Transcript Κεφάλαιο 2. Προτασιακή Λογική

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ
ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ1
1
ΠΕΡΙΛΗΨΗ
• Κύριος σκοπός : Η μελέτη μέσω μιας γλώσσας της λογικής
των προτάσεων.
• Μέθοδος: Εισαγωγή συμβόλων μετατρέποντας έτσι τα
σχήματα συλλογισμών σε συνδυασμούς συμβόλων.
Ο συμβολισμός προτάσεων θα περιοριστεί στο χώρο των
αποφάνσεων και όχι σε όλο τον χώρο της φυσικής μας
γλώσσας. Δηλαδή σύμβολα θα χρησιμοποιούμε για τις
αποφαντικές προτάσεις αυτές που μπορούν να
χαρακτηριστούν ΑΛΗΘΕΙΣ ή ΨΕΥΔΕΙΣ.
Η γλώσσα αυτή είναι μια χονδροειδής απομίμηση της φυσικής
μας γλώσσας με το πλεονέκτημα ότι είναι απόλυτα σαφής
,αυστηρή και ακριβής.
2
1.Γλώσσα –Πρόταση-Αληθοτιμή πρότασης
• Γλώσσα: Κύριο μέσον της επικοινωνίας των ανθρώπων και
περιλαμβάνει ως εκδηλώσεις της το γραπτό και προφορικό λόγο.
• Λέξη: Εκφράζει γλωσσικά (σημαίνει, συμβολίζει)μια έννοια.
• Πρόταση: Μια γλωσσική ενότητα ,η οποία εκφράζει κάποιο νόημα.
• Εκφράζεται μια ιδέα ή μια σκέψη σε σχέση με κάποιες έννοιες.
• Παράδειγμα :σχολ. Βιβλίο σελ.28.
• Είδη προτάσεων :αποφαντικές ή κρίσης, ερωτηματικές, επιθυμίας,
επιφωνηματικές κλπ.
• Αποφαντικές απλές προτάσεις: Περιλαμβάνουν δύο κύριους όρους το
υποκείμενο και το κατηγόρημα.
• Ελλειματικές ή μη πλήρεις προτάσεις.
3
ΤΑΥΤΟΣΗΜΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.
Δύο προτάσεις με την ίδια σημασία λέγονται
ταυτόσημες.
4
ΔΙΤΙΜΗ ΛΟΓΙΚΗ
• Αληθής: κάθε αποφαντική πρόταση που
περιγράφει μια πραγματική κατάσταση του
κόσμου μας.
• Ψευδής : κάθε αποφαντική πρόταση που
περιγράφει μια μη υπαρκτή κατάσταση του
κόσμου μας.
5
Ασκήσεις
σελ.32
• Παλιά ο δρόμος που οδηγούσε από την
Αθήνα στην Θήβα σε κάποιο σημείο
χωριζόταν σε τρείς δρόμους από τους
οποίους μόνο ένας οδηγούσε στην Θήβα .Η
Σφίγγα είχε βάλει στην αρχή κάθε δρόμου
μια πινακίδα .Όλοι γνώριζαν ότι ως
φιλοπαίγμων έγραψε την αλήθεια το πολύ σε
μία από τις τρείς πινακίδες .
6
• Η πινακίδα του 1ου δρόμου έγραφε
«Αυτός ο δρόμος οδηγεί στην Θήβα»
• Η πινακίδα του 2ου δρόμου έγραφε
«Αυτός ο δρόμος δεν οδηγεί στην Θήβα»
• Η πινακίδα του 3ου δρόμου έγραφε
«Ο πρώτος δρόμος δεν οδηγεί στην Θήβα»
Ο Οιδίποδας είχε βρει τον δρόμο που οδηγεί στην
Θήβα .Ποίος ήταν και γιατί;
7
Π1
Α
Α
Ψ
Ψ
Π2
Α
Ψ
Α
Ψ
Π3
Ψ
Ψ
Α
Α
8
ΑΣΚΗΣΗ 4 σελ.33
Δευτέρα Τρίτη
Τετάρτη
Πέμπτη
Παρασκ
Σαββάτο Κυριακή
Κρατύλ.
Α
Ψ
Α
Ψ
Α
Ψ
Α
Επιμεν.
Ψ
Α
Ψ
Α
Ψ
Α
Α
9
2.Σύνδεσμοι-Πίνακες Αληθοτιμών
• Σύνδεσμοι :Λέξεις ή διατάξεις λέξεων ,οι οποίες δεν
συνιστούν προτάσεις αλλά καθώς συμπλέκονται με
μια ή περισσότερες προτάσεις δημιουργούν
συνθετότερες προτάσεις.
Π.χ:1) Ο ουρανός είναι ξάστερος και φυσάει βοριαδάκι.
2)είτε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι σκαληνό είτε είναι
ισοσκελές.
Ασκήση:1 σελίδα 37.
10
Σχέση μεταξύ αληθοτιμών προτάσεων που
συμπλέκονται με συνδέσμους και αληθοτιμής της
πρότασης που προκύπτει
• Να βρεθούν οι απλούστερες προτάσεις από τις
οποίες προκύπτει αυτή η πρόταση καθώς ο
σύνδεσμος με τον οποίο συνδέονται.
