Slide 1

Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S  VECTOR ROTATORIO
y

Y - Pantalla, pared

ω
ω
x

Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x  ACos ( t   )
y  ASin ( t   )


r  x iˆ  y ˆj

No tiene existencia real

r  x  y ˆj

z  x  jy

 Numero complejo: z

 x  jy

Fasor del M.C.U en el plano
complejo

Mvto paralelo
ax

Instrucción para realizar una
rotación de 90
0

 j  1
2

 Exponente Compleja

Cos   jSin   e
Sin    



3



3!

Taylor
Cos   1 



5



5!

2

2!









7

 ...

7!

4

4!

j





6

6!

 ...

Sistemas Oscilantes
 Péndulo Simple 

Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.

 Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes  M.A.S



g
L

d 
2

 

dt

2

Frecuencia angular ω
T  2

L
g

Solucion

   MAX Cos (  t   )

 Péndulo Físico  balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
 Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
 d: distancia del pivote al Centro de masa.
 PAR-TORCIONAL  RESTAURADOR

  m . g .d .Sin 



mgd
I

d 
2

 

dt

2

 Péndulo de Torsión  Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.

Par torsional restaurador α

Posición Angular

   
 Ecuación de movimiento:




I

d 
2

 

dt

2

 Ejemplos

a)

L

c)

L

m

L

h

k

m

x
b)

k

r

m

d)

I

k1

r1

r2
k2

… Otros sistemas oscilantes
 Modulo de Young
Sistema de interés  Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3

2L0/3

L0

L

a)

P
L / 3

 Deformación unitaria

L0

2L / 3

L

 L  L0
b)

A1
A2

Fuerzas son proporcionales a las áreas

 P1
 P2

 Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)

P

 Tension

A

Tension
Deformacio n

 cte

 Objetos flotantes.

Fuerza restauradora

Producto de aumento y
disminución (peso liquido)

• masa dentro: m

2

d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V  ρ= m/ A.y

dt

2



gA
m

y

SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.

Suma de M.A.S con igual frecuencia
 Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
 Superposición con igual frecuencia

x  x1  x 2  A1 cos(  t   1 )  A 2 cos(  t   2 )

P2

OP   t  

A  A1  A2  2 A1 A2 cos(  2   1 )
2

2

2

0

P

t   2
P1
t  1

Vector rotatorio y exponente compleja

P’
P

P2

P2

P1

 2t   2

P1

 2t   2

 1t   1

0

 1t   1

0

 1t   1

P1

0
 2Pt   2

0
 1t   1

P1

P2

P2
P’’

 2t   2

P’’’

P
P2
P2

P1

P’

P1
0

0
P1
0
P2

P’’

0

P’’’

P2

P1

 Superposición con diferente frecuencia

(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2

Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.

• Para fases nulas
x  x1  x 2  A1 cos(  1 t )  A 2 cos(  2 t )

No es superposición de M.A.S

T  n1T1  n 2 T 2

• n1 y n2 son enteros de valores pequeños

• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.

• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS

PROBLEMA 1
Pivote

Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)

L

M

PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.

A

PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:

O
B

PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?

M1
R1
L

M

M2

O

R2

R


Slide 2

Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S  VECTOR ROTATORIO
y

Y - Pantalla, pared

ω
ω
x

Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x  ACos ( t   )
y  ASin ( t   )


r  x iˆ  y ˆj

No tiene existencia real

r  x  y ˆj

z  x  jy

 Numero complejo: z

 x  jy

Fasor del M.C.U en el plano
complejo

Mvto paralelo
ax

Instrucción para realizar una
rotación de 90
0

 j  1
2

 Exponente Compleja

Cos   jSin   e
Sin    



3



3!

Taylor
Cos   1 



5



5!

2

2!









7

 ...

7!

4

4!

j





6

6!

 ...

Sistemas Oscilantes
 Péndulo Simple 

Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.

 Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes  M.A.S



g
L

d 
2

 

dt

2

Frecuencia angular ω
T  2

L
g

Solucion

   MAX Cos (  t   )

 Péndulo Físico  balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
 Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
 d: distancia del pivote al Centro de masa.
 PAR-TORCIONAL  RESTAURADOR

  m . g .d .Sin 



mgd
I

d 
2

 

dt

2

 Péndulo de Torsión  Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.

Par torsional restaurador α

Posición Angular

   
 Ecuación de movimiento:




I

d 
2

 

dt

2

 Ejemplos

a)

L

c)

L

m

L

h

k

m

x
b)

k

r

m

d)

I

k1

r1

r2
k2

… Otros sistemas oscilantes
 Modulo de Young
Sistema de interés  Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3

2L0/3

L0

L

a)

P
L / 3

 Deformación unitaria

L0

2L / 3

L

 L  L0
b)

A1
A2

Fuerzas son proporcionales a las áreas

 P1
 P2

 Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)

P

 Tension

A

Tension
Deformacio n

 cte

 Objetos flotantes.

Fuerza restauradora

Producto de aumento y
disminución (peso liquido)

• masa dentro: m

2

d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V  ρ= m/ A.y

dt

2



gA
m

y

SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.

Suma de M.A.S con igual frecuencia
 Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
 Superposición con igual frecuencia

x  x1  x 2  A1 cos(  t   1 )  A 2 cos(  t   2 )

P2

OP   t  

A  A1  A2  2 A1 A2 cos(  2   1 )
2

2

2

0

P

t   2
P1
t  1

Vector rotatorio y exponente compleja

P’
P

P2

P2

P1

 2t   2

P1

 2t   2

 1t   1

0

 1t   1

0

 1t   1

P1

0
 2Pt   2

0
 1t   1

P1

P2

P2
P’’

 2t   2

P’’’

P
P2
P2

P1

P’

P1
0

0
P1
0
P2

P’’

0

P’’’

P2

P1

 Superposición con diferente frecuencia

(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2

Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.

• Para fases nulas
x  x1  x 2  A1 cos(  1 t )  A 2 cos(  2 t )

No es superposición de M.A.S

T  n1T1  n 2 T 2

• n1 y n2 son enteros de valores pequeños

• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.

• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS

PROBLEMA 1
Pivote

Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)

L

M

PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.

A

PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:

O
B

PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?

