Transcript COLLÈGE LA PRÉSENTATION BREVET BLANC N°2 MAI 2014

COLLÈGE LA PRÉSENTATION
BREVET BLANC N°2
MAI 2014
Épreuve de :
MATHÉMATIQUES
SÉRIE GÉNÉRALE
Durée de l'épreuve : 2 heures
Coefficient : 3
Le candidat répond sur une copie apportée par ses soins.
Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1/4 à 4/4.
Dès qu'il vous est remis, assurez-vous qu'il est complet.
L'utilisation de la calculatrice est autorisée (circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999),
ainsi que les instruments usuels de dessin.
L'usage du dictionnaire n'est pas autorisé.
Exercice n°1
4 points
Exercice n°2
6 points
Exercice n°3
5 points
Exercice n°4
4 points
Exercice n°5
6 points
Exercice n°6
6 points
Exercice n°7
5 points
Maîtrise de la langue
4 points
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EXERCICE 1 (4 points)
Pour chacune des questions suivantes, écrire (sans justification) le numéro de la question et la lettre de la
bonne réponse.
Questions
Réponse A
Réponse B
Réponse C
14,82
29,982×10−3
1,2×10−5
 Combien de temps faut-il pour
parcourir 800 m à la vitesse moyenne
de 40 km/h ?
1 min 12 s
1 min 20 s
1 min 2 s
 Si on triple l'arête d'un cube, alors
par combien est multiplié le volume
du cube ?
3
9
27
(5 x−8)(5 x+ 8)
(5 x+4)(5 x−4)
➊
15−9×10−3
2
5×10
 Quelle est l'expression factorisée de
2
25 x −16 ?
2
(5 x−4)
EXERCICE 2 (6 points)
Caroline souhaite s'équiper pour faire du roller.
Elle a le choix entre une paire de rollers gris à 87 € et une paire de rollers noirs à 99 €.
Elle doit aussi acheter un casque et hésite entre trois modèles qui coûtent respectivement 45 €, 22 € et 29 €.
1) Si elle choisit son équipement (un casque et une paire de rollers) au hasard, quelle est la probabilité pour
que l'ensemble lui coûte moins de 130 € ?
4 2
Sur les 6 ensembles possibles, seuls 4 coûtent moins de 130 €. Donc la probabilité demandée est = .
6 3
2) Elle s'aperçoit qu'en achetant la paire de rollers noirs et le casque à 45 €, elle bénéficie d'une réduction
de 20 % sur l'ensemble.
a) Calculer le prix en euros et centimes de cet ensemble après réduction.
20
×144 = 115,20 €.
99 + 45 = 144 € ; 144 –
100
b) Cela modifie-t-il la probabilité obtenue à la question 1 ? Justifier la réponse.
Avec cet ensemble dont le prix réduit de 20 % est inférieur à 130 €, la probabilité obtenue à la question
5
1) est modifiée et passe à .
6
EXERCICE 3 (5 points)
Flavien veut répartir la totalité de 760 dragées au chocolat et 1 045 dragées aux amandes dans des sachets ayant
la même répartition de dragées au chocolat et aux amandes.
1) Peut-il faire 76 sachets ?
Il ne peut pas faire 76 sachets car 1045 n'est pas divisible par 76.
2) a) Quel nombre maximal de sachets peut-il réaliser ?
On calcule le PGCD de 760 et 1045.
1045 = 1 × 760 + 285
760 = 2 × 285 + 190
285 = 1 × 190 + 95
190 = 2 × 95 + 0
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donc le PGCD de 760 et 1045 est 95.
Il pourra réaliser au maximum 95 sachets.
b) Combien de dragées de chaque sorte y aura-t-il dans chaque sachet ?
760 ÷ 95 = 8 et 1045 ÷ 95 = 11
Dans chaque sachet, il y aura 8 dragées au chocolat et 11 aux amandes.
EXERCICE 4 (4 points)
On donne la feuille de calcul ci-contre.
La colonne B donne les valeurs de l'expression 2 x 2 −3 x−9 pour quelques valeurs de x
de la colonne A.
1) Si on tape le nombre 6 dans la cellule A18, quelle valeur va-t-on obtenir dans la
cellule B18 ?
2 × 6² – 3 × 6 – 9 = 2 × 36 – 18 – 9 = 72 – 18 – 9 = 45
Si on tape le nombre 6 dans la cellule A18, on obtiendra la valeur 45 dans la
cellule B18.
2) À l'aide du tableur, trouver deux solutions de l'équation 2 x 2 −3 x−9 = 0.
D'après le tableur, on trouve 0 dans la colonne B pour deux valeurs de x :
x = - 1,5 et x = 3.
3) L'unité de longueur est le centimètre. Donner une valeur de x pour laquelle l'aire
du rectangle ci-dessous est égale à 25 cm². Justifier.
2x + 3
x–3
D'après le tableur, on trouve 5 dans la colonne B pour deux valeurs de x :
x = - 5 et x = 3,5. Mais comme on cherche une longueur, on élimine la valeur négative.
Donc, l'aire du rectangle est égale à 25 cm² si x = 5 cm.
