Transcript Εισαγωγή στην Τοπολογία (714)

Εισαγωγή στην Τοπολογία (714)
Μια άσκηση
΄Εστω X ο τοπολογικός υπόχωρος [0, 1] του RS (:δηλ. της πραγματικής ευθείας με την τοπολογία
των αριστερά
( ημιανοικτών διαστημάτων {(x, y] : x ≤ y}). Δείξτε ότι η συνάρτηση f : X → R
1/x, x 6= 0
με f (x) =
είναι συνεχής.
0,
x=0
Εξετάστε αν καθένα από τα ακόλουθα είναι αληθές: (απόδειξη ή αντιπαράδειγμα):
(i) Ο X είναι συμπαγής χώρος.
(ii) Η ακολουθία ( n1 ) στον X συγκλίνει στο 0 ∈ X.
Λύση Για να δείξουμε ότι η f είναι συνεχής, αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε (a, b) ⊆ R η
αντίστροφη εικόνα f −1 ((a, b)) είναι ανοικτό υποσύνολο του X. Αν a > 0, τότε
1 1
f −1 ((a, b)) = {x ∈ [0, 1] : f (x) ∈ (a, b)} = ( , ) ∩ [0, 1]
b a
που είναι (σχετικά) ανοικτό στον X, εφόσον τα ανοικτά διαστήματα είναι ανοικτά στον RS .
Αν πάλι a ≤ 0, τότε
1
f −1 ((a, b)) = {0} ∪ {x ∈ (0, 1] : f (x) ∈ (a, b)} = {0} ∪ ( , +∞) ∩ [0, 1].
b
Το ( 1b , +∞) είναι ανοικτό στην RS , άρα το ( 1b , +∞) ∩ [0, 1] είναι ανοικτό στον X. Αλλά και το
{0} είναι σχετικά ανοικτό στον X, αφού {0} = (−12, 0] ∩ [0, 1]. Συνεπώς η ένωσή τους, δηλ.
το f −1 ((a, b)), είναι ανοικτό στον X.
Τα δύο ερωτήματα έχουν τώρα άμεση απάντηση:
(i) Ο X δεν είναι συμπαγής, γιατί αν ήταν, τότε το f (X) θα ήταν συμπαγές υποσύνολο του R.
΄Ομως δεν είναι: f (X) = {0} ∪ [1, +∞).
(ii) Η ( n1 ) δεν είναι συγκλίνουσα (ούτε στο 0, ούτε αλλού...) στην τοπολογία του X, γιατί αν
ήταν, τότε η (f ( n1 )) = (n) θα ήταν συγκλίνουσα στον R, πράγμα που δεν συμβαίνει.