M1
R1
L

M

M2

O

R2

R


Slide 3

Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S  VECTOR ROTATORIO
y

Y - Pantalla, pared

ω
ω
x

Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x  ACos ( t   )
y  ASin ( t   )


r  x iˆ  y ˆj

No tiene existencia real

r  x  y ˆj

z  x  jy

 Numero complejo: z

 x  jy

Fasor del M.C.U en el plano
complejo

Mvto paralelo
ax

Instrucción para realizar una
rotación de 90
0

 j  1
2

 Exponente Compleja

Cos   jSin   e
Sin    



3



3!

Taylor
Cos   1 



5



5!

2

2!









7

 ...

7!

4

4!

j





6

6!

 ...

Sistemas Oscilantes
 Péndulo Simple 

Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.

 Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes  M.A.S



g
L

d 
2

 

dt

2

Frecuencia angular ω
T  2

L
g

Solucion

   MAX Cos (  t   )

 Péndulo Físico  balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
 Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
 d: distancia del pivote al Centro de masa.
 PAR-TORCIONAL  RESTAURADOR

  m . g .d .Sin 



mgd
I

d 
2

 

dt

2

 Péndulo de Torsión  Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.

Par torsional restaurador α

Posición Angular

   
 Ecuación de movimiento:




I

d 
2

 

dt

2

 Ejemplos

a)

L

c)

L

m

L

h

k

m

x
b)

k

r

m

d)

I

k1

r1

r2
k2

… Otros sistemas oscilantes
 Modulo de Young
Sistema de interés  Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3

2L0/3

L0

L

a)

P
L / 3

 Deformación unitaria

L0

2L / 3

L

 L  L0
b)

A1
A2

Fuerzas son proporcionales a las áreas

 P1
 P2

 Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)

P

 Tension

A

Tension
Deformacio n

 cte

 Objetos flotantes.

Fuerza restauradora

Producto de aumento y
disminución (peso liquido)

• masa dentro: m

2

d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V  ρ= m/ A.y

dt

2



gA
m

y

SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.

Suma de M.A.S con igual frecuencia
 Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
 Superposición con igual frecuencia

x  x1  x 2  A1 cos(  t   1 )  A 2 cos(  t   2 )

P2

OP   t  

A  A1  A2  2 A1 A2 cos(  2   1 )
2

2

2

0

P

t   2
P1
t  1

Vector rotatorio y exponente compleja

P’
P

P2

P2

P1

 2t   2

P1

 2t   2

 1t   1

0

 1t   1

0

 1t   1

P1

0
 2Pt   2

0
 1t   1

P1

P2

P2
P’’

 2t   2

P’’’

P
P2
P2

P1

P’

P1
0

0
P1
0
P2

P’’

0

P’’’

P2

P1

 Superposición con diferente frecuencia

(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2

Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.

• Para fases nulas
x  x1  x 2  A1 cos(  1 t )  A 2 cos(  2 t )

No es superposición de M.A.S

T  n1T1  n 2 T 2

• n1 y n2 son enteros de valores pequeños

• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.

• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS

PROBLEMA 1
Pivote

Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)

L

M

PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.

A

PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:

O
B

PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?

M1
R1
L

M

M2

O

R2

R


Slide 4

Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S  VECTOR ROTATORIO
y

Y - Pantalla, pared

ω
ω
x

Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x  ACos ( t   )
y  ASin ( t   )


r  x iˆ  y ˆj

No tiene existencia real

r  x  y ˆj

z  x  jy

 Numero complejo: z

 x  jy

Fasor del M.C.U en el plano
complejo

Mvto paralelo
ax

Instrucción para realizar una
rotación de 90
0

 j  1
2

 Exponente Compleja

Cos   jSin   e
Sin    



3



3!

Taylor
Cos   1 



5



5!

2

2!









7

 ...

7!

4

4!

j





6

6!

 ...

Sistemas Oscilantes
 Péndulo Simple 

Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.

 Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes  M.A.S



g
L

d 
2

 

dt

2

Frecuencia angular ω
T  2

L
g

Solucion

   MAX Cos (  t   )

 Péndulo Físico  balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
 Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
 d: distancia del pivote al Centro de masa.
 PAR-TORCIONAL  RESTAURADOR

  m . g .d .Sin 



mgd
I

d 
2

 

dt

2

 Péndulo de Torsión  Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.

Par torsional restaurador α

Posición Angular

   
 Ecuación de movimiento:




I

d 
2

 

dt

2

 Ejemplos

a)

L

c)

L

m

L

h

k

m

x
b)

k

r

m

d)

I

k1

r1

r2
k2

… Otros sistemas oscilantes
 Modulo de Young
Sistema de interés  Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3

2L0/3

L0

L

a)

P
L / 3

 Deformación unitaria

L0

2L / 3

L

 L  L0
b)

A1
A2

Fuerzas son proporcionales a las áreas

 P1
 P2

 Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)

P

 Tension

A

Tension
Deformacio n

 cte

 Objetos flotantes.

Fuerza restauradora

Producto de aumento y
disminución (peso liquido)

• masa dentro: m

2

d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V  ρ= m/ A.y

dt

2



gA
m

y

SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.

Suma de M.A.S con igual frecuencia
 Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
 Superposición con igual frecuencia

x  x1  x 2  A1 cos(  t   1 )  A 2 cos(  t   2 )

P2

OP   t  

A  A1  A2  2 A1 A2 cos(  2   1 )
2

2

2

0

P

t   2
P1
t  1

Vector rotatorio y exponente compleja

P’
P

P2

P2

P1

 2t   2

P1

 2t   2

 1t   1

0

 1t   1

0

 1t   1

P1

0
 2Pt   2

0
 1t   1

P1

P2

P2
P’’

 2t   2

P’’’

P
P2
P2

P1

P’

P1
0

0
P1
0
P2

P’’

0

P’’’

P2

P1

 Superposición con diferente frecuencia

(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2

Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.

• Para fases nulas
x  x1  x 2  A1 cos(  1 t )  A 2 cos(  2 t )

No es superposición de M.A.S

T  n1T1  n 2 T 2

• n1 y n2 son enteros de valores pequeños

• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.

• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS

PROBLEMA 1
Pivote

Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)

L

M

PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.

A

PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:

O
B

PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?