• (1) <<ούτε ο Κ. βρίσκεται στο γραφείο του
ούτε ο Ν. βρίσκεται στο δικό του γραφείο.>>
11
Πίνακας Ι
Ο Κ. βρίσκεται στο
γραφείο .
Ο Ν. βρίσκεται στο δικό
του γραφείο.
Ούτε ο Κ. βρίσκεται στο
γραφείο του ούτε ο Ν.
βρίσκεται στο δικό του
γραφείο.
Α
Α
Ψ
Α
Ψ
Ψ
Ψ
Α
Ψ
Ψ
Ψ
Α
12
Παρατηρούμε ότι…
η αληθοτιμή της πρότασης που προκύπτει
δεν εξαρτάται από τη σημασία , το
εννοιολογικό περιεχόμενο των δύο
προτάσεων ,το τι περιγράφουν ή το ποιά
είναι η σχέση τους ,αλλά μόνον από τις
αληθοτιμές τους.
13
Υπάρχουν λοιπόν…
• Διθέσιοι σύνδεσμοι π.χ <<ούτε …….ούτε……>>.
• Μονοθέσιοι σύνδεσμοι π.χ << δεν >>
14
3.Συμβολική Γλώσσα –Προτασιακές
Μεταβλητές.
• Η πρόταση << ο Κ. βρίσκεται στο γραφείο
του>>
Η πρόταση Π.
• Η πρόταση << ο Ν. βρίσκεται στο γραφείο
του>>.
Η πρόταση Ρ
15
Οπότε …
• Τα γράμματα που
χρησιμοποιούμε ως σύμβολα των
προτάσεων τα καλούμε
προτασιακές μεταβλητές
16
Επίσης
• Για τους συνδέσμους χρησιμοποιούμε δίαφορα σύμβολα π.χ
<<ούτε …ούτε …>> το σύμβολο <<↓>>.
• Πχ Τ↓ Σ.
• ΠΡΟΣΟΧΗ:1) Οι προτασιακές μεταβλητές δεν είναι
προτάσεις αλλά σύμβολα προτάσεων.
• 2) Η έκφραση Τ↓ Σ .δεν είναι πρόταση αλλά το σύμβολο μιας
πρότασης .
• 3) οι προτασιακές μεταβλητές δεν έχουν, τιμές αληθείας γιατί
δεν είναι προτάσεις.
17
Δηλαδή…
• Κατασκευάζουμε μια τεχνητή ή συμβολική
γλώσσα σε αντιδιαστολή με την φυσική που
μιλάμε.
• Η συμβολική και η φυσική γλώσσα
συσχετίζονται καθώς από τη μία μπορούμε να
μεταβαίνουμε στην άλλη αντιστοιχίζοντας ή
μεταφράζοντας τις εκφράσεις της μιας σε
εκφράσεις της άλλης.
18
Οπότε …
• Πχ: σελίδα 41.
• Συμβολική γλώσσα= γεννήτρια εκφράσεων
της φυσικής γλώσσας.
• Συμβολική γεννήτρια αποκαλύπτει την δομή
έκφρασης της φυσικής γλώσσας , μέσω της
οποίας μπορούμε να μελετήσουμε τη λογική
της συμπεριφορά.
19
4.ΣΥΖΕΥΞΗ
• Έστω η πρόταση ¨Ο Κ. βρίσκεται στο γραφείο
του και ο Ν. βρίσκεται στο δικό του¨.
• Συζευκτική :περιγράφει μια κατάσταση των
πραγμάτων του κόσμου μας η οποία
συντίθεται από τις δύο καταστάσεις που
περιγράφουν οι δυο καταστάσεις που
συμπλέκονται .
20
Πίνακας 4
Ο Κ. βρίσκεται στο
γραφείο του .
Ο Ν. βρίσκεται στο δικό
του γραφείο.
Ο Κ. βρίσκεται στο
γραφείο του και ο Ν.
βρίσκεται στο δικό του.
Α
Α
Α
Α
Ψ
Ψ
Ψ
Α
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
21
Πίνακας 5
Π
Ρ
Π
Α
Α
Α
Α
Ψ
Ψ
Ψ
Α
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
Ρ
22
Παρατηρήσεις.
• 1) οι σύνδεσμοι <<…και …>> ,<< …καθώς και…>>,
<<…αλλά…>> ,έχουν λεπτές σημασιολογικές διαφορές αλλά
την ίδια λογική συμπεριφορά με τον σύνδεσμο <<…και…>>
οπότε ισχύει ο πίνακας 5.
• 2) ομοίως η τελεία που χωρίζει δυο προτάσεις
• 3) η άνω τελεία και
• 4) σε ορισμένες περιπτώσεις το κόμμα.
• 5) λεπτές σημασιολογικές αποχρώσεις (παρ .σελίδα 45)
.
