Exponente Complejo Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO y Y - Pantalla, pared ω ω x Físicamente se tiene un eje Real.
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Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 2
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
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2Pt 2
0
1t 1
P1
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2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 3
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
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0
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0
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P’’’
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P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
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Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
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Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 6
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 7
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
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Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
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Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 10
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 11
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 12
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 13
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 14
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 15
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 16
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 2
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 3
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 4
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 5
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 6
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 7
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 8
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 9
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 10
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 11
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 12
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 13
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 14
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 15
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R
Slide 16
Exponente Complejo
Según los conceptos de M.C.U y del M.A.S VECTOR ROTATORIO
y
Y - Pantalla, pared
ω
ω
x
Físicamente se tiene un eje Real “x” y el eje “y” que
es perpendicular al real, es Imaginario.
x ACos ( t )
y ASin ( t )
r x iˆ y ˆj
No tiene existencia real
r x y ˆj
z x jy
Numero complejo: z
x jy
Fasor del M.C.U en el plano
complejo
Mvto paralelo
ax
Instrucción para realizar una
rotación de 90
0
j 1
2
Exponente Compleja
Cos jSin e
Sin
3
3!
Taylor
Cos 1
5
5!
2
2!
7
...
7!
4
4!
j
6
6!
...
Sistemas Oscilantes
Péndulo Simple
Sistema mecánico que exhibe comportamiento periódico.
Fg : Fuerza Restauradora
• Si se experimenta pequeñas amplitudes M.A.S
g
L
d
2
dt
2
Frecuencia angular ω
T 2
L
g
Solucion
MAX Cos ( t )
Péndulo Físico balanceo de una barra o alambre
Aunque, cualquier sistema solido que puede realizar oscilaciones es Péndulo
Físico.
Todo sistema que no tenga MASA
PUNTUAL.
d: distancia del pivote al Centro de masa.
PAR-TORCIONAL RESTAURADOR
m . g .d .Sin
mgd
I
d
2
dt
2
Péndulo de Torsión Cuerpo Rígido sobre un alambre y se gira o tuerce el
cuerpo un ángulo.
Par torsional restaurador α
Posición Angular
Ecuación de movimiento:
I
d
2
dt
2
Ejemplos
a)
L
c)
L
m
L
h
k
m
x
b)
k
r
m
d)
I
k1
r1
r2
k2
… Otros sistemas oscilantes
Modulo de Young
Sistema de interés Alargamiento de una varilla (F α Lo)
L0/3
2L0/3
L0
L
a)
P
L / 3
Deformación unitaria
L0
2L / 3
L
L L0
b)
A1
A2
Fuerzas son proporcionales a las áreas
P1
P2
Si las deformaciones son pequeñas (0.1% de L0)
P
Tension
A
Tension
Deformacio n
cte
Objetos flotantes.
Fuerza restauradora
Producto de aumento y
disminución (peso liquido)
• masa dentro: m
2
d y
• Volumen involucrado: A. y
• Densidad: ρ=m/V ρ= m/ A.y
dt
2
gA
m
y
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
Hipótesis: “la resultante de 2 o mas vibraciones armónicas es la suma de las
vibraciones aisladas”.
Suma de M.A.S con igual frecuencia
Suma de M.A.S con Diferente frecuencia
Superposición con igual frecuencia
x x1 x 2 A1 cos( t 1 ) A 2 cos( t 2 )
P2
OP t
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
2
0
P
t 2
P1
t 1
Vector rotatorio y exponente compleja
P’
P
P2
P2
P1
2t 2
P1
2t 2
1t 1
0
1t 1
0
1t 1
P1
0
2Pt 2
0
1t 1
P1
P2
P2
P’’
2t 2
P’’’
P
P2
P2
P1
P’
P1
0
0
P1
0
P2
P’’
0
P’’’
P2
P1
Superposición con diferente frecuencia
(BATIMENTOS o PULSACIONES)
Un sistema físico con A1 , ω1 y A2 , ω2
Cambios continuos de fase entre
vibraciones u oscilaciones.
• Para fases nulas
x x1 x 2 A1 cos( 1 t ) A 2 cos( 2 t )
No es superposición de M.A.S
T n1T1 n 2 T 2
• n1 y n2 son enteros de valores pequeños
• Ejemplo 1: Señal de 450 Hz y otra de 100 Hz
• ejemplo 2: tímpano no distingue fase de la
mezcla de señales.
• Si se tiene una superposición de movimientos, tal que, las frecuencias son muy
parecidas, ESTA perturbación se denomina PULSACION O BATIMENTOS
PROBLEMA 1
Pivote
Una pequeña pelota de masa M esta unida al extremo de una
varilla uniforme de masa igual a M/2 y de longitud L, que hace
pivote en la parte superior. Calcular el periodo de oscilación para
pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (modelar el objeto
M como una partícula)
L
M
PROBLEMA 2:
Un disco mas pequeño de radio r y masa m, esta unido
rígidamente a la cara de un segundo disco mas grande de
radio R y masa M, como se ve en la figura. El centro del
disco pequeño esta situado en el borde del disco grande. El
disco grande esta montado en su centro sobre un eje sin
fricción. El conjunto se hace girar un pequeño ángulo θ
desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) determine la
expresión para la rapidez del centro del disco pequeño
cuando para por la posición de equilibrio.
A
PROBLEMA 2:
Determine la frecuencia de oscilación del sistema físico:
O
B
PROBLEMA 3:
Se tiene un sistema como el de la figura (Abajo).
Se desea utilizar este péndulo como base para
construir un reloj, de tal manera que efectué una
oscilación cada segundo. Se tiene una masa de
0.5 [kg] de aluminio para construir el sistema. Si
el disco menor tiene un radio igual a la mitad del
radio del disco mayor y los discos tienen el
mismo espesor. ¿Cuál debe ser el radio del disco
mayor y el espesor de los discos?
M1
R1
L
M
M2
O
R2
R