M1
R1
L

M

M2

O

R2

R


Slide 5

Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S  VECTOR ROTATORIO
y

Y - Pantalla, pared

ω
ω
x

Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x  ACos ( t   )
y  ASin ( t   )


r  x iˆ  y ˆj

No tiene existencia real

r  x  y ˆj

z  x  jy

 Numero complejo: z

 x  jy

Fasor del M.C.U en el plano
complejo

Mvto paralelo
ax

Instrucción para realizar una
rotación de 90
0

 j  1
2

 Exponente Compleja

Cos   jSin   e
Sin    



3



3!

Taylor
Cos   1 



5



5!

2

2!









7

 ...

7!

4

4!

j





6

6!

 ...

Sistemas Oscilantes
 Péndulo Simple 

Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.

 Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes  M.A.S



g
L

d 
2

 

dt

2

Frecuencia angular ω
T  2

L
g

Solucion

   MAX Cos (  t   )

 Péndulo Físico  balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
 Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
 d: distancia del pivote al Centro de masa.
 PAR-TORCIONAL  RESTAURADOR

  m . g .d .Sin 



mgd
I

d 
2

 

dt

2

 Péndulo de Torsión  Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.

Par torsional restaurador α

Posición Angular

   
 Ecuación de movimiento:




I

d 
2

 

dt

2

 Ejemplos

a)

L

c)

L

m

L

h

k

m

x
b)

k

r

m

d)

I

k1

r1

r2
k2

… Otros sistemas oscilantes
 Modulo de Young
Sistema de interés  Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3

2L0/3

L0

L

a)

P
L / 3

 Deformación unitaria

L0

2L / 3

L

 L  L0
b)

A1
A2

Fuerzas son proporcionales a las áreas

 P1
 P2

 Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)

P

 Tension

A

Tension
Deformacio n

 cte

 Objetos flotantes.

Fuerza restauradora

Producto de aumento y
disminución (peso liquido)

• masa dentro: m

2

d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V  ρ= m/ A.y

dt

2



gA
m

y

SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.

Suma de M.A.S con igual frecuencia
 Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
 Superposición con igual frecuencia

x  x1  x 2  A1 cos(  t   1 )  A 2 cos(  t   2 )

P2

OP   t  

A  A1  A2  2 A1 A2 cos(  2   1 )
2

2

2

0

P

t   2
P1
t  1

Vector rotatorio y exponente compleja

P’
P

P2

P2

P1

 2t   2

P1

 2t   2

 1t   1

0

 1t   1

0

 1t   1

P1

0
 2Pt   2

0
 1t   1

P1

P2

P2
P’’

 2t   2

P’’’

P
P2
P2

P1

P’

P1
0

0
P1
0
P2

P’’

0

P’’’

P2

P1

 Superposición con diferente frecuencia

(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2

Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.

• Para fases nulas
x  x1  x 2  A1 cos(  1 t )  A 2 cos(  2 t )

No es superposición de M.A.S

T  n1T1  n 2 T 2

• n1 y n2 son enteros de valores pequeños

• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.

• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS

PROBLEMA 1
Pivote

Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)

L

M

PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.

A

PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:

O
B

PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?

M1
R1
L

M

M2

O

R2

R


Slide 6

Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S  VECTOR ROTATORIO
y

Y - Pantalla, pared

ω
ω
x

Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x  ACos ( t   )
y  ASin ( t   )


r  x iˆ  y ˆj

No tiene existencia real

r  x  y ˆj

z  x  jy

 Numero complejo: z

 x  jy

Fasor del M.C.U en el plano
complejo

Mvto paralelo
ax

Instrucción para realizar una
rotación de 90
0

 j  1
2

 Exponente Compleja

Cos   jSin   e
Sin    



3



3!

Taylor
Cos   1 



5



5!

2

2!









7

 ...

7!

4

4!

j





6

6!

 ...

Sistemas Oscilantes
 Péndulo Simple 

Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.

 Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes  M.A.S



g
L

d 
2

 

dt

2

Frecuencia angular ω
T  2

L
g

Solucion

   MAX Cos (  t   )

 Péndulo Físico  balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
 Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
 d: distancia del pivote al Centro de masa.
 PAR-TORCIONAL  RESTAURADOR

  m . g .d .Sin 



mgd
I

d 
2

 

dt

2

 Péndulo de Torsión  Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.

Par torsional restaurador α

Posición Angular

   
 Ecuación de movimiento:




I

d 
2

 

dt

2

 Ejemplos

a)

L

c)

L

m

L

h

k

m

x
b)

k

r

m

d)

I

k1

r1

r2
k2

… Otros sistemas oscilantes
 Modulo de Young
Sistema de interés  Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3

2L0/3

L0

L

a)

P
L / 3

 Deformación unitaria

L0

2L / 3

L

 L  L0
b)

A1
A2

Fuerzas son proporcionales a las áreas

 P1
 P2

 Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)

P

 Tension

A

Tension
Deformacio n

 cte

 Objetos flotantes.

Fuerza restauradora

Producto de aumento y
disminución (peso liquido)

• masa dentro: m

2

d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V  ρ= m/ A.y

dt

2



gA
m

y

SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.

Suma de M.A.S con igual frecuencia
 Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
 Superposición con igual frecuencia

x  x1  x 2  A1 cos(  t   1 )  A 2 cos(  t   2 )

P2

OP   t  

A  A1  A2  2 A1 A2 cos(  2   1 )
2

2

2

0

P

t   2
P1
t  1

Vector rotatorio y exponente compleja

P’
P

P2

P2

P1

 2t   2

P1

 2t   2

 1t   1

0

 1t   1

0

 1t   1

P1

0
 2Pt   2

0
 1t   1

P1

P2

P2
P’’

 2t   2

P’’’

P
P2
P2

P1

P’

P1
0

0
P1
0
P2

P’’

0

P’’’

P2

P1

 Superposición con diferente frecuencia

(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2

Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.

• Para fases nulas
x  x1  x 2  A1 cos(  1 t )  A 2 cos(  2 t )

No es superposición de M.A.S

T  n1T1  n 2 T 2

• n1 y n2 son enteros de valores pequeños

• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.

• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS

PROBLEMA 1
Pivote

Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)

L

M

PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.

A

PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:

O
B

PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?

