Transcript Corrigé - Collège OASIS

Devoir commun Décembre 2014
3ème LV2
Corrigé de l’Epreuve de Mathématiques
Collège OASIS
L’usage de la calculatrice est autorisé, mais tout échange de matériel est interdit
Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans un ordre quelconque
Exercice 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Aucune justification n’est demandée. Pour chacune des
questions, quatre réponses sont proposées, une seule est exacte.
Pour chaque question, écrire sur votre copie le numéro de la question et la lettre A, B, ou C choisie
( ex : 1 -> C )
N°
Questions
A
B
C
1
111
3 11 15
35
18
+
×
=
4
2 5
2
2
2
−1
1
Le nombre décimal 0,246 s’écrit aussi :
2,46 × 10
24,6 × 10
2,46 × 101
3
L’inverse de 1 est :
-1
0
1
Un bidon contient 25 L. Si on augmente sa
contenance de 2%, il peut alors contenir :
25,2 L
25,5 L
27 L
5543 et 3151 sont-ils premiers entre eux ?
Oui
Non
On ne peut
pas le savoir
L’expression 6 − 4(𝑥 − 2) est égale à :
2𝑥 − 4
14 − 4𝑥
−4𝑥 − 2
4
5
6
Exercice 2
Voici un octogone régulier ABCDEFGH.
1. Représenter un agrandissement de cet octogone en
l’inscrivant dans un cercle de rayon 3 cm. Aucune justification
n’est attendue pour cette construction.
2. Démontrer que le triangle DAH est rectangle.
Calculer la mesure de l’angle
̂.
𝐵𝐸𝐻
1°) Explications :
- Construire le cercle de centre 0 et de rayon 3 cm.
-
Sur
ce
cercle,
placer
un
point
A,
puis
placer
un
point
B
tel
que
̂ = 360° = 45°
𝐴𝑂𝐻
8
-
A l’aide du compas, reporter la longueur AB en partant de B jusqu’à revenir en A.
2°)
L’octogone ABCDEFGH est régulier et inscrit dans le cercle de centre O.
Les points D et H sont diamétralement opposés, le triangle DAH est donc inscrit dans le cercle de
diamètre [DH].
Or, si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle et
admet ce côté pour hypoténuse. Le triangle DAH est donc rectangle en A.
3°) ABCDEFGH est un octogone régulier de centre 0.
Or, si un polygone régulier de centre O a n côtés, alors tous les angles au centre formés
par deux sommets consécutifs ont la même mesure égale à
̂ = 2 × 360° = 2 × 45° = 90°
̂ = 2 × 𝐴𝑂𝐻
Donc, 𝐵𝑂𝐻
360°
𝑛
8
Or, dans un cercle, si un angle inscritet un angle au centre interceptent le même arc, alors la mesure de
l’angle au centre est le double de celle de l’angle inscrit.
Donc,
̂
̂ = 𝐵𝑂𝐻
𝐵𝐸𝐻
= 90° :2 = 45°
2
Exercice 3
Cédric s’entraîne pour l’épreuve de vélo d’un triathlon.
La courbe ci-dessous représente la distance en kilomètres en fonction du temps écoulé en minutes.
Pour les trois premières questions, les réponses seront données grâce à des lectures graphiques.
Aucune justification n’est attendue sur la copie.
1. Quelle distance Cédric a-t-il parcourue au bout de 20 minutes ?
Cédric a parcouru 10 km au bout de 10 minutes
2. Combien de temps a mis Cédric pour faire les 30 premiers kilomètres ?
Cédric a mis 50 min pour faire les 30 premiers kilomètres.
3. Le circuit de Cédric comprend une montée, une descente et deux portions plates. Reconstituer dans l’ordre le trajet parcouru par Cédric.
Voir le Graphique : Plat – Descente – Plat – montée
4. Calculer la vitesse moyenne de Cédric (exprimée en km/h) sur la première des quatre
parties du trajet.