23
AΣΚΗΣΕΙΣ σελ.47
109  153
• 2. « Ο Γαλαξίας μας περιλαμβάνει
άστρα και το ηλιακό μας σύστημα περιλαμβάνει
5 πλανήτες» είναι Α ή Ψ.
24
Άσκηση 3 σελ.4
• Τ:« εγώ είμαι ψεύτης αλλά αυτός δεν είναι»
• Τ:«εγώ είμαι ψεύτης ΚΑΙ αυτός δεν είναι» ΑήΨ
Έστω Τ (Α) άρα οι επιμέρους προτάσεις ,
«εγώ είμαι ψεύτης» και «αυτός εδώ είναι ψεύτης» πρέπει να είναι Α.
Αν «εγώ είμαι ψεύτης» αληθής τότε αυτός που την είπε είναι ψεύτης .
Αρα η Τ έιναι (Ψ) ΑΤΟΠΟ γιατί έχουμε δεχτεί ότι Τ (Α).
Αρα
Τ αναγκαστικά Ψ οπότε αυτός που μίλησε είναι ψεύτης άρα η πρόταση
εγώ είμαι ψεύτης είναι αληθής δηλαδή για να είναι ψευδής η Τ πρέπει
να είναι ψευδής και ή «αυτός δεν είναι ψεύτης» άρα και αυτός είναι
ψεύτης.
25
5.ΔΙΑΖΕΥΞΗ
• << το φάκελο τον έχει αναλάβει ο Κ. ή ο Ν.>>
• Διαζευκτική: ονομάζεται η πρόταση που
χρησιμοποιείτε να περιγράψει μια κατάσταση
που υφίσταται μόνον στην περίπτωση που
υφίσταται μία τουλάχιστον από τις
καταστάσεις που περιγράφονται από τις δύο
προτάσεις που συνδέονται και μόνον σε αυτήν.
26
Πίνακας 6
Το φάκελο τον έχει
αναλάβει ο Κ.
Το φάκελο τον έχει
αναλάβει ο Ν.
Το φάκελο τον έχει
αναλάβει ο Κ ή το φάκελο
τον έχει αναλάβει ο Ν.
Α
Α
Α
Α
Ψ
Α
Ψ
Α
Α
Ψ
Ψ
Ψ
27
Πίνακας 7
Π
Ρ
Π
Α
Α
Α
Α
Ψ
Α
Ψ
Α
Α
Ψ
Ψ
Ψ
Ρ
28
Εγκλειστικός-Αποκλειστικός
• <<Το βράδυ θα πάω κινηματογράφο ή θα πάω
στην ταβέρνα. Δεν έχω χρήματα και για τα
δύο>>.
29
Πίνακας 8
Π
Ρ
Π
Α
Α
Ψ
Α
Ψ
Α
Ψ
Α
Α
Ψ
Ψ
Ψ
Ρ
30
Εγκλειστικός-Αποκλειστικός 2
• Η διάκριση μεταξύ εγκλειστικού και
αποκλειστικού συνδέσμου εξαρτάται
αποκλειστικά από το πλαίσιο που αναφέρεται
η πρόταση.
31
Άσκηση 4 σελ.51
• Α: « εγώ είμαι ψεύτης ή εσύ είσαι ειλικρινής»
• Αν αυτός που την διατύπωσε είναι Ψ τότε η Α είναι
Ψ … ΆΡΑ και οι δύο προτάσεις είναι Ψ..ΟΠΟΤΕ η
«εγώ είμαι ψεύτης» είναι Ψ άρα αυτός που την
εκφώνησε λέει αλήθεια άρα δεν είναι Ψ ΕΊΝΑΙ Α
άρα Η διάζευξη είναι αληθής άρα μια από τις
δυο είναι αληθής η πρώτη είναι ψευδής
άρα
η δεύτερη είναι αληθής άρα και ο δεύτερος είναι
είναι ειλικρινής.
32
6.ΑΡΝΗΣΗ
• << Ο Γιώργος δεν πήγε χθες το βράδυ
κινηματογράφο>>
Προκύπτει από τη πρόταση
• << Ο Γιώργος πήγε χθες το βράδυ
κινηματογράφο>> αν μπροστά από το ρήμα
θέσω την λέξη<< δεν>>.
• Η λέξη δεν δρα ως προτασιακός
γεννήτορας.
33
Πίνακας
Π
Π
Α
Ψ
Ψ
Α
34
7.ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗ
• Σύνδεσμος της μορφής :
<< αν…………τότε…………>>
ηγούμενος όρος επόμενος όρος
(λόγος)
( ακολουθία)
• Οι προτάσεις αυτής της μορφής ονομάζονται υποθετικές.
• Οι υποθετικές προτάσεις χρησιμοποιούνται για να
περιγράψουν την εξής κατάσταση :
Στην περίπτωση κατά τη οποία αυτό που περιγράφει ο
ηγούμενος όρος υφίσταται ,υφίσταται και αυτό που
περιγράφει ο επόμενος.
35
Δηλαδή ….
• Περιγράφει μια διαπλοκή και εξάρτηση πραγμάτων του
κόσμου μας κατά συνέπεια η μελέτη της λογικής
συμπεριφοράς του συνδέσμου << αν ….τότε….>> είναι
δύσκολη.