M1
R1
L

M

M2

O

R2

R


Slide 7

Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S  VECTOR ROTATORIO
y

Y - Pantalla, pared

ω
ω
x

Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x  ACos ( t   )
y  ASin ( t   )


r  x iˆ  y ˆj

No tiene existencia real

r  x  y ˆj

z  x  jy

 Numero complejo: z

 x  jy

Fasor del M.C.U en el plano
complejo

Mvto paralelo
ax

Instrucción para realizar una
rotación de 90
0

 j  1
2

 Exponente Compleja

Cos   jSin   e
Sin    



3



3!

Taylor
Cos   1 



5



5!

2

2!









7

 ...

7!

4

4!

j





6

6!

 ...

Sistemas Oscilantes
 Péndulo Simple 

Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.

 Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes  M.A.S



g
L

d 
2

 

dt

2

Frecuencia angular ω
T  2

L
g

Solucion

   MAX Cos (  t   )

 Péndulo Físico  balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
 Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
 d: distancia del pivote al Centro de masa.
 PAR-TORCIONAL  RESTAURADOR

  m . g .d .Sin 



mgd
I

d 
2

 

dt

2

 Péndulo de Torsión  Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.

Par torsional restaurador α

Posición Angular

   
 Ecuación de movimiento:




I

d 
2

 

dt

2

 Ejemplos

a)

L

c)

L

m

L

h

k

m

x
b)

k

r

m

d)

I

k1

r1

r2
k2

… Otros sistemas oscilantes
 Modulo de Young
Sistema de interés  Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3

2L0/3

L0

L

a)

P
L / 3

 Deformación unitaria

L0

2L / 3

L

 L  L0
b)

A1
A2

Fuerzas son proporcionales a las áreas

 P1
 P2

 Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)

P

 Tension

A

Tension
Deformacio n

 cte

 Objetos flotantes.

Fuerza restauradora

Producto de aumento y
disminución (peso liquido)

• masa dentro: m

2

d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V  ρ= m/ A.y

dt

2



gA
m

y

SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.

Suma de M.A.S con igual frecuencia
 Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
 Superposición con igual frecuencia

x  x1  x 2  A1 cos(  t   1 )  A 2 cos(  t   2 )

P2

OP   t  

A  A1  A2  2 A1 A2 cos(  2   1 )
2

2

2

0

P

t   2
P1
t  1

Vector rotatorio y exponente compleja

P’
P

P2

P2

P1

 2t   2

P1

 2t   2

 1t   1

0

 1t   1

0

 1t   1

P1

0
 2Pt   2

0
 1t   1

P1

P2

P2
P’’

 2t   2

P’’’

P
P2
P2

P1

P’

P1
0

0
P1
0
P2

P’’

0

P’’’

P2

P1

 Superposición con diferente frecuencia

(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2

Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.

• Para fases nulas
x  x1  x 2  A1 cos(  1 t )  A 2 cos(  2 t )

No es superposición de M.A.S

T  n1T1  n 2 T 2

• n1 y n2 son enteros de valores pequeños

• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.

• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS

PROBLEMA 1
Pivote

Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)

L

M

PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.

A

PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:

O
B

PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?

M1
R1
L

M

M2

O

R2

R


Slide 8

Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S  VECTOR ROTATORIO
y

Y - Pantalla, pared

ω
ω
x

Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x  ACos ( t   )
y  ASin ( t   )


r  x iˆ  y ˆj

No tiene existencia real

r  x  y ˆj

z  x  jy

 Numero complejo: z

 x  jy

Fasor del M.C.U en el plano
complejo

Mvto paralelo
ax

Instrucción para realizar una
rotación de 90
0

 j  1
2

 Exponente Compleja

Cos   jSin   e
Sin    



3



3!

Taylor
Cos   1 



5



5!

2

2!









7

 ...

7!

4

4!

j





6

6!

 ...

Sistemas Oscilantes
 Péndulo Simple 

Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.

 Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes  M.A.S



g
L

d 
2

 

dt

2

Frecuencia angular ω
T  2

L
g

Solucion

   MAX Cos (  t   )

 Péndulo Físico  balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
 Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
 d: distancia del pivote al Centro de masa.
 PAR-TORCIONAL  RESTAURADOR

  m . g .d .Sin 



mgd
I

d 
2

 

dt

2

 Péndulo de Torsión  Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.

Par torsional restaurador α

Posición Angular

   
 Ecuación de movimiento:




I

d 
2

 

dt

2

 Ejemplos

a)

L

c)

L

m

L

h

k

m

x
b)

k

r

m

d)

I

k1

r1

r2
k2

… Otros sistemas oscilantes
 Modulo de Young
Sistema de interés  Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3

2L0/3

L0

L

a)

P
L / 3

 Deformación unitaria

L0

2L / 3

L

 L  L0
b)

A1
A2

Fuerzas son proporcionales a las áreas

 P1
 P2

 Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)

P

 Tension

A

Tension
Deformacio n

 cte

 Objetos flotantes.

Fuerza restauradora

Producto de aumento y
disminución (peso liquido)

• masa dentro: m

2

d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V  ρ= m/ A.y

dt

2



gA
m

y

SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.

Suma de M.A.S con igual frecuencia
 Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
 Superposición con igual frecuencia

x  x1  x 2  A1 cos(  t   1 )  A 2 cos(  t   2 )

P2

OP   t  

A  A1  A2  2 A1 A2 cos(  2   1 )
2

2

2

0

P

t   2
P1
t  1

Vector rotatorio y exponente compleja

P’
P

P2

P2

P1

 2t   2

P1

 2t   2

 1t   1

0

 1t   1

0

 1t   1

P1

0
 2Pt   2

0
 1t   1

P1

P2

P2
P’’

 2t   2

P’’’

P
P2
P2

P1

P’

P1
0

0
P1
0
P2

P’’

0

P’’’

P2

P1

 Superposición con diferente frecuencia

(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2

Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.

• Para fases nulas
x  x1  x 2  A1 cos(  1 t )  A 2 cos(  2 t )

No es superposición de M.A.S

T  n1T1  n 2 T 2

• n1 y n2 son enteros de valores pequeños

• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.

• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS

PROBLEMA 1
Pivote

Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)

L

M

PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.

A

PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:

O
B

PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?