EXERCICE 5 (6 points)
Lancé le 26 novembre 2011, le Rover Curiosity de la NASA est chargé d'analyser la planète Mars, appelée aussi
Planète rouge.
Il a atterri sur la planète rouge le 6 août 2012, parcourant ainsi une distance d'environ 560 millions de km en
255 jours.
1) Quelle a été la durée en heures du vol ?
255 × 24 = 6 120. Le vol a duré 6 120 heures.
2) Calculer la vitesse moyenne du Rover en km/h. Arrondir à la centaine près.
d 560×106 km
≈ 91 500 km/h.
v= =
t
6120 h
Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
3) Via le satellite Mars Odyssey, des images prises et envoyées par le Rover ont été retransmises au centre
de la NASA.
Les premières images ont été émises de Mars à 7 h 48 min le 6 août 2012.
La distance parcourue par le signal a été de 248 × 106 km à une vitesse moyenne de 300 000 km/s
environ (vitesse de la lumière).
À quelle heure, ces premières images sont-elles parvenues au centre de la NASA ? (on donnera l'arrondi
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à la minute près).
d 248×106 km
On calcule la durée de transmission des premières images : t= =
≈ 827 s = 13 min 47 s
v 300 000 km/s
On ajoute cette durée à l'heure de début de transmission : 7 h 48 min + 13 min 47 s = 8 h 01 min 47 s.
EXERCICE 6 (6 points)
Dans cet exercice, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de recherche. Elle sera prise en
compte dans l'évaluation.
La ville Bonvivre possède une plaine de jeux bordée d'une piste cyclable.
La piste cyclable a la forme d'un rectangle ABCD dont on a « enlevé trois des coins ».
Le chemin de G à H est un arc de cercle ; les chemins de E à F et de I à J sont des segments.
Les droites (EF) et (AC) sont parallèles.
Quelle est la longueur de la piste cyclable ? Justifier la réponse.
Calcul de EF : Deux possibilités :
1) Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le
théorème de Pythagore :
AC² = AB² + BC²
Donc BC = √ 3122−2882=120 m
puis BF = 120 – 52 – 48 = 20 m
Dans le triangle EBF rectangle en B, d'après le
théorème de Pythagore :
EF² = EB² + BF²
donc EF = √ 482 + 202=52 m.
2) Les droites (AE) et (CF) sont sécantes en B, et
(AC) // (EF).
d'après le théorème de Thalès, on a :
BE BF EF
48 BF EF
=
=
=
=
soit encore :
.
BA BC AC
288 BC 312
48×312
=52 m.
Donc EF =
288
Calcul de GH :
Le chemin de G à H est un quart de cercle de rayon 48 m.
1
Donc GH = ×2 π×48 = 24 π ≈ 75,4 m
4
Calcul de IJ :
Dans le triangle IJD rectangle en D, d'après le théorème de Pythagore :
IJ² = ID² + JD²
Donc IJ = √ 722 +29 2 = √ 6025 ≈ 77,6 m.
Calcul de AE, HI et JA :
AE = AB – BE = 288 – 48 = 240 m.
HI = CD – ID – CH = 288 – 29 – 48 = 211 m.
JA = AD – JD = 120 – 72 = 48 m.
Calcul de la longueur de la piste cyclable :
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AE + EF + FG + GH + HI + IJ + JA
= 240 + 52 + 52 + 75,4 + 211 + 77,6 + 48 = 756 m.
EXERCICE 7 (5 points)
La figure ci-contre représente un trapèze rectangle ABCD tel que :
AB = 12 cm ; CD = 9 cm et BC = 5 cm.
D
C
1) H est le pied de la hauteur issue de C.
a) Montrer que HB = 3 cm.
Le quadrilatère AHCD possède 3 angles droit, donc c'est un
rectangle, donc ses côtés opposés ont la même longueur :
AH = CD = 9 cm.
B
A
H
Le point H appartient au segment [AB], donc
BH = AB – AH = 12 – 9 = 3 cm.
b) Calculer CH.
Dans le triangle CHB rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore :
BC² = BH² + CH²
d'où CH = √ 52−32 =4 cm.
c) Déduire que le périmètre de ABCD est égal à 30 cm.
Le quadrilatère AHCD possède 3 angles droit, donc c'est un rectangle, donc ses côtés opposés ont la
même longueur : AD = CH = 4 cm.
Périmètre de ABCD = AB + BC + CD + DA = 12 + 5 + 9 + 4 = 30 cm.
2) Calculer la mesure de l'angle ̂
ABC au degré près.
BH
3
Dans le triangle ACH rectangle en H, on peut écrire : cos ̂
=
ABC =
CB
5
Donc ̂
ABC = arccos(3/5) ≈ 53°
3) Construire la figure aux dimensions réelles.
4) La parallèle à (AC) passant par H coupe la droite (BC) en M. Compléter la figure.
5) Calculer BM.
Les droites (CM) et (AH) sont sécantes en B, et (AC) // (HM). D'après le théorème de Thalès, on a :
BH BM HM
3 BM HM
=
=
=
=
soit encore
BA BC AC
12
5
AC
3×5
=1,25 cm.
On en déduit : BM =
12
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