36
Προς τον πίνακα αληθοτιμών…
(1)Το ποτήρι περιέχει
μπύρα
(2)Υπάρχει αλκοόλ στο
ποτήρι
(3)Εάν το ποτήρι περιέχει
μπύρα τότε υπάρχει
αλκοόλ στο ποτήρι
Αληθής
Αληθής
Αληθής
Αληθής
Ψευδής ( μπύρα χωρίς
αλκοόλ)
Ψευδής
Ψευδής
Αληθής
;
Ψευδής
Ψευδής
;
37
Χρειάζεται περισσότερη διερεύνηση για
να συμπληρωθεί ο πίνακας …
• Δίλλημα;
– << πάω στοίχημα 10 ευρώ ότι εάν το ποτήρι περιέχει
μπύρα τότε υπάρχει αλκοόλ σε αυτό>>
• Αν όμως το ποτήρι περιέχει λεμονάδα τότε τι γίνεται με το
στοίχημα;
– Το στοίχημα δεν υφίσταται( δεν πάει όπως λέμε)
• Αν όμως το ποτήρι περιέχει κρασί ,τότε το κερδίσαμε το
στοίχημα;
38
Η συνήθης χρήση υποθετικών
προτάσεων απαιτεί…
• Ο ηγούμενος όρος πρέπει να είναι αληθής .
• Οι ανάγκες όμως διερεύνησης τεχνικών
ζητημάτων σχετικών με επιστημονικούς
συλλογισμούς, επιχειρηματολογίες
,αυτοματισμούς κτλ. , βάζουν θέμα ψευδούς
ηγούμενου όρου.
39
Έτσι λοιπόν ….
• Προσπαθούμε να επαναδιατυπώσουμε την
πρόταση (3),δηλαδή :
• <<(3)Εάν το ποτήρι περιέχει μπύρα τότε
υπάρχει αλκοόλ στο ποτήρι >> ή
• <<στην περίπτωση που το ποτήρι περιέχει
μπύρα θα περιέχει και αλκοόλ>> ή
• <<δεν είναι δυνατόν το ποτήρι να περιέχει
μπύρα και να μην περιέχει αλκοόλ>>
40
Οπότε…
• <<δεν είναι δυνατόν το ποτήρι να περιέχει μπύρα
και να μην περιέχει αλκοόλ>> είναι
ΨΕΥΔΗΣ αν και μόνον αν η πρόταση
(4) << το ποτήρι περιέχει μπύρα και δεν υπάρχει
αλκοόλ στο ποτήρι >> είναι ΑΛΗΘΗΣ.
 Η παραπάνω πρόταση είναι ΣΥΖΕΥΚΤΙΚΗ
Και είναι ΑΛΗΘΗΣ μόνον όταν και οι δύο είναι
αληθείς ,σε κάθε άλλη περίπτωση είναι ΨΕΥΔΗΣ
ΑΡΑ η (3) θα είναι ΑΛΗΘΗΣ.
41
Δηλαδή ο πίνακας συμπληρώνεται ως εξής…
(1) Το ποτήρι περιέχει
μπύρα.
(2)Υπάρχει αλκοόλ στο
ποτήρι
(3) Εάν το ποτήρι περιέχει
μπύρα ,τότε υπάρχει
αλκοόλ στο ποτήρι.
Α
Α
Α
Α
Ψ
Ψ
Δεν είναι δυνατόν το
ποτήρι να περιέχει μπύρα.
Ψ
Υπάρχει αλκοόλ σε αυτό
Α.
Η (4) ΔΕΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΗΝ
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΑΡΑ (3)
Α
Ψ
Ψ
Η(4) ΔΕΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΗΝ
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΑΡΑ (3)
Α
42
Πίνακας 11
Π
Ρ
Π Ρ
Α
Α
Α
Α
Ψ
Ψ
Ψ
Α
Α
Ψ
Ψ
Α
43
ΤΕΛΟΣ
• Η απλή συνεπαγωγή λέγεται και υλική
συνεπαγωγή .Το χαρακτηριστικό της είναι ότι
η τιμή αληθείας της εξαρτάται μόνο από τις
τιμές αληθείας των συστατικών προτασιακών
μεταβλητών της και όχι από οποιαδήποτε
εννοιολογική σχέση υπάρχει μεταξύ τους.
• << Αν ο Σαίξπηρ έγραψε τον Βασιλιά Ληρ
,τότε ο ήλιος δύει στη δύση>>έχει τιμή
αληθείας και είναι αληθής.
44
ΔΙΠΛΗ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗ ή
ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ
• Οι δύο καταστάσεις που περιγράφουν οι
συνδεόμενες προτάσεις είναι τέτοιες ,ώστε δεν
είναι δυνατόν η μία να υφίσταται και η άλλη
να μην υφίσταται.