M1
R1
L

M

M2

O

R2

R


Slide 9

Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S  VECTOR ROTATORIO
y

Y - Pantalla, pared

ω
ω
x

Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x  ACos ( t   )
y  ASin ( t   )


r  x iˆ  y ˆj

No tiene existencia real

r  x  y ˆj

z  x  jy

 Numero complejo: z

 x  jy

Fasor del M.C.U en el plano
complejo

Mvto paralelo
ax

Instrucción para realizar una
rotación de 90
0

 j  1
2

 Exponente Compleja

Cos   jSin   e
Sin    



3



3!

Taylor
Cos   1 



5



5!

2

2!









7

 ...

7!

4

4!

j





6

6!

 ...

Sistemas Oscilantes
 Péndulo Simple 

Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.

 Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes  M.A.S



g
L

d 
2

 

dt

2

Frecuencia angular ω
T  2

L
g

Solucion

   MAX Cos (  t   )

 Péndulo Físico  balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
 Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
 d: distancia del pivote al Centro de masa.
 PAR-TORCIONAL  RESTAURADOR

  m . g .d .Sin 



mgd
I

d 
2

 

dt

2

 Péndulo de Torsión  Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.

Par torsional restaurador α

Posición Angular

   
 Ecuación de movimiento:




I

d 
2

 

dt

2

 Ejemplos

a)

L

c)

L

m

L

h

k

m

x
b)

k

r

m

d)

I

k1

r1

r2
k2

… Otros sistemas oscilantes
 Modulo de Young
Sistema de interés  Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3

2L0/3

L0

L

a)

P
L / 3

 Deformación unitaria

L0

2L / 3

L

 L  L0
b)

A1
A2

Fuerzas son proporcionales a las áreas

 P1
 P2

 Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)

P

 Tension

A

Tension
Deformacio n

 cte

 Objetos flotantes.

Fuerza restauradora

Producto de aumento y
disminución (peso liquido)

• masa dentro: m

2

d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V  ρ= m/ A.y

dt

2



gA
m

y

SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.

Suma de M.A.S con igual frecuencia
 Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
 Superposición con igual frecuencia

x  x1  x 2  A1 cos(  t   1 )  A 2 cos(  t   2 )

P2

OP   t  

A  A1  A2  2 A1 A2 cos(  2   1 )
2

2

2

0

P

t   2
P1
t  1

Vector rotatorio y exponente compleja

P’
P

P2

P2

P1

 2t   2

P1

 2t   2

 1t   1

0

 1t   1

0

 1t   1

P1

0
 2Pt   2

0
 1t   1

P1

P2

P2
P’’

 2t   2

P’’’

P
P2
P2

P1

P’

P1
0

0
P1
0
P2

P’’

0

P’’’

P2

P1

 Superposición con diferente frecuencia

(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2

Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.

• Para fases nulas
x  x1  x 2  A1 cos(  1 t )  A 2 cos(  2 t )

No es superposición de M.A.S

T  n1T1  n 2 T 2

• n1 y n2 son enteros de valores pequeños

• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.

• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS

PROBLEMA 1
Pivote

Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)

L

M

PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.

A

PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:

O
B

PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?

M1
R1
L

M

M2

O

R2

R


Slide 10

Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S  VECTOR ROTATORIO
y

Y - Pantalla, pared

ω
ω
x

Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x  ACos ( t   )
y  ASin ( t   )


r  x iˆ  y ˆj

No tiene existencia real

r  x  y ˆj

z  x  jy

 Numero complejo: z

 x  jy

Fasor del M.C.U en el plano
complejo

Mvto paralelo
ax

Instrucción para realizar una
rotación de 90
0

 j  1
2

 Exponente Compleja

Cos   jSin   e
Sin    



3



3!

Taylor
Cos   1 



5



5!

2

2!









7

 ...

7!

4

4!

j





6

6!

 ...

Sistemas Oscilantes
 Péndulo Simple 

Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.

 Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes  M.A.S



g
L

d 
2

 

dt

2

Frecuencia angular ω
T  2

L
g

Solucion

   MAX Cos (  t   )

 Péndulo Físico  balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
 Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
 d: distancia del pivote al Centro de masa.
 PAR-TORCIONAL  RESTAURADOR

  m . g .d .Sin 



mgd
I

d 
2

 

dt

2

 Péndulo de Torsión  Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.

Par torsional restaurador α

Posición Angular

   
 Ecuación de movimiento:




I

d 
2

 

dt

2

 Ejemplos

a)

L

c)

L

m

L

h

k

m

x
b)

k

r

m

d)

I

k1

r1

r2
k2

… Otros sistemas oscilantes
 Modulo de Young
Sistema de interés  Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3

2L0/3

L0

L

a)

P
L / 3

 Deformación unitaria

L0

2L / 3

L

 L  L0
b)

A1
A2

Fuerzas son proporcionales a las áreas

 P1
 P2

 Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)

P

 Tension

A

Tension
Deformacio n

 cte

 Objetos flotantes.

Fuerza restauradora

Producto de aumento y
disminución (peso liquido)

• masa dentro: m

2

d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V  ρ= m/ A.y

dt

2



gA
m

y

SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.

Suma de M.A.S con igual frecuencia
 Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
 Superposición con igual frecuencia

x  x1  x 2  A1 cos(  t   1 )  A 2 cos(  t   2 )

P2

OP   t  

A  A1  A2  2 A1 A2 cos(  2   1 )
2

2

2

0

P

t   2
P1
t  1

Vector rotatorio y exponente compleja

P’
P

P2

P2

P1

 2t   2

P1

 2t   2

 1t   1

0

 1t   1

0

 1t   1

P1

0
 2Pt   2

0
 1t   1

P1

P2

P2
P’’

 2t   2

P’’’

P
P2
P2

P1

P’

P1
0

0
P1
0
P2

P’’

0

P’’’

P2

P1

 Superposición con diferente frecuencia

(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2

Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.

• Para fases nulas
x  x1  x 2  A1 cos(  1 t )  A 2 cos(  2 t )

No es superposición de M.A.S

T  n1T1  n 2 T 2

• n1 y n2 son enteros de valores pequeños

• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.

• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS

PROBLEMA 1
Pivote

Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)

L

M

PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.

A

PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:

O
B

PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?

