourier
Aplicações
A análise da largura de faixa permitirá o
dimensionamento do sistema e o seu
adequado projeto.
Determinação da distribuição espectral de
um sinal de microondas e do ângulo de
chegada, através de uma transformada de
Fourier espacial
Operação transformada
A fim de se realizar uma operação de
transformação, deve-se inicialmente modelar
matematicamente o sinal.
Objetivo:
Série de Fourier;
Transformada de Fourier;
Relação entre ambas.
-
Fasores e espectro de linhas
Seja um sinal senoidal dado pela seguinte
expressão:
v(t ) A cos(o t )
Utilizando-se da relação de Euler, tal que:
e j cos() j sen()
Representação fasorial
Podemos expressar o sinal senoidal por um
fasor, tal como na figura abaixo:
A cos(o t ) Re(A.e jo t ) A Re(e jo t )
Espectro de amplitudes e
espectro de fases
Alternativamente, pode-se representar o
sinal senoidal pelos seus espectros de
amplitudes e de fases, tal como na figura.
Espectro de linhas ou de raias: (a) espectro de amplitudes; (b) espectro de fase
Observações:
i. A amplitude (magnitude), no espectro de
amplitudes, deve ser sempre positiva . Assim, um sinal
descrito por v(t ) A cos( 0 t ) deve ser re-escrito como
v(t ) A cos(0 t ) .É indiferente se é utilizado + ou -.
ii. tem a dimensão radianos e, portanto, a fase deve
ser expressa em radianos. Lembrar que = 2..f em rad/s
e f em Hz.
iii. Ângulos e rotação positiva são medidos a partir do
eixo real, no sentido anti-horário.
iv. Formas de onda cosseno e seno são genericamente
denominadas de forma de onda senoidais. Lembrar que
, (t) cos(t / 2) , ou seja, o sinal seno é um sinal
sen
cosseno atrasado de /2 (ou, 900 ).
Exemplo
Dado o sinal:
s (t ) 7 10 cos(40 t 60 ) 4sen(120 t )
Cuja forma de onda é:
Determinar o seu espectro de freqüência
(amplitude e fase)
Solução
O sinal pode ser reescrito como:
s(t ) 7 cos(20t ) 10cos(220t 120) 4 cos(260t 90)
Assim, o seu espectro de freqüências será:
Série de Fourier
Seja uma função periódica de período T. Esta
função pode ser representada pela série de Fourier
Trigonométrica:
f (t)
1
a 0 a1 cos( 0 t ) a 2 cos(2 0 t ) ... b1 sen(0 t ) b 2 sen(20 t ) ...
2
1
a 0 (a n cosno t b n sen(no t ))
2
n 1
Com 0 = 2/T
Que pode ser reescrita da forma:
f ( t ) C0 C n cos(n0 t n )
n 1
Ortogonalidade das funções seno
e cosseno
Definição de ortogonalidade:
Um conjunto de funções {k(t)} é dita
ortogonal em um intervalo a < t < b se, para
quaisquer duas funções m(t) e n(t) no
conjunto {k(t)} é válida a relação
b
m
( t ). n ( t ).dt 0 para m n
a
rn para m n
Relação de ortogonalidade de
funções seno e cosseno
T
2
cos(m t ) cos(n t )dt 0
0
0
T
2
T
2
T
2
sin (m t )sin (n t )dt 0
0
mn
0
mn0
mn
T
2
T
2
mn0
T
2
sin (m t ) cos(n t )dt 0
0
T
2
Com 0 = 2/T
0
para todo m e n
Série de Fourier
T
2 2
an
f ( t ).cos(n0 t )dt n 0,1,2,...
T T
2
T
2 2
bn
f ( t ).sin ( n0 t )dt n 1,2,...
T T
2
T
2 2
a0
f ( t )dt
T T
2
Exemplo 1
Determinar a série de Fourier do sinal
1
f (t )
1,
- T /2 t 0
0 t T /2
Cujo gráfico em função do tempo é dado
por:
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Exemplo 1
Como o sinal é periódico, é possível o
cálculo da série de Fourier.