45
Πίνακας 12
Π
Ρ
Π Ρ
Α
Α
Α
Α
Ψ
Ψ
Ψ
Α
Ψ
Ψ
Ψ
Α
46
9.ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΟΣ ΤΥΠΟΣ
•
•
•
•
<< το βιβλίο βρίσκεται στο ράφι>>(1)
<<θα δανειστώ το βιβλίο για το βράδυ>>(2)
<<το βιβλίο δεν βρίσκεται στο ράφι>>(3)
<< αν το βιβλίο βρίσκεται στο ράφι ,τότε θα
δανειστώ το βιβλίο για το βράδυ>>(4) .
• οι (1) και (2) απλές.
• Οι (3) και (4) σύνθετες.(χρησιμοποιούμε
συνδέσμους)
47
ΚΑΙ ΕΝ ΣΥΝΕΧΕΙΑ…
• (5) << θα πάω στη βιβλιοθήκη και θα
συμβουλευτώ το λεξικό ή θα διαβάσω τα
αυριανά μαθήματα>>
• (6) <<θα πάω στη βιβλιοθήκη >>
• (7)<< θα συμβουλευτώ το λεξικό>>
• (8)<< θα διαβάσω τα αυριανά μαθήματα>>
48
Συντακτική αβεβαιότητα;
• (9)<<θα πάω στη βιβλιοθήκη και θα
συμβουλευτώ το λεξικό ,ή θα διαβάσω τα
αυριανά μαθήματα>> ή
• (10)<< θα πάω στη βιβλιοθήκη, και θα
συμβουλευτώ το λεξικό ή θα διαβάσω τα
αυριανά μαθήματα>>
49
Οπότε …
• Η προτ. (9) περιγράφει την εξής κατάσταση:
Θα κάνω τουλάχιστον ένα από τα ακόλουθα:
• θα πάω στη βιβλιοθήκη και θα συμβουλευτώ το λεξικό .
• θα διαβάσω τα αυριανά μαθήματα(πιθανόν όχι στη
βιβλιοθήκη ,αλλά κάπου αλλού )
• Ενώ η προτ.(10) περιγράφει την εξής κατάσταση:
Θα κάνω και τα δύο που ακολουθούν
• θα πάω στη βιβλιοθήκη
• Ευρισκόμενος στη βιβλιοθήκη θα συμβουλευτώ το λεξικό ή
θα διαβάσω τα αυριανά μαθήματα
50
Αλλά…
• Τα δομικά στοιχεία και η διάταξη τους στις
προτάσεις (9) και (10) είναι ακριβώς τα ίδια :
• Απλή προτ.6- σύζευξη – απλή πρότ. 7διάζευξη-απλή προτ.8
• ΠΡΤ
• (ΠΡ)Τ (9)
• Π(ΡΤ) (10)
51
9.ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΟΣ ΤΥΠΟΣ
• Για κάθε προτασιακή γλώσσα δίνουμε
γενικούς συντακτικούς κανόνες ,οι όποιοι
ορίζουν τι θα πει προτασιακός τύπος ,άρα
αποκλείουν από το σύνολο των προτασιακών
τύπων εκφράσεις χωρίς νόημα ή εκφράσεις με
νοηματική αμφισημία.
52
ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΟΣ ΤΥΠΟΣ (1)
• ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ:
1. Προτασιακές μεταβλητές
2. Συνδέσμους
3. Ζεύγη παρενθέσεων
53
ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΟΣ ΤΥΠΟΣ (2)
• Κανόνες για το τι είναι τύπος και πώς
κατασκευάζεται:
1. Κάθε προτασιακή μεταβλητή είναι τύπος .
2. Αν 1 τύπος τότε και φ1 τύπος .
3. Αν φ1 και φ2 τύποι τότε και (φ1 φ2) ,
(φ1 φ2) ,(φ1 φ2) και (φ1 φ2) είναι τύποι.
54
ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΟΣ ΤΥΠΟΣ (3)
• Παρατηρήσεις:
1. ο (3) εισάγει παρενθέσεις αλλά μπορούν να πασαλειφθούν αν είναι
ακραίο δομικό στοιχείο .π.χ(Π Ρ) Π Ρ
2. Δεν περικλείουμε ποτέ με παρενθέσεις μια προτασιακή μεταβλητή ή ένα
σύνδεσμο.π.χ (Π) ή ( ).
3. Ο διθέσιος σύνδεσμος συνοδεύεται αναγκαστικά από ζεύγος
παρενθέσεων το οποίο προσδιορίζει την εμβέλεια του.π.χ (Π Ρ) Τ
.Έχω εξαίρεση όταν η εμβέλεια του διθέσιου συνδέσμου περιλαμβάνει
ολόκληρο τον τύπο ,οπότε τότε ο σύνδεσμος καλείται κύριος.
4. Δεχόμαστε ότι η άρνηση
δρα στον αμέσως δεξιά τύπο και δεν είναι
αναγκαίες οι παρενθέσεις.(δηλαδή Π Ρ μπορεί να σημαίνει (Π Ρ)
ή Π Ρ και όχι ( Π) Ρ )
55
10.ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΛΗΘΕΙΑΣ ΤΥΠΟΥ
• Ο τύπος αναπαριστά με συμβολικό τρόπο τη δομή μιας
πρότασης.