M1
R1
L

M

M2

O

R2

R


Slide 11

Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S  VECTOR ROTATORIO
y

Y - Pantalla, pared

ω
ω
x

Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x  ACos ( t   )
y  ASin ( t   )


r  x iˆ  y ˆj

No tiene existencia real

r  x  y ˆj

z  x  jy

 Numero complejo: z

 x  jy

Fasor del M.C.U en el plano
complejo

Mvto paralelo
ax

Instrucción para realizar una
rotación de 90
0

 j  1
2

 Exponente Compleja

Cos   jSin   e
Sin    



3



3!

Taylor
Cos   1 



5



5!

2

2!









7

 ...

7!

4

4!

j





6

6!

 ...

Sistemas Oscilantes
 Péndulo Simple 

Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.

 Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes  M.A.S



g
L

d 
2

 

dt

2

Frecuencia angular ω
T  2

L
g

Solucion

   MAX Cos (  t   )

 Péndulo Físico  balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
 Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
 d: distancia del pivote al Centro de masa.
 PAR-TORCIONAL  RESTAURADOR

  m . g .d .Sin 



mgd
I

d 
2

 

dt

2

 Péndulo de Torsión  Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.

Par torsional restaurador α

Posición Angular

   
 Ecuación de movimiento:




I

d 
2

 

dt

2

 Ejemplos

a)

L

c)

L

m

L

h

k

m

x
b)

k

r

m

d)

I

k1

r1

r2
k2

… Otros sistemas oscilantes
 Modulo de Young
Sistema de interés  Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3

2L0/3

L0

L

a)

P
L / 3

 Deformación unitaria

L0

2L / 3

L

 L  L0
b)

A1
A2

Fuerzas son proporcionales a las áreas

 P1
 P2

 Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)

P

 Tension

A

Tension
Deformacio n

 cte

 Objetos flotantes.

Fuerza restauradora

Producto de aumento y
disminución (peso liquido)

• masa dentro: m

2

d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V  ρ= m/ A.y

dt

2



gA
m

y

SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.

Suma de M.A.S con igual frecuencia
 Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
 Superposición con igual frecuencia

x  x1  x 2  A1 cos(  t   1 )  A 2 cos(  t   2 )

P2

OP   t  

A  A1  A2  2 A1 A2 cos(  2   1 )
2

2

2

0

P

t   2
P1
t  1

Vector rotatorio y exponente compleja

P’
P

P2

P2

P1

 2t   2

P1

 2t   2

 1t   1

0

 1t   1

0

 1t   1

P1

0
 2Pt   2

0
 1t   1

P1

P2

P2
P’’

 2t   2

P’’’

P
P2
P2

P1

P’

P1
0

0
P1
0
P2

P’’

0

P’’’

P2

P1

 Superposición con diferente frecuencia

(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2

Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.

• Para fases nulas
x  x1  x 2  A1 cos(  1 t )  A 2 cos(  2 t )

No es superposición de M.A.S

T  n1T1  n 2 T 2

• n1 y n2 son enteros de valores pequeños

• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.

• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS

PROBLEMA 1
Pivote

Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)

L

M

PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.

A

PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:

O
B

PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?

M1
R1
L

M

M2

O

R2

R


Slide 12

Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S  VECTOR ROTATORIO
y

Y - Pantalla, pared

ω
ω
x

Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x  ACos ( t   )
y  ASin ( t   )


r  x iˆ  y ˆj

No tiene existencia real

r  x  y ˆj

z  x  jy

 Numero complejo: z

 x  jy

Fasor del M.C.U en el plano
complejo

Mvto paralelo
ax

Instrucción para realizar una
rotación de 90
0

 j  1
2

 Exponente Compleja

Cos   jSin   e
Sin    



3



3!

Taylor
Cos   1 



5



5!

2

2!









7

 ...

7!

4

4!

j





6

6!

 ...

Sistemas Oscilantes
 Péndulo Simple 

Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.

 Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes  M.A.S



g
L

d 
2

 

dt

2

Frecuencia angular ω
T  2

L
g

Solucion

   MAX Cos (  t   )

 Péndulo Físico  balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
 Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
 d: distancia del pivote al Centro de masa.
 PAR-TORCIONAL  RESTAURADOR

  m . g .d .Sin 



mgd
I

d 
2

 

dt

2

 Péndulo de Torsión  Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.

Par torsional restaurador α

Posición Angular

   
 Ecuación de movimiento:




I

d 
2

 

dt

2

 Ejemplos

a)

L

c)

L

m

L

h

k

m

x
b)

k

r

m

d)

I

k1

r1

r2
k2

… Otros sistemas oscilantes
 Modulo de Young
Sistema de interés  Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3

2L0/3

L0

L

a)

P
L / 3

 Deformación unitaria

L0

2L / 3

L

 L  L0
b)

A1
A2

Fuerzas son proporcionales a las áreas

 P1
 P2

 Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)

P

 Tension

A

Tension
Deformacio n

 cte

 Objetos flotantes.

Fuerza restauradora

Producto de aumento y
disminución (peso liquido)

• masa dentro: m

2

d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V  ρ= m/ A.y

dt

2



gA
m

y

SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.

Suma de M.A.S con igual frecuencia
 Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
 Superposición con igual frecuencia

x  x1  x 2  A1 cos(  t   1 )  A 2 cos(  t   2 )

P2

OP   t  

A  A1  A2  2 A1 A2 cos(  2   1 )
2

2

2

0

P

t   2
P1
t  1

Vector rotatorio y exponente compleja

P’
P

P2

P2

P1

 2t   2

P1

 2t   2

 1t   1

0

 1t   1

0

 1t   1

P1

0
 2Pt   2

0
 1t   1

P1

P2

P2
P’’

 2t   2

P’’’

P
P2
P2

P1

P’

P1
0

0
P1
0
P2

P’’

0

P’’’

P2

P1

 Superposición con diferente frecuencia

(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2

Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.

• Para fases nulas
x  x1  x 2  A1 cos(  1 t )  A 2 cos(  2 t )

No es superposición de M.A.S

T  n1T1  n 2 T 2

• n1 y n2 son enteros de valores pequeños

• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.

• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS

PROBLEMA 1
Pivote

Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)

L

M

PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.

A

PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:

O
B

PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?