A tarefa é portanto o cálculo dos
coeficientes da série de Fourier, lembrando
que:
2
T
an
2
f (t ).cos(n t )dt
T T
0
n 0,1,2,...
2
T
2 2
bn
f ( t ).sin ( n0 t )dt n 1,2,...
T T
2
T
2 2
a0
f ( t )dt
T T
2
Exemplo 1
Cálculo do a0 e an
T
0
2
2
2
a 0 f ( t ).dt 1.dt 1.dt 0
T T
T T
0
2
2
T
2
T
0
2
2
2
a n f ( t ).cos(n0 t ).dt 1. cos(n0 t ).dt 1. cos(n0 t ).dt
T T
T T
0
2
2
T
2
0
T
2
2
1
2 1
sin (n.0 .t )
sin (n.0 .t )
T n.0
T T n.0
0
2
Lembrandoque 0
an 0 n N
2
, a integralacima é nula. P ortanto:
T
Exemplo 1
Cálculo de bn
T
0
2
2
2
b n f ( t ).sin (n0 t )dt 1.sin (n0 t ).dt sin (n0 t ).dt
T T
T T
0
2
2
T
2
T
2
0
2 1
2 1
cos(n0 t )
cos(n0 t )
T n0
T T n0
0
2
0, se n par
2
(1 cos(n)) 4
n
n , se n ímpar
Exemplo 1
A série de Fourier fica então assim:
sin (30 t ) sin (50 t )
4 1
4
f (t )
sin
(
n
t
)
sin
(
t
)
...
0
0
n ímpar n
3
5
A seguir façamos uma análise da série de
Fourier tomando-se um número de termos
cada vez maior
Exemplo 1
Supondo uma onda quadrada de freqüência
angular=2 rad/s e tomando-se somente o
primeiro termo da série de Fourier
,
4
f
(
t
)
sin (2t )
tem-se a seguinte forma de onda:
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Exemplo 1
Tomando-se os dois primeiros termos:
4
sin (6t )
f ( t ) (sin (2t )
)
3
Cuja forma de onda é:
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Exemplo 1
Tomando-se os três primeiros termos
4
sin (6t ) sin (10 t )
f ( t ) (sin (2t )
)
3
5
Cuja forma de onda é:
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Exemplo 1
Tomando-se os 5 primeiros termos
4
sin (6t ) sin (10 t ) sin (14 t ) sin (18t )
f ( t ) (sin (2t )
)
3
5
7
9
Cuja forma de onda é dada por:
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Exemplo 2
Determinar a série de Fourier da função f(t)
definida por:
- t 0
0,
f (t) 1
t,
0t
1.5
1
0.5
0
-0.5
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Determinação dos coeficientes an e bn
2
T
4
2 T
2 0
f (t ).dt t.dt
1
1 1
a0 1 2
T
T
2
2
2 1
t. cos(n0 t ).dt
a n f ( t ).cos(n0 t ).dt
T T
2 0
2
1
2
t
1
sin
(
n
.
t
)
sin
(
n
.
t
)
dt
)
0 n 0
n
1
1
cos(
n
.
t
)
(cos(n) 1)
0
2 n 2
2 n 2
0, se n par
an 2
- 2 n 2 , se n ímpar
Determinação dos coeficientes an e bn
T
2
2
2 1
t.sin (n0 t ).dt
b n f ( t ).sin (n0 t ).dt
T T
2 0
2
t
1
cos(n.t ) cos(n.t )dt )
0 n 0
n
1
1
cos(n) (1) n
n
n
1
2
Tomando-se os seis primeiros termos em
senos e cossenos, tem-se que:
f (t )
1 2
cos(3t ) cos(5t ) cos(7t ) cos(9t ) cos(11t )
2 cos(t )
4
9
25
49
81
121
1
sin(2t ) sin(3t ) sin(4t ) sin(5t ) sin(6t )
sin(t )
2
3
4
5
6
Cuja forma de onda é dada por:
1.5
1
0.5
0
-0.5
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Tomando-se mais termos, tem-se o gráfico
abaixo, onde se pode observar o efeito de
Gibbs nas transições da função.