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得来 清 。 如 许 ， 为 由 源 头 问 渠活 哪水 一 道 作 业 题 的 拓 展 探 究 来源 【浙教版九年级上数学作业本（1）第34页第14题】 本题考查 （1）正方形的性质 一块直角三角形木板的一条直角边BC, AB的 （2）直角三角形的性质； （3）相似三角形的判定和性质。 长分别为1.5米，2米，要把它加工成一个面积最 （4) 方程 大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法分别 （5）基本的几何分析推理能力 原题展示 如图①，图②所示，请你用学过的知识说明哪位 同学的加工方法符合要求。（加工损耗忽略不计， 计算结果中的分数可保留 ） B C D E E D A B ① F A F G ② C （九上P118第5题） 如图所示， 有一块三角形余料 ABC，它的边BC=120mm,高线AD=80mm,要把它加工成正方 形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB， AC上。问加工成的正方形的边长为多少mm? A 解：设加工成的正方形为PQMN， 边长为x mm,边QM在BC上，顶点 P，N分别在AB，AC上，高线AD 与PN相交于点E。 PN∥BC→△APN∽ △ABC →AE/AD=PN/BC P B N E Q 列出方程 （80－x)/80=x/120, 解得 x=48(mm). 答：加工成的正方形零件的边长为48mm. D M C 潜 在 价 值 1.题目来源于生活，考查的是学生利用数学知识解决实 际问题的能力。 2.这是一道开放性的题目，需要学生具有较为广阔的思 维空间。 3.这类问题所涉及的数学基本知识涵盖了中学数学的多 个方面，有三角形，四边形和圆等方面的几何知识，有 方程和函数知识. 4.渗透了数形结合和建模的思想，应用知识的能力要求 较高，能拓展学生的思维空间，提高知识的迁移能力和 学生的创新能力。 C b c a B A 图 ① B D A E F C G ② C G A E F 图2 D B 取景对比 中考链接 (2003潍坊)在△ ABC中，∠C=90º,AC=4,BC=3. （1）如图1，四边形GEDF为△ABC的内接正方形，， 求正方形边长； （2）如图2，三角形内并排的两个相等的正方形， 它们组成的矩形内接于△ABC求正方形的边长； C C G G A F F E D 图1 B A E 图2 D B （3）如图3，三角形内并排的三个相等的正方形， 它们组成的矩形内接于△ABC求正方形的边长； （4）如图4，三角形内并排的n个相等的正方形， 它们组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长； C C G F G B A E 图3 D F B A E D 图4 取景对比 （０８烟台）如图，在Rt△ABC内有边长分别 为的三个正方形，则满足的关系式是（ ） A、b=a+c B、b=ac C、b2=a2+c2 D、b=2a=2c C b c a A B 取景对比 （变式练习）有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm ， BC边上的高线AD长80mm，四边形DEFG是三角形的内接矩形， 设PQ长为xmm，求矩形面积y关于x的函数解析式，并求矩形面 积的最大值，并说明点P在何处。 拓展1：划线部分若改成问是否存在这样的两个矩形，使这 两个矩形的面积之和等于此三角形的面积？若存在，请指出 这两个矩形，若不存在，请说明理由。 拓展2：当矩形PQMN与 A P B E Q D △ABC的面积之比为3∶8时， 求矩形PQMN的周长. N M C 取景对比 (2006天津）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AC＝6，BC＝8。（Ⅰ）如图①，若半径 为r1的⊙O1是Rt△ABC的内切圆，求r1 ； C G E A O1 F B （Ⅱ）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、 ⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切， ⊙O2 与BC、AB相切，求r2 ； 图② （Ⅲ）如图③，当n大于2的正整数时，若半 径rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On 依次外切，且⊙O1与AC、BC相切， ⊙On与 BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、⊙O3、…、 ⊙On-1均与AB边相切，求rn. 图③ △IO1O2∽ △IBA 即S⊿ABC=S⊿AO1C+S⊿BO2C+ S⊿AO1G+ S⊿O2GB+ S⊿CO1 O2+ S⊿O1 O2G =ACr A B C B D A E F ② G C O …… F C P N Q A B M D E （０９温州）一张等腰三角形纸片，底边长 l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边 依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸 条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张 是正方形，则这张正方形纸条是( ) A．第4张 B．第5张 C.第6张 D．第7张 (07宜宾)已知：如图，在半径为4的⊙O中， 圆心角∠AOB=90°，以半径OA、OB的中 点C、F为顶点作矩形CDEF，顶点D、E在 ⊙O的劣弧上，OM⊥DE于点M.试求图中阴 影部分的面积.(结果保留π) O F C P N Q A B M D E (09兰州)如图17，某公路隧道横截面为抛物线，其最大 高度为6米，底部宽度OM为12米. 现以O点为原点， OM所在直线为x轴建立直角坐标系. (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； (2)求这条抛物线的解析式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB，使C、 D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支 撑架”总长的最大值是多少？ (九下P60第6题）已知一块等腰三角形的钢板 的底边长为60cm,腰长为50cm。 1.求能从这块钢板上截得最大圆的半径 。 2.求这个等腰三角形的外切圆的半径。 3.求这等腰三角形钢板的内心与外心的距离。 A B C 变式拓展 如图，DEFG为直角三角形ABC的内接矩形， 三个内切圆的半径从小到大依次为r1, r2和r3。 证明：当内接矩形的面积达到最大时，r12 + r22 = r32。 B G D F C E A 感悟与反思 1.通过教材一道题目的多种变化，促使学生对初中数学知识 的融会贯通，创建学生自主建模的能力。 2.培养学生掌握数学思想与方法。 3.培养了学生思维的灵活性、深刻性和创造性，提高学生的 数学素质。 4.增强学生解题技巧，训练了应考心理的稳定性。 学会变化，把握不变 具有较强代表性和典型性的习题是 数学问题的精华，教学中尤其在初三 总复习时，要善于“借题发挥”，使 知识网络化，整合思维模式，培养学 生复合思维，形成网络技能。走出题 海战术，真正做到轻负高质 。