M1
R1
L

M

M2

O

R2

R


Slide 13

Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S  VECTOR ROTATORIO
y

Y - Pantalla, pared

ω
ω
x

Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x  ACos ( t   )
y  ASin ( t   )


r  x iˆ  y ˆj

No tiene existencia real

r  x  y ˆj

z  x  jy

 Numero complejo: z

 x  jy

Fasor del M.C.U en el plano
complejo

Mvto paralelo
ax

Instrucción para realizar una
rotación de 90
0

 j  1
2

 Exponente Compleja

Cos   jSin   e
Sin    



3



3!

Taylor
Cos   1 



5



5!

2

2!









7

 ...

7!

4

4!

j





6

6!

 ...

Sistemas Oscilantes
 Péndulo Simple 

Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.

 Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes  M.A.S



g
L

d 
2

 

dt

2

Frecuencia angular ω
T  2

L
g

Solucion

   MAX Cos (  t   )

 Péndulo Físico  balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
 Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
 d: distancia del pivote al Centro de masa.
 PAR-TORCIONAL  RESTAURADOR

  m . g .d .Sin 



mgd
I

d 
2

 

dt

2

 Péndulo de Torsión  Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.

Par torsional restaurador α

Posición Angular

   
 Ecuación de movimiento:




I

d 
2

 

dt

2

 Ejemplos

a)

L

c)

L

m

L

h

k

m

x
b)

k

r

m

d)

I

k1

r1

r2
k2

… Otros sistemas oscilantes
 Modulo de Young
Sistema de interés  Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3

2L0/3

L0

L

a)

P
L / 3

 Deformación unitaria

L0

2L / 3

L

 L  L0
b)

A1
A2

Fuerzas son proporcionales a las áreas

 P1
 P2

 Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)

P

 Tension

A

Tension
Deformacio n

 cte

 Objetos flotantes.

Fuerza restauradora

Producto de aumento y
disminución (peso liquido)

• masa dentro: m

2

d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V  ρ= m/ A.y

dt

2



gA
m

y

SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.

Suma de M.A.S con igual frecuencia
 Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
 Superposición con igual frecuencia

x  x1  x 2  A1 cos(  t   1 )  A 2 cos(  t   2 )

P2

OP   t  

A  A1  A2  2 A1 A2 cos(  2   1 )
2

2

2

0

P

t   2
P1
t  1

Vector rotatorio y exponente compleja

P’
P

P2

P2

P1

 2t   2

P1

 2t   2

 1t   1

0

 1t   1

0

 1t   1

P1

0
 2Pt   2

0
 1t   1

P1

P2

P2
P’’

 2t   2

P’’’

P
P2
P2

P1

P’

P1
0

0
P1
0
P2

P’’

0

P’’’

P2

P1

 Superposición con diferente frecuencia

(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2

Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.

• Para fases nulas
x  x1  x 2  A1 cos(  1 t )  A 2 cos(  2 t )

No es superposición de M.A.S

T  n1T1  n 2 T 2

• n1 y n2 son enteros de valores pequeños

• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.

• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS

PROBLEMA 1
Pivote

Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)

L

M

PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.

A

PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:

O
B

PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?

M1
R1
L

M

M2

O

R2

R


Slide 14

Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S  VECTOR ROTATORIO
y

Y - Pantalla, pared

ω
ω
x

Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x  ACos ( t   )
y  ASin ( t   )


r  x iˆ  y ˆj

No tiene existencia real

r  x  y ˆj

z  x  jy

 Numero complejo: z

 x  jy

Fasor del M.C.U en el plano
complejo

Mvto paralelo
ax

Instrucción para realizar una
rotación de 90
0

 j  1
2

 Exponente Compleja

Cos   jSin   e
Sin    



3



3!

Taylor
Cos   1 



5



5!

2

2!









7

 ...

7!

4

4!

j





6

6!

 ...

Sistemas Oscilantes
 Péndulo Simple 

Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.

 Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes  M.A.S



g
L

d 
2

 

dt

2

Frecuencia angular ω
T  2

L
g

Solucion

   MAX Cos (  t   )

 Péndulo Físico  balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
 Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
 d: distancia del pivote al Centro de masa.
 PAR-TORCIONAL  RESTAURADOR

  m . g .d .Sin 



mgd
I

d 
2

 

dt

2

 Péndulo de Torsión  Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.

Par torsional restaurador α

Posición Angular

   
 Ecuación de movimiento:




I

d 
2

 

dt

2

 Ejemplos

a)

L

c)

L

m

L

h

k

m

x
b)

k

r

m

d)

I

k1

r1

r2
k2

… Otros sistemas oscilantes
 Modulo de Young
Sistema de interés  Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3

2L0/3

L0

L

a)

P
L / 3

 Deformación unitaria

L0

2L / 3

L

 L  L0
b)

A1
A2

Fuerzas son proporcionales a las áreas

 P1
 P2

 Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)

P

 Tension

A

Tension
Deformacio n

 cte

 Objetos flotantes.

Fuerza restauradora

Producto de aumento y
disminución (peso liquido)

• masa dentro: m

2

d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V  ρ= m/ A.y

dt

2



gA
m

y

SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.

Suma de M.A.S con igual frecuencia
 Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
 Superposición con igual frecuencia

x  x1  x 2  A1 cos(  t   1 )  A 2 cos(  t   2 )

P2

OP   t  

A  A1  A2  2 A1 A2 cos(  2   1 )
2

2

2

0

P

t   2
P1
t  1

Vector rotatorio y exponente compleja

P’
P

P2

P2

P1

 2t   2

P1

 2t   2

 1t   1

0

 1t   1

0

 1t   1

P1

0
 2Pt   2

0
 1t   1

P1

P2

P2
P’’

 2t   2

P’’’

P
P2
P2

P1

P’

P1
0

0
P1
0
P2

P’’

0

P’’’

P2

P1

 Superposición con diferente frecuencia

(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2

Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.

• Para fases nulas
x  x1  x 2  A1 cos(  1 t )  A 2 cos(  2 t )

No es superposición de M.A.S

T  n1T1  n 2 T 2

• n1 y n2 son enteros de valores pequeños

• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.

• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS

PROBLEMA 1
Pivote

Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)

L

M

PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.

A

PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:

O
B

PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?