• Σε κάθε απλή πρόταση αντιστοιχίζεται μια αληθοτιμή.
• Σε κάθε σύνθετη πρόταση αντιστοιχίζεται αληθοτιμή από
κάθε δυνατό συνδυασμό των αληθοτιμών των απλών
προτάσεων.
• Η Αληθοτιμή μιας πρότασης η οποία προκύπτει από ένα τύπο
δεν εξαρτάται από το νοηματικό περιεχόμενο των προτάσεων
που την απαρτίζουν αλλά από τις αληθοτιμές αυτών.
56
11.ΠΑΡΑΦΡΑΣΗ-ΜΕΤΑΦΡΑΣΗΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ
• Μετάφραση: Είναι η διαδικασία με την οποία
αποδίδουμε τη σημασία λέξεων και προτάσεων
εκφρασμένων σε μια γλώσσα με λέξεις και προτάσεις σε
μια άλλη γλώσσα.
• Τυποποίηση:Η μετάφραση από τη φυσική γλώσσα στη
συμβολική
• Παράφραση: Είναι η διαδικασία με την οποία βρίσκουμε
μια πρόταση που έχει την ιδία σημασία με την πρόταση
που θέλουμε να τυποποιήσουμε αλλά διαφορετική μορφή
από αυτή.
• Η παράφραση έχει ως στόχο ,να κάνει φανερά τα δομικά
στοιχεία μιας σύνθετης πρότασης για να γίνει πιο εύκολα
η τυποποίηση της.
57
παραδείγματα
• (1) <<το αλάτι δεν είναι χημική ένωση αλλά στοιχείο>>
• (2)<<το αλάτι δεν είναι χημική ένωση και στοιχείο>>
• (3)<< το αλάτι δεν είναι χημική ένωση και δεν είναι στοιχείο>>
 Εντοπίζουμε τους συνδέσμους που υπάρχουν στην προτ.(1) :άρνηση και σύζευξη.
 Αναλύουμε την πρόταση (1) σε απλές προτάσεις:
(1α)<< το αλάτι είναι χημική ένωση >> Π
(1β)<<το αλάτι είναι στοιχείο>>Ρ
 Προσδιορίζουμε την ακτίνα δράσης των συνδέσμων:Η άρνηση δρα στην (1α) και
η σύζευξη δρα στην (1β).
 1η παράφραση (1΄)<< το αλάτι δεν είναι χημική ένωση αλλά το αλάτι είναι
στοιχείο>>
 2η παράφραση(1΄΄) <<το αλάτι δεν είναι χημική ένωση και το αλάτι είναι
στοιχείο>>
 ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ: ΠΡ
58
Εν συνεχεία…
• (2)<<το αλάτι δεν είναι χημική ένωση και στοιχείο>>
 Εντοπίζουμε τους συνδέσμους που υπάρχουν στην προτ.(1) :άρνηση και σύζευξη.
 Αναλύουμε την πρόταση (1) σε απλές προτάσεις:
(1α)<< το αλάτι είναι χημική ένωση >> Π
(1β)<<το αλάτι είναι στοιχείο>>Ρ
 Προσδιορίζουμε την ακτίνα δράσης των συνδέσμων : Η σύζευξη συνδέει την (1α)
και την (1β) και η άρνηση δρα σε ολόκληρη τη συζευκτική πρόταση.
 1η παράφραση :(2΄)<<δεν ισχύει ότι το αλάτι είναι χημική ένωση και το αλάτι είναι
στοιχείο>>
 2η παράφραση (2΄΄)<<δεν ισχύει το ακόλουθο:το αλάτι είναι χημική ένωση και το
αλάτι είναι στοιχείο>>
 ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ : ( ΠΡ)
59
Και τέλος …
• (3)<< το αλάτι δεν είναι χημική ένωση και δεν είναι στοιχείο>>
 Εντοπίζουμε τους συνδέσμους που υπάρχουν στην προτ.(1) : δυο αρνήσεις και μια
σύζευξη.
 Αναλύουμε την πρόταση (1) σε απλές προτάσεις:
(1α)<< το αλάτι είναι χημική ένωση >> Π
(1β)<<το αλάτι είναι στοιχείο>> Ρ
 Προσδιορίζουμε την ακτίνα δράσης των συνδέσμων:Η πρώτη άρνηση δρα στην
(1α) η 2η δρα στην (1β) και η σύζευξη συνδέει τις αρνήσεις των (1α)και (1β).
 Παράφραση: (3΄)<< το αλάτι δεν είναι χημική ένωση και το αλάτι δεν είναι
στοιχείο >>
 ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ: ΠΡ
60
12. Παραδείγματα τυποποίησης.
• Παράδειγμα 1ον:
(1)<<Εξω βρέχει ή χιονίζει. Στην τελευταία περίπτωση ο δρόμος
γλιστράει>>
 Απλές προτάσεις:
(1α) <<έξω βρέχει>> Π
(1β) <<έξω χιονίζει>> Ρ
(1γ) <<ο δρόμος γλιστράει>> Τ
 Παράφραση: (1΄) <<Έξω βρέχει ή έξω χιονίζει. Αν έξω
χιονίζει ,τότε ο δρόμος γλιστράει>>.
 ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ: (ΠΡ)(ΡΤ)
61
Κανόνας 1ος
• Στην περίπτωση που σε μια συνθέτη πρόταση υπάρχουν
εκφράσεις ή προτάσεις ,οι οποίες εξαρτώνται νοηματικά από
άλλες προτάσεις της, τότε σε μια παράφραση της πρέπει να τις
αντικαθιστούμε με ταυτόσημες που όμως δεν αντλούν τη
σημασία τους από άλλες
• Δηλαδή:(1)<<Εξω βρέχει ή χιονίζει. Στην τελευταία
περίπτωση ο δρόμος γλιστράει>>
• Η έκφραση χιονίζει εξαρτάται νοηματικά από την (1α)
<<έξω (χιονίζει).>>.Προσθέτοντας τη λέξη <<έξω>>
κατασκευάζω την (1β) άρα η έκφραση χιονίζει γίνεται
ανεξάρτητη.
62
Τυποποίησης συνέχεια…
• Παράδειγμα 2ο: (2)<<Ο Κίσσαβος δεν είναι ψηλότερος από
τον Όλυμπο ή τον Ταΰγετο .Αλλά αν ο Ταΰγετος είναι
χαμηλότερος από τον Κίσσαβο ,δεν είναι και ο Όλυμπος
χαμηλότερος από τον Κίσσαβο >>
 Απλές προτάσεις:
(2α) << Ο Κίσσαβος είναι ψηλότερος από τον Όλυμπο >>
(2β)<< Ο Κίσσαβος είναι ψηλότερος από τον Ταΰγετο>>
(2γ)<< Ο Ταΰγετος είναι χαμηλότερος από τον Κίσσαβο >>
(2δ)<< Ο Όλυμπος χαμηλότερος από τον Κίσσαβο >>
63
Κανόνας 2ος
• Αν σε μία σύνθετη πρόταση υπάρχουν
εκφράσεις ή προτάσεις με την ίδια σημασία ,
σε μία παράφραση της πρέπει να τις
αντικαθιστούμε όλες με ισάριθμες εμφανίσεις
μιας και μόνο έκφρασης που έχει την ίδια
σημασία με αυτές.
64
Δηλαδή
(2α) << Ο Κίσσαβος είναι ψηλότερος από τον Όλυμπο >> Π
(2β)<< Ο Κίσσαβος είναι ψηλότερος από τον Ταΰγετο>> Ρ
ΚΑΙ
(2γ)<< Ο Ταΰγετος είναι χαμηλότερος από τον Κίσσαβο >>Ρ
(2δ)<< Ο Όλυμπος χαμηλότερος από τον Κίσσαβο >> Π.
 Παράφραση: Δεν είναι αληθές το ακόλουθο :ο Κίσσαβος είναι ψηλότερος
από τον Όλυμπο ή ο Κίσσαβος είναι ψηλότερος από τον Ταΰγετο .(Και )
.Αν ο Κίσσαβος είναι ψηλότερος από τον Ταΰγετο ,τότε ο Κίσσαβος δεν
ψηλότερος από τον Όλυμπο.
 Τυποποίηση: (Π Ρ) ( Ρ Π)
65
13.Ταυτολογία -Αντίφαση
• Κάθε τύπος, στον οποίο αντιστοιχεί η αληθοτιμή Α
για κάθε δυνατό συνδυασμό που αντιστοιχούν στις
προτασιακές μεταβλητές που τον συγκροτούν
καλείται ταυτολογία .
• Κάθε τύπος , στον οποίο αντιστοιχεί η αληθοτιμή Ψ
για κάθε δυνατό συνδυασμό που αντιστοιχούν στις
προτασιακές μεταβλητές που τον συγκροτούν
καλείται αντίφαση.
• Κάθε τύπος που δεν ταυτολογία ή αντίφαση καλείται
ενδεχόμενος.
66
Πίνακας 18
1 .Νόμος διπλής άρνησης
( Π) Π
2 νόμος αντιφάσεως
(Π
Π)
3.Νόμος συμπληρώματος ή αποκλείσεις
του τρίτου
Π
4. Νόμος αντιμεταθετικότητας σύζευξης
(Π Ρ) (Ρ Π)
Π
5.νόμος De Morgan για τη σύζευξη
(Π Ρ) ( Π
Ρ)
6. Νόμος De Morgan για τη διάζευξη
(Π Ρ) ( Π
Ρ)
7.Νόμος αντικαταστάσεως συνεπαγωγής
(Π Ρ) ( Π Ρ)
8. Νόμος αντιθετόαντιστροφής
(Π Ρ) ( Ρ
Π)
67
Σημαντική Παρατήρηση
 Οι ταυτολογίες είναι τρόποι οργάνωσης της προϋπάρχουσας
γνώσης .
 Δεν μας δίνουν πληροφορίες ή γνώση για τον κόσμο γιατί
είναι πάντα αληθείς.