Sur la 1ère partie du trajet, il parcourt 10 km en 20 minutes, en 60 minutes, il parcourt donc :
10×60
20
= 30𝑘𝑚 sa vitesse en km/h est donc 30 km/h
Toutes les réponses sont à donner sur votre copie. Le sujet n’est pas à remettre avec la copie
Exercice 4
ABCD est un rectangle tel que AB = 30 cm et BC = 24
cm.
On colorie aux quatre coins du rectangle quatre
carrés identiques en gris. On délimite
ainsi un rectangle central que l’on colorie en noir.
1. Dans cette question, les quatre carrés gris ont tous
7 cm de côté. Dans ce cas :
a. quel est le périmètre d’un carré gris ?
b. quel est le périmètre du rectangle noir ?
2. Dans cette question, la longueur du côté des
quatre carrés gris peut varier, et on l’appelle x
a. Exprimer la longueur L et la largeur l du rectangle
en fonction de x
b. Calculer le périmètre du rectangle en fonction de x
c. Est-il possible que le périmètre du rectangle noir
soit égal à la somme des périmètres des quatre carrés
gris ?
1. a. Périmètre d'un carré gris : 7 x 4 = 28 cm
b. Longueur du rectangle noir : 30 – 2x7 = 30 – 14 = 16 cm
Largeur du rectangle noir : 24 – 2x7 = 24 – 14 = 10 cm
Périmètre du rectangle noir : (16 + 10) x 2 = 26 x 2 = 52 cm
2. a. Longueur L du rectangle en fonction de x: 30 – 2x
Largeur du rectangle en fonction de x : 24 – 2x
b. Périmètre du rectangle en fonction de x:
[(30-2x)+(24 – 2x)] x 2 =
(30 – 2x + 24 – 2x) x 2 = (54 – 4x) x 2 = 108 – 8x
c. On est ramené à résoudre l'équation :
108 – 8x = 4x
8x - 4x =108
4x = 108
x = 27
Le carré devra mesurer 27 cm de côté
Toutes les réponses sont à donner sur votre copie. Le sujet n’est pas à remettre avec la copie
Exercice 5
Sur le dessin ci-contre, les points A, B et E sont
alignés, et C le milieu de [BD].
1. Quelle est la nature du triangle ABC?
Justifier.
2. En déduire la nature du triangle BDE.
3. Calculer ED. Arrondir le résultat au
dixième.
1. Dans le triangle ABC, on sait que BC = 3
AC² = 5² = 25
AB² + BC² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
Donc AC² = AB² + BC², donc ABC est rectangle en B d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
2. BDE est un triangle rectangle en B donc :
ED² = EB² + BD² soit ED² = 7² + 6² = 49 + 36 = 85 donc ED =√85 ≈ 9,2 𝑐𝑚
Exercice 6
Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
Rappel : toutes les réponses doivent être justifiées.
Affirmation 1 : « La vitesse moyenne d’un coureur qui parcourt 18 km en une heure est
strictement supérieure à celle d’une voiture télécommandée qui parcourt 5 m par seconde. »
5 m par seconde correspond à 5x3600 m par heure soit 18000 m/h = 18 km/h
C'est donc faux
Affirmation 2 : « Pour tout nombre x, on a l’égalité : (3𝑥 − 5)2 = 9𝑥 2 − 25 »
C'est faux car (3x – 5)² = 9x² – 30x + 25
Affirmation 3 : « Le PGCD de 18 et de 36 est 9»
Faux car le PGCD de 18 et 36 est 18
9
9
Affirmation 4 : « Le double de 4 est 2
Vrai car 𝟐 ×
𝟗
𝟒
=
𝟐×𝟗
𝟐×𝟐
=
𝟗
𝟐
Toutes les réponses sont à donner sur votre copie. Le sujet n’est pas à remettre avec la copie
Exercice 7
Pour choisir un écran de télévision, d’ordinateur ou une tablette tactile, on peut s’intéresser :
• à son format qui est le rapport longueur de l’écran largeur de l’écran
• à sa diagonale qui se mesure en pouces. Un pouce est égal à 2,54 cm.
1. Un écran de télévision a une longueur de 80 cm et une largeur de 45 cm. S’agit-il d’un
4
16
écran de format 3 ou 9 ?
