Transcript Cursul 3 PLANUL ÎN SPAŢIU

Cursul 3
PLANUL ÎN SPAŢIU
Fie E3 = (E3 ,V3 , ) s.g.v.l si R = { O;
  
i , j ,k }
In E3 un plan  este unic determinat in de catre:
1) trei puncte necoliniare
2) un punct şi două drepte neparalele
3) un punct şi o dreaptă perpendiculară pe plan.
1. Planul prin trei puncte
Consideram M0, M1, M2  E3 trei puncte necoliniare
Un punct M    M M   M M   M M ,
0
0 1
0
2
Notand cu 
,   R
r x , y , z  , i  0,3 vectorii de pozitie corespunzatori punctelor M
atunci ecuatia vectoriala a planului  este data de
i
(1)
i
i
i
r  r0   (r1  r0 )   (r2  r1 )
AB  OB  OA  M 
xi , yi ,zi

,   R
i
(2)
 x  x0   ( x1  x0 )   ( x2  x0 )

 y  y0   ( y1  y0 )   ( y2  y0 ),  ,   R
 z  z  (z  z )  (z  z )
0
1
0
2
0

ecuatiile carteziene parametrice ale planului prin trei puncte
Coplanaritatea vectorilor
M M , M M
0
0
1
,M M
0
2

este caracterizata de
M M, M M , M M
     
 0  r  r , r  r , r  r   0
0
0
1
0
2
o
1
o
2
o
adica
(3)
x  x0
y  y0
z  z0
x1  x0
x 2  x0
y1  y0
y 2  y0
z1  z0  0
z2  z0
sau
x
y
z
1
x0
x1
y0
y1
z0
z1
1
0
1
x2
y2
z2
1
- ecuatia carteziana a planului prin trei puncte.
C.P. planul prin punctele A(a,0,0) , B(0,b,0) , C(0,0,c) este caracterizat de ecuatia:
x y z
  1  0
a b c
(4)
- ecuatia prin taieturi a planului 
Remarca. Conditia necesara si suficienta
ca patru puncte sa apartina unui plan este:
(5)
x1
y1
z1
1
x2
x3
y2
y3
z2
z3
1
0
1
x4
y4
z4
1
2. Planul printr-un punct, parale cu doua directii date
Fie MoE3 si dreptele distincte d1, d2 - cu directiile vl , m , n  si
1
1
1

v l , m , n
2
2
2
Un punct M  daca si numai daca  ,   R a .i . M 0 M  v1  v2
Obtinem
(6)
r  r0  v1  v2
- ecuatia vectoriala a planului printr-un punct, paralel cu doua directii
In coordonate:
 x  x0   l1  l2

(7)
 y  y0   m1  m2 ,  R – ecuatiile parametrice…
 z  z   n  n
0
1
2

Sau folosind produsul mixt: r  r ,v ,v   0 - ecuatia vectoriala…
o
(8)
1
x  x0
y  y0
z  z0
l1
m1
n1
l2
m2
n2
2
0
- ecuatia carteziana a planului printr-un punct, paralel cu doua directii

3. Planul printr-un punct, perpendicular pe o dreaptă
Fie un punct M0 (xo, y0, z0)  E3 şi vectorul nenul N(A, B, C)  V3 în spaţiul
punctual euclidian E3 .


M M  N  M M  N 0
Un punct M(x,y,z)   
o
o
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 – ecuatia planului printr-un punct si
de
normala data
(10) Ax + By + Cz + D = 0
- ecuatia generala a planului
(9)
(11)
unde
Ax  By  Cz  D
 A  B C
2
2
D

A  B C
2
2
2
2
0
 p
(12) Ax + By + Cz =  ,   R
- ecatia normala a planului
p – distanta de la origine la plan
- familia planelor de normala data
Pozitia relativa a doua plane - se reduce la studiul siatemului
 A x  B1 y  C1 z  D1  0
(S )  1
 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 ,
Pozitia relativa a trei plane 
(A1x + B1y + C1z + D1) + (A2x + B2y + C2z + D2) = 0
Dreapta in spatiu
In E3 o dreapta d este unic determinata de:
1) un punct şi de o direcţie dată
2) două puncte distincte
3) intersecţia a două plane
1) Dreapta determinata de un punct si o directie

Fie MoE3 si directia data de
v( l ,m,n )

M  d    R a.i. M M  v
(1) r  r0  v, λR
- ecuatia vectoriala
o
 x  x  l

(2)  y  y  m
 z  z  n ,   R

0
0
- ecuatiile parametrice
0
(3)
x  x0 y  y 0 z  z 0


l
m
n
- ecuatiile carteziene sub forma de rapoarte
2) Dreapta determinata de doua puncte distincte
M  d    R a.i. M M   M M
Fie punctele M1 si M2 , atunci
1
(4) r  (1   )r1  r2
sau
(r  r1 )  (r2  r1 )  0
Intr-un reper cartezian obtinem ecuatiile carteziene:
 x  ( 1   )x   x

(5)  y  ( 1   ) y   y
 z  ( 1   )z   z ,   R

1
(6)
2
x  x1
y  y1
z  z1


x2  x1 y2  y1 z2  z1
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0

 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
- ecuatia vectoriala
- ecuatiile parametrice
2
- ecuatiile sub forma de rapoarte
3) Dreapta ca intersectie a doua plane
(7)
2
2
1
1
1
,
v  N1  N 2
Unghiul si distante
Unghiul a două drepte în spaţiu
Fie dreptele (d1) şi (d2) de vectori directori v = (l1, m1, n1) şi
1
respectiv v2 = (l2, m2, n2).
Prin unghiul dreptelor (d1) şi (d2) vom înţelege unghiul   [0, ], unghiul
dintre vectorii v şi v , dat de
1
(1)
cos =
In particular :
l1l2  m1m2  n1n2
2
l1  m1  n12  l2  m2  n2
2
2
2
2
2
d1  d2  v1  v2 = 0  l1l2+m1m2+n1n2 = 0
d1
l
m
n
d2  v1 ×v2 = 0  1  1  1
l2
Unghiul a două plane
m2
n2
Fie planele neparalele 1 şi 2, date de
(1) A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(2) A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Acceptăm ca unghiul diedru determinat de planele orientate 1 şi 2 să fie măsurat
prin unghiul dintre N1 şi N2 . Acest unghi este dat de
(1)
cos =
A1 A2  B1 B2  C1C2
A1  B1  C  A2  B2  C2
2
2
2
1
2
2
2
, 1  2  A1A2+B1B2+C1C2 = 0
Unghiul dintre o dreaptă şi un plan
Fie dreapta (d) cu vectorul director v = (l, m, n) şi palnul  de normala N  ( A, B ,C )
| lA  mB  nC |
| vN |
=
|| v ||  || N ||
l 2  m2  n2  A2  B2  C 2
In particular

d
//


v
N
 0  lA  mB  nC  0
(3)
l m n
  
(4)
d   vN 0   

A B C
vM A
Distanta de la un punct la o dreapta (5)  ( A, d )   ( A, A' ) 

(2) sin 
o
v
(6)  (M0, ) =
Ax0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2
Distanta dintre doua drepte in spatiu
Fie (d1)
(d2)
x  x1 y  y1 z  z1


l1
m1
n1
x  x2 y  y 2 z  z 2


l2
m2
n2
 ( d , d )  | (v1, v2 , M1M 2 ) |
1
2
|| v1  v2 ||