 << Το πορτοφόλι μας περιέχει ή δεν περιέχει χρήματα>>
 Η αλήθεια αυτή δεν μας δίνει καμιά πληροφορία για το γίνεται
στο πορτοφόλι μας για να το καταλάβουμε πρέπει να το
ανοίξουμε .
 Δυο τύποι φ και χ θα λέγονται λογικά ισοδύναμοι όταν και
μόνον όταν ο τύπος φ χ είναι ταυτολογία .
68
14.ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑ
• Η πρόσληψη της γνώσης γίνεται μέσω της εμπειρίας (
περιορισμένη) ή μέσω νοητικών διεργασιών.
• Παράδειγμα σελ.83
• Συλλογισμός ,είναι μια νοητική διαδικασία με βάση
την οποία ,ξεκινώντας από μια ομάδα γνωσιακών
δεδομένων που εκφράζονται με μορφή προτάσεων
,καταλήγουμε σε ένα νέο γνωσιακό στοιχείο που
επίσης εκφράζεται με μορφή πρότασης. Τα δεδομένα
καλούνται υποθέσεις ή προκείμενες και η πρόταση
στην οποία καταλήγουμε συμπέρασμα.
69
ΚΑΙ
• Επιχείρημα : Το σύνολο των
προτάσεων που εμφανίζονται σε ένα
συλλογισμό ( υποθέσεις και
συμπεράσματα)
• Το επιχείρημα είναι ,ο τρόπος με τον
οποίο εμφανίζεται σε επίπεδο λόγου
ένας συλλογισμός .
70
παραδείγματα
• Αν η θερμάστρα
• Αν έχει δύσει ο ήλιος ,
λειτουργεί τότε το
τότε έχει ανάψει ο
δωμάτιο είναι ζεστό .
προβολέας
• Η θερμάστρα λειτουργεί • Έχει δύσει ο ήλιος.
• Άρα το δωμάτιο είναι
• Άρα έχει ανάψει ο
ζεστό
προβολέας
71
ΠΡ
Π
Ρ
72
15.ΕΓΚΥΡΟ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑ
73
Πίνακας 20
1
2
3
4
5
υπόθεση
υπόθεση
Συμπερ.
Π
Ρ
Π Ρ
Π
Ρ
1
Α
Α
Α
Α
Α
2
Α
Ψ
Ψ
Α
Ψ
3
Ψ
Α
Α
Ψ
Α
4
Ψ
Ψ
Α
Ψ
Ψ
74
Πίνακας 20
Υποθέσεις Αληθείς τότε το συμπέρασμα
Αληθές
Ένα σχήμα επιχειρήματος καλείται έγκυρο
όταν δεν υπάρχει περίπτωση κατά την οποία
κάθε μια από τις υποθέσεις να έχει αληθοτιμή
Α και το συμπέρασμα να έχει Ψ
75
Παράδειγμα 2
• Αν ο διακόπτης είναι ανοιχτός τότε ο φούρνος
θερμαίνεται. ΠΡ
• Ο διακόπτης είναι ανοιχτός Ρ
• Άρα ο φούρνος θερμαίνεται Π
76
Πίνακας 21
1
2
3
4
5
Υπόθεση.
Υπόθεση.
Συμπερ.
Π
Ρ
Π Ρ
Ρ
Π
1
Α
Α
Α
Α
Α
2
Α
Ψ
Ψ
Ψ
Α
3
Ψ
Α
Α
Α
Ψ
4
Ψ
Ψ
Α
Ψ
Ψ
77
Πίνακας 21
• Ένας συνδυασμός αληθοτιμών των προτασιακών
μεταβλητών που εμφανίζονται σε ένα σχήμα
επιχειρήματος τέτοιος ώστε όλες οι υποθέσεις να
έχουν αληθοτιμή Α και το συμπέρασμα αληθοτιμή
Ψ ονομάζεται αντιπαράδειγμα .
• Ένα σχήμα επιχειρήματος είναι έγκυρό όταν και
μόνον όταν δεν έχει κανένα αντιπαράδειγμα .Ένα
σχήμα επιχειρήματος είναι μη έγκυρο όταν και
μόνον έχει ένα τουλάχιστον αντιπαράδειγμα.
78
Κανόνες
• 1.Modus Ponens
Π Ρ
Π
Ρ
• 2.Modus Tollens
Π Ρ
Ρ
Π
79
• 3.Υποθετικός Συλλογισμός
Π Ρ
Ρ Τ
Π Τ
• 4.Διαζευκτικός Συλλογισμός
Π Ρ
Π
Ρ
80
ΘΕΩΡΗΜΑ
• Ένα σχήμα επιχειρήματος είναι έγκυρο αν και
μόνον αν η συνεπαγωγή που έχει σαν
ηγούμενο όρο τη σύζευξη των υποθέσεων του
και επόμενο όρο το συμπέρασμα του είναι
ταυτολογία
• Ταυτολογία: φχ ,όπου φ η σύζευξη των
υποθέσεων και χ συμπέρασμα ( φ και χ είναι
τύποι )
81