M1
R1
L

M

M2

O

R2

R


Slide 15

Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S  VECTOR ROTATORIO
y

Y - Pantalla, pared

ω
ω
x

Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x  ACos ( t   )
y  ASin ( t   )


r  x iˆ  y ˆj

No tiene existencia real

r  x  y ˆj

z  x  jy

 Numero complejo: z

 x  jy

Fasor del M.C.U en el plano
complejo

Mvto paralelo
ax

Instrucción para realizar una
rotación de 90
0

 j  1
2

 Exponente Compleja

Cos   jSin   e
Sin    



3



3!

Taylor
Cos   1 



5



5!

2

2!









7

 ...

7!

4

4!

j





6

6!

 ...

Sistemas Oscilantes
 Péndulo Simple 

Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.

 Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes  M.A.S



g
L

d 
2

 

dt

2

Frecuencia angular ω
T  2

L
g

Solucion

   MAX Cos (  t   )

 Péndulo Físico  balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
 Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
 d: distancia del pivote al Centro de masa.
 PAR-TORCIONAL  RESTAURADOR

  m . g .d .Sin 



mgd
I

d 
2

 

dt

2

 Péndulo de Torsión  Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.

Par torsional restaurador α

Posición Angular

   
 Ecuación de movimiento:




I

d 
2

 

dt

2

 Ejemplos

a)

L

c)

L

m

L

h

k

m

x
b)

k

r

m

d)

I

k1

r1

r2
k2

… Otros sistemas oscilantes
 Modulo de Young
Sistema de interés  Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3

2L0/3

L0

L

a)

P
L / 3

 Deformación unitaria

L0

2L / 3

L

 L  L0
b)

A1
A2

Fuerzas son proporcionales a las áreas

 P1
 P2

 Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)

P

 Tension

A

Tension
Deformacio n

 cte

 Objetos flotantes.

Fuerza restauradora

Producto de aumento y
disminución (peso liquido)

• masa dentro: m

2

d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V  ρ= m/ A.y

dt

2



gA
m

y

SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.

Suma de M.A.S con igual frecuencia
 Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
 Superposición con igual frecuencia

x  x1  x 2  A1 cos(  t   1 )  A 2 cos(  t   2 )

P2

OP   t  

A  A1  A2  2 A1 A2 cos(  2   1 )
2

2

2

0

P

t   2
P1
t  1

Vector rotatorio y exponente compleja

P’
P

P2

P2

P1

 2t   2

P1

 2t   2

 1t   1

0

 1t   1

0

 1t   1

P1

0
 2Pt   2

0
 1t   1

P1

P2

P2
P’’

 2t   2

P’’’

P
P2
P2

P1

P’

P1
0

0
P1
0
P2

P’’

0

P’’’

P2

P1

 Superposición con diferente frecuencia

(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2

Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.

• Para fases nulas
x  x1  x 2  A1 cos(  1 t )  A 2 cos(  2 t )

No es superposición de M.A.S

T  n1T1  n 2 T 2

• n1 y n2 son enteros de valores pequeños

• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.

• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS

PROBLEMA 1
Pivote

Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)

L

M

PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.

A

PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:

O
B

PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?

M1
R1
L

M

M2

O

R2

R


Slide 16

Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S  VECTOR ROTATORIO
y

Y - Pantalla, pared

ω
ω
x

Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x  ACos ( t   )
y  ASin ( t   )


r  x iˆ  y ˆj

No tiene existencia real

r  x  y ˆj

z  x  jy

 Numero complejo: z

 x  jy

Fasor del M.C.U en el plano
complejo

Mvto paralelo
ax

Instrucción para realizar una
rotación de 90
0

 j  1
2

 Exponente Compleja

Cos   jSin   e
Sin    



3



3!

Taylor
Cos   1 



5



5!

2

2!









7

 ...

7!

4

4!

j





6

6!

 ...

Sistemas Oscilantes
 Péndulo Simple 

Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.

 Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes  M.A.S



g
L

d 
2

 

dt

2

Frecuencia angular ω
T  2

L
g

Solucion

   MAX Cos (  t   )

 Péndulo Físico  balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
 Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
 d: distancia del pivote al Centro de masa.
 PAR-TORCIONAL  RESTAURADOR

  m . g .d .Sin 



mgd
I

d 
2

 

dt

2

 Péndulo de Torsión  Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.

Par torsional restaurador α

Posición Angular

   
 Ecuación de movimiento:




I

d 
2

 

dt

2

 Ejemplos

a)

L

c)

L

m

L

h

k

m

x
b)

k

r

m

d)

I

k1

r1

r2
k2

… Otros sistemas oscilantes
 Modulo de Young
Sistema de interés  Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3

2L0/3

L0

L

a)

P
L / 3

 Deformación unitaria

L0

2L / 3

L

 L  L0
b)

A1
A2

Fuerzas son proporcionales a las áreas

 P1
 P2

 Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)

P

 Tension

A

Tension
Deformacio n

 cte

 Objetos flotantes.

Fuerza restauradora

Producto de aumento y
disminución (peso liquido)

• masa dentro: m

2

d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V  ρ= m/ A.y

dt

2



gA
m

y

SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.

Suma de M.A.S con igual frecuencia
 Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
 Superposición con igual frecuencia

x  x1  x 2  A1 cos(  t   1 )  A 2 cos(  t   2 )

P2

OP   t  

A  A1  A2  2 A1 A2 cos(  2   1 )
2

2

2

0

P

t   2
P1
t  1

Vector rotatorio y exponente compleja

P’
P

P2

P2

P1

 2t   2

P1

 2t   2

 1t   1

0

 1t   1

0

 1t   1

P1

0
 2Pt   2

0
 1t   1

P1

P2

P2
P’’

 2t   2

P’’’

P
P2
P2

P1

P’

P1
0

0
P1
0
P2

P’’

0

P’’’

P2

P1

 Superposición con diferente frecuencia

(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2

Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.

• Para fases nulas
x  x1  x 2  A1 cos(  1 t )  A 2 cos(  2 t )

No es superposición de M.A.S

T  n1T1  n 2 T 2

• n1 y n2 son enteros de valores pequeños

• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.

• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS

PROBLEMA 1
Pivote

Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)

L

M

PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.

A

PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:

O
B

PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?

M1
R1
L

M

M2

O

R2

R