2. Un écran est vendu avec la mention« 15 pouces ». On prend les mesures suivantes : la
longueur est 30,5 cm et la largeur est 22,9 cm. La mention « 15 pouces » est-elle bien
adaptée à cet écran?
4
3. Une tablette tactile a un écran de diagonale 7 pouces et de format 3 , sa longueur étant
égale à 14,3 cm, calculer sa largeur, arrondie au mm près.
1.
80
45
=
2×2×2×2×5
3×3×5
=
16
9
c’est donc du
16
9
2. Calcul de la longueur de la diagonale
√30,52 + 22,92 =√1454,66 ≈ 38,14 𝑐𝑚
Conversion en pouces
38,14 ÷ 2,54 ≈ 15 𝑝𝑜𝑢𝑐𝑒𝑠. La mention est donc bien adaptée
3. Convertissons 7 pouces en cm : 7 × 2,54 = 17,78
En appliquant le Théorème de Pythagore, calcul de la largeur :
√17,782 − 14,32 = √111,6384 ≈ 10,6 𝑐𝑚
Toutes les réponses sont à donner sur votre copie. Le sujet n’est pas à remettre avec la copie
Exercice 8
Voici un programme de calcul
Montrer que si on choisit 8 comme nombre de départ, le programme donne 12 comme
résultat.
8−6=2 ; 8−2= 6
; 2 × 6 = 12
2. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On rappelle
que les réponses doivent être justifiées.
Proposition 1 Le programme peut donner un résultat négatif ;
Oui, exemple si on choisit comme nombre de départ 3
1
33
Proposition 2 si on choisit 2 comme nombre de départ, le programme donne 4 comme
résultat ;
1
1 12 −11
1
1 4 −3
−11 −3 33
−6= −
=
;
−2= − =
;
×
=
2
2 2
2
2
2 2
2
2
2
4
La proposition est donc vraie
Proposition 3 Le programme donne 0 comme résultat pour exactement deux nombres ;
Pour obtenir 0, il suffit de choisir comme nombre de départ : 6 ou 2
1.
Exercice 9
1. Sans faire de calcul, expliquer pourquoi on peut simplifier la fraction
258
1204
Les deux nombres sont pairs donc divisibles par 2
2. Calculer le PGCD des nombres 258 et 1 204 avec la méthode de votre choix en détaillant
les calculs.
𝑃𝐺𝐶𝐷(258,1204) = 86
258
3. En déduire la fraction irréductible égale à 1204
258
258÷86
1204
3
= 1204÷86 = 14
Toutes les réponses sont à donner sur votre copie. Le sujet n’est pas à remettre avec la copie
Exercice 10
Des élèves participent à une course à pied.
Avant l’épreuve, un plan leur a été remis. Il est
représenté ci-contre.
On convient que :
Les droites (AE) et (BD) se coupent en C.
Les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
ABC est un triangle rectangle en A.
Calculer la longueur réelle du parcours ABCDE.
Si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche,. Elle sera prise en compte
dans la notation
Pour calculer la longueur réelle du parcours, on calculera d’abord les longueurs manquantes : BC, CD et DE
Calcul de BC
ABC est rectangle en A, donc d’après le Théorème de Pythagore :
𝐵𝐶² = 𝐴𝐵² + 𝐴𝐶²
𝑠𝑜𝑖𝑡 𝐵𝐶² = 300² + 400² = 90000 + 160000 = 250000
Donc 𝐵𝐶 = √250000 = 500𝑚
Calculs de CD et DE
Les triangles ABC et CDE sont en situation de Thalès, donc
𝐶𝐴
𝐶𝐵
𝐴𝐵
400
500
300
= 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸 soit 1000 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸
𝐶𝐸
Calcul de CD
1000×500
𝐶𝐷 = 400 = 1250𝑚
Calcul de DE
1000×300
𝐷𝐸 = 400 = 750𝑚
longueur réelle du parcours ABCDE.
300 + 400 + 1000 + 750 + 1250 + 500 = 4200𝑚
Toutes les réponses sont à donner sur votre copie. Le sujet n’est pas à remettre avec la copie