Transcript Volumes de révolution

Chapitre 5
Volumes de solides de
révolution
Objectifs
 Être capable d’utiliser l’intégrale définie afin de calculer
Un volume de solides de révolution :
 Méthode des disques
 Méthode des beignes ou anneaux
 Méthode des tubes
3.1 Volume d’un solide de révolution
 Définition d’un solide de révolution
 Solide engendré par la rotation d’une région plane autour d’un axe de
révolution. Volume à visualiser
 Méthode
 Observation
représentation de la région, de l’axe de révolution et d’un rectangle
type.
 Ce rectangle type engendrera un disque, un tube ou un anneau
(beigne) selon sa disposition par rapport à l’axe de révolution.
 Le volume de chaque disque, tube ou anneau type donne une
approximation du volume d’une portion du solide de révolution.

 Mathématisation
Calcul d’un volume élémentaire ΔVi .
 Calcul de l’élément différentiel dV.

 Calculs
 Recherche des bornes d’intégration

2
Calcul du volume en utilisant le théorème fondamental du calcul.
n
b
i 1
a
V  nlim
Vi   dV
 
3.2 Méthode des disques
 Introduction
 L’axe de révolution est une frontière de la région plane.
 La longueur du rectangle type est perpendiculaire à l’axe de révolution
et elle correspond au rayon du disque
y
f
 Méthode dans le cas
ΔE
f(ci)
 Observation
ri =distance entre la courbe et l’axe de rotation
ΔE= épaisseur = (Δx ou Δy)
a
ci
x
b
ΔE
 Mathématisation
Comme ΔVi =
r
π ·ri2 · ΔE alors dV= π ·r2 ·dE
 Calculs:
n
b
b
i1
a
a
V  nlim
Vi   dV  
 
  r 2  dE
y
ri
a
3
b
x
Exemple
Soit la rotation autour de l’axe des x de la surface bornée par:
y  x et
y  0 et entre les droites x=1 et x=3.
r  f ( x)  x
y
dV    r   dx    ( x )   dx
   x  dx
f
Δx
dE  dx
f(ci)
r
1
ci
b
3
V    r dE
a
4

x
3
3
1
1
V   dV     x dx  
 3
x
2
1
9 1
      4 u 3
2 2
Méthode des tubes
Les rectangles sont parallèles à l’axe de rotation
La révolution du rectangle autour de l’axe de rotation génère alors un tube
E
R
h
E
R
h
Vtube  2 RhE
n
Vtotal   2 Ri hi E
i 1
5
Volume du solide
n
Vtotal  lim  2 Ri hi E
n 
i 1
b
 V   2 Rh dE
a
où
E
R
R: rayon du tube (distance entre le
rectangle et l’axe de rotation)
h
h: hauteur du tube (hauteur du
rectangle)
dE: élément différentiel d’épaisseur du
tube (dx ou dy)
6
Exemple
Soit la rotation autour de l’axe des y de la surface bornée par:
y  x et
yx
2
Rx
dE  dx
h  y1  y2  x  x 2
dV  2 R h dx  2 x( x  x 2 )dx
y x
 2 ( x3 2  x3 )dx
R
H
y  x2
dE
1
V  2  x



x  x 2 dx
0
1
b
V   2 Rh dE
a
7
 2  x
0
32
 x dx
3
1
x
x 
 2 
 
 5 2 4 0
52
 2 1  
3 3
 2     0 
u
10
 5 4  
4