Piramīda - WordPress.com
Download
Report
Transcript Piramīda - WordPress.com
PIRAMĪDA
12.KLASE
Piramīda
Par piramīdu (SABCD) sauc daudzskaldni, kuram
viena skaldne (ABCDE), ko sauc par pamatu, ir
kāds daudzstūris, bet visas pārējās skaldnes (SAB,
SBC, SCD, SDE, SEA), kuras sauc par piramīdas sānu
skaldnēm, ir trijstūri ar kopīgu virsotni.
S
C
B
D
A
E
Piramīda
Sānu skaldņu kopīgo virsotni (S) sauc par
piramīdas virsotni, bet perpendikulu, kas novilkts no
piramīdas virsotnes pret pamata plakni (SO), sauc
par piramīdas augstumu.
S
C
B
O
A
E
D
Piramīda
Plakni, kas novilkta caur piramīdas virsotni un
pamata jebkuru diagonāli (piemēram, caur
diagonāli (AC), sauc par diagonālplakni.
S
C
B
D
A
E
Piramīda
Plakni, kas novilkta caur piramīdas virsotni un
pamata jebkuru diagonāli (piemēram, caur
diagonāli (AC), sauc par diagonālplakni.
S
C
B
D
A
E
Piramīda
Piramīdas var būt trijstūra, četrstūra utt. atkarībā no tā, kāds daudzstūris ir
piramīdas pamatā - trijstūris, četrstūris vai cits daudzstūris.
Piramīda
daudzstūris - trijstūris
trijstūra piramīda
Piramīda
daudzstūris – četrstūris
(kvadrāts)
četrstūra piramīda
Piramīda
daudzstūris – četrstūris (rombs)
četrstūra piramīda
Piramīda
daudzstūris – četrstūris
(taisnstūris)
četrstūra piramīda
Piramīda
daudzstūris – četrstūris
(paralelograms)
četrstūra piramīda
Piramīda
daudzstūris – četrstūris
(trapece)
četrstūra piramīda
Piramīda
daudzstūris – četrstūris
četrstūra piramīda
Piramīda
daudzstūris – piecstūris
piecstūra piramīda
Piramīda
daudzstūris – sešstūris
sešstūra piramīda
un tā tālāk
Raksturīgākie leņķi piramīdā
Leņķi, ko veido piramīdas sānu skaldne ar pamata plakni, sauc par
divplakņu kakta leņķi pie pamata,
piemēram SFO = un SEO = 1
Raksturīgākie leņķi piramīdā
Leņķi, ko veido sānu šķautne ar pamata malu, sauc par leņķi starp
šķautni un pamata malu,
piemēram SAC = .
Raksturīgākie leņķi piramīdā
Leņķi, ko veido piramīdas sānu šķautne ar tās projekciju uz pamata,
sauc par leņķi starp šķautni un pamata plakni,
piemēram SBO = ; SCO = 1
Raksturīgākie leņķi piramīdā
Leņķi, ko veido piramīdas vienas skaldnes divas sānu šķautnes, sauc
par leņķi pie piramīdas virsotnes,
piemēram BSC =
Raksturīgākie leņķi piramīdā
Leņķi, ko veido piramīdas divas sānu skaldnes, sauc par divplakņu
kakta leņķi pie sānu šķautnes
piemēram MEC = ; DFK = 1; PFN = 2;
atpakaļ
tālāk
Regulāra piramīda
Regulāra piramīda ir tāda piramīda, kuras pamats ir regulārs daudzstūris
un augstuma pamats atrodas daudzstūra centrā.
Regulāra piramīda
Regulāri daudzstūri
B
A
O
O
D
C
A
B
C
B
O
A
D
C
F
D
E
Regulāra piramīda
Daudzstūru attēli paralēlajā projicēšanā
B
A
C
B
B
O
O
C
O
A
D
A
D
C
F
E
D
Regulāras piramīdas
S
B
C
B
B
O
A
O
C
O
A
D
A
D
C
F
E
D
Regulāras piramīdas
S
B
A
D
O
C
C
B
D
C
O
A
O
A
B
F
E
D
Regulāras piramīdas
B
C
B
S
B
C
O
A
A
D
O
C
A
D
O
F
E
D
Regulāras piramīdas
S
S
B
A
S
C
B
A
D
O
C
B
A
D
C
O
F
E
D
Regulāra piramīda
Regulārā piramīdā visas sānu šķautnes ir vienādas (kā slīpnes ar
vienādām projekcijām), tāpēc regulāras piramīdas visas sānu skaldnes ir
vienādi vienādsānu trijstūri. Katra šāda trijstūra augstumu, kas vilkts no
piramīdas virsotnes (SD), sauc par regulāras piramīdas apotēmu.
S
B
A
D
O
C
Regulāra piramīda
sānu virsmas laukums
pilnas virsmas laukums
tilpums
Regulāras piramīdas sānu virsmas
laukums
Piramīdas sānu skaldņu laukumu summu sauc par sānu virsmas
laukumu.
S
B
A
Ssānu = S(SAC) +
C
Regulāras piramīdas sānu virsmas
laukums
Piramīdas sānu skaldņu laukumu summu sauc par sānu virsmas
laukumu.
S
B
A
Ssānu = S(SAC) +
S(SAB)+
C
Regulāras piramīdas sānu virsmas
laukums
Piramīdas sānu skaldņu laukumu summu sauc par sānu virsmas
laukumu.
S
B
A
Ssānu = S(SAC) +
S(SAB)+ S(SBC)
C
Regulāras piramīdas sānu virsmas
laukums
Piramīdas sānu skaldņu laukumu summu sauc par sānu virsmas
laukumu.
S
B
A
Ssānu = S(SAC) +
S(SAB)+ S(SBC)
C
Regulāras piramīdas sānu virsmas
laukums
Regulāras piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pamata
perimetra puses reizinājumu ar apotēmas garumu
1
P l
Ssānu =
2
kur P – pamata daudzstūra perimetrs, bet l– apotēmas
garums
Regulāras piramīdas sānu virsmas
laukums
Regulāras piramīdas sānu virsmas laukums arī var aprēķināt ar formulu
Ssānu =
Spamata
cos
kur - divplakņu kakta leņķis pie pamata
Regulāras piramīdas pilnas virsmas
laukums
Piramīdas visu skaldņu laukumu summu sauc par pilnas virsmas
S
laukumu.
B
A
Ssānu = S(SAC) +
C
Regulāras piramīdas pilnas virsmas
laukums
Piramīdas visu skaldņu laukumu summu sauc par pilnas virsmas
S
laukumu.
B
A
Ssānu = S(SAC) +
S(SAB)+
C
Regulāras piramīdas pilnas virsmas
laukums
Piramīdas visu skaldņu laukumu summu sauc par pilnas virsmas
S
laukumu.
B
A
Ssānu = S(SAC) +
S(SAB)+ S(SBC)+
C
Regulāras piramīdas pilnas virsmas
laukums
Piramīdas visu skaldņu laukumu summu sauc par pilnas virsmas
S
laukumu.
B
A
Ssānu = S(SAC) +
C
S(SAB)+ S(SBC)+ S(ABC)
Regulāras piramīdas pilnas virsmas
laukums
Piramīdas visu skaldņu laukumu summu sauc par pilnas virsmas
S
laukumu.
B
A
Ssānu = S(SAC) +
C
S(SAB)+ S(SBC)+ S(ABC)
Regulāras piramīdas pilnas virsmas
laukums
Regulāras piramīdas pilnas virsmas laukums ir vienāds:
Spilna =Spamata+Ssānu
jeb
Spilna
1
=Spamata+ P l
2
kur P – pamata daudzstūra perimetrs, bet l– apotēmas
garums
Regulāras piramīdas pilnas virsmas
laukums
Regulāras piramīdas pilnas virsmas laukums arī var aprēķināt ar
formulu:
S pi ln a
S pamata 1 cos
S pi ln a
cos
2 S pamata cos
2
cos
kur - divplakņu kakta leņķis pie pamata
2
jeb
Regulāras piramīdas tilpums
Telpas daļas lielumu, ko aizņem ģeometrisks ķermenis, sauc par
ķermeņa tilpumu.
Regulāras piramīdas tilpums
Piramīdas tilpums ir vienāds ar trešo daļu no pamata laukuma un
augstuma reizinājumu.
1
V PH
3
kur S – pamata laukums, bet H – piramīdas augstums
Nošķelta piramīda
S
Par nošķeltu piramīdu sauc
daudzskaldni, kura divas skaldnes
atrodas paralēlās plaknēs un ir līdzīgi
daudzstūri, bet pārējās skaldnes ir
trapeces.
B1 C
A1
1
D1
E1
C
B
D
A
E
Nošķelta piramīda
ABCDEA1B1C1D1E1 – nošķelta piecstūra piramīda
Nošķeltās piramīdas paralēlās skaldnes ABCDE un
A1B1C1D1E1 sauc par piramīdas pamatiem, bet
pārējās skaldnes – par sānu skaldnēm. Nošķeltas
piramīdas sānu skaldnes ir trapeces.
B1
C
1
A1
D1
E1
C
B
D
A
E
Nošķelta piramīda
Perpendikulu OO1, kas novilkts no viena pamata
kāda punkta pret otra pamata plakni, sauc par
nošķeltās piramīdas augstumu.
A1
B1
O1
C
1
D1
E1
C
B
A
O
E
D
Nošķelta piramīda
Nogriezni, kas savieno divas nošķeltās piramīdas
virsotnes, kuras nepieder vienai skaldnei, sauc par
nošķeltās piramīdas diagonāli, piemēram, EC1.
B1
A1
C
1
D1
E1
C
B
D
A
E
Nošķelta piramīda
Nošķeltas piramīdas šķēlumu ar plakni, kas
novilkta caur jebkuru pamata diagonāli un pilnās
piramīdas virsotni, sauc par nošķeltās piramīdas
diagonālšķēlumu, piemēram, EE1C1C. Jebkurš
nošķeltās piramīdas diagonālšķēlums ir trapece.
B1
A1
C
1
D1
E1
C
B
D
A
E
atpakaļ
tālāk
Nošķelta regulāra
piramīda
Nošķelto piramīdu, kas iegūta no regulāras piramīdas, sauc par nošķeltu
regulāru piramīdu.
Nošķeltas regulāras piramīdas sānu skaldnes ir vienādas vienādsānu
trapeces.
Katras šādas trapeces augstumu sauc par nošķeltas regulāras piramīdas
apotēmu (C1D).
B1
A1
C1
B
A
C
D
Nošķeltas regulāras piramīdas
sānu virsmas laukums
Nošķeltas regulāras piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar abu
pamatu perimetru pussummas un apotēmas reizinājumu.
Ssānu=
1
P1 P2 l
2
A1
B1
C1
B
A
C
D
Nošķeltas piramīdas sānu virsmas
laukums
Par nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukumu sauc visu tās sānu skaldņu
laukumu summu.
Nošķeltas piramīdas sānu virsmas
laukums
Par nošķeltas piramīdas pilnas virsmas laukumu sauc sānu virsmas un abu
pamatu laukumu summu.
Spilna = Ssānu + S1 + S2
kur S1 – lielākā pamata laukums,
S2 – mazākā pamata laukums
Nošķeltas piramīdas tilpums
1
V H S1 S 2 S1 S 2
3
kur S1 un S2 – nošķeltas piramīdas pamatu laukumi, H –
nošķeltas piramīdas augstums
Nošķeltas piramīdas tilpums
Nošķeltas piramīdas tilpums ir vienāds ar tādu triju piramīdu tilpumu
summu, kuru visi augstumi ir vienādi ar nošķeltās piramīdas
augstumu, bet pamatu laukumi ir vienādi atbilstoši ar nošķeltās
piramīdas lielākā pamata laukumu, mazākā pamata laukumu un šo
laukumu vidējo ģeometrisko.
atpakaļ
tālāk