Transcript Cursul 12 Geometria diferentiala a suprafetelor

Cursul 12
Geometria diferentiala a suprafetelor
Fie R (O;i,j,k) un reper ortonormat in E3
Definitia 1. Se numeste portiune regulata de suprafata ( de clasa Cp ) o aplicatie
bijectiva, continua si diferentiabila
 : D  R 2  E3 , u ,v    u ,v   x( u ,v ) , y( u ,v ) , z( u ,v )  E3
 x' u
 x' v
y' u
*  rang 
y' v
cu proprietat ea
z' u 
  2
z' v 
Reprezentari:
 x  x( u ,v )
1  y  y( u ,v )  ecuatiile parametric e  r  x( u ,v ) i  y( u ,v ) j  z( u ,v ) k  ec . vectoriala
 z  z( u ,v )

2  
F ( x , y , z )  0  reprezenta rea implicita
Daca
* *  F
'2
x
 Fy'  Fz'  0    portiune regulata de sup rafata
2
Caz particular: z = f(x,y)
Puncte regulate, puncte singulare
2
Curbe pe o suprafata
Curba ( )
este situata pe suprafata ( ) F(x,y,z) = 0, daca
r  r t 
F x( t ) , y( t ) , z( t )   0 , t  I
Moduri de obtinere:
a)
 (u,v) = 0,
b) u = u(t) , v = v(t)
Curbe coordonate:
u  const. 
Cv  r  r (k , v)  ()
v  const.  (Cu )r  r (u , k )  ()
u  u (t )
Fie curba   
 v  v(t )
tg 
3
3'
3' '
4
prin punctul M  ()

  
 
d r '
 ru  u  rv'  v
 rt ' , ru' , rv'   definim  tg  M , ru' , rv' 
dt
X x Y y Zz
 
 ' '
 ru'  rv'
x'u
y 'u
z 'u  0 cu norm ala N  ru  rv , notam n   '  '
ru  rv
x 'v
y 'v
z 'v
p  X  x   qY  y   Z  z   0 , unde p  z ' x si q  z ' y pentru   z  z ( x, y )
Fx'  X  x   Fy' Y  y   Fz' Z  z   0
grad F  Fx' i  Fy' j  Fz' k // n
pentru   F  x, y, z   0
 gradientul functiei scalare F
Prima forma fundamentala a unei suprafete
u  u( t )
 v  v( t )
  r  r( u ,v ) curba  
Fie pe suprafata
, u si v derivabile

ds

r
' dt  d r  d r  d r , daca      avem d r  ru' du  rv' dv 
Elementul de arc:
ds2  d r  d r  r u  r u du  2 r u  r v du  dv  r v  r v dv
'
'
'
2
'
'
'
2
 E  r u'  r u'

'
'

Notam cu  F  r u  r v
G  r 'v  r 'v


(5) 1  ds2  E(u ,v ) du  2 F(u ,v ) du  dv  G(u ,v ) dv
2
2
 prim a form a fundam enta
la
a sup rafetei  
Observatii: 1o Φ1 poate fi extisa pe intreaga suprafata
2o Φ1 este pozitiv definita
r
'
u
'
 rv
Notam
  r  r   r
2
'
'
u
v
2
' 2
u
' 2

rv
'
'
g  EG  F  r u  r v
2
2
0
F 2  EG  0 si E  0
Aplicatii ale primei forme fundamentale
a) Lungimea unui arc de curba
ds2 
Eu'2 2 Fu' v'Gv'2 dt
(6) l AB 

tB
tA
ds 

tB
tA

Eu'2 2 Fu' v'Gv'2 dt
Cazuri particulare :
a)
uk
b) v  k
 du  0 
 dv  0

l AB 
l AB 

vb

uB
vA
uA
G( k ,v ) dv
E( u ,k ) du
b) Unghiul a doua curbe
Fie
 
u  u1 ( t )
r  r( u ,v )  1  
,  2 
 v  v1 ( t )
u  u2 ( t )
pe   si M   1    2 

 v  v2 ( t )
Unghiul tangentelor la cele doua curbe sunt:
dr
dt
 dr
1
7 
cos 
8
cos 
9
cos 
dr
dt
r

2
d r  r
dr   r
unde
'
'

d r  r u du  r v dv

'
'

  r  r u u  r vv
Eduu  F (duv  dvu )  Gdvv
Edu2  2 Fdudv Gdv2  Eu 2  2 Fuv  Gv 2
Cazul curbelor coordonate:
F
EG
c) Aria unei portiuni de suprafata
Aproximam paralelogramul mixtiliniu MM1M2M3 cu paralelogramul definit de
vectorii:
'
'
r u du si r v dv
'
'
'
'
AMABC  r u du  r v dv  r u  r v dudv 
d  EG  F 2 du dv  elementul de arie al sup rafetei  
Insumand ariile acestor parale log rame si trecand la lim ita obtinem :
10
AD  D EG  F 2 du dv
Observatii:
- proprietati intrinseci
- varietati Riemann
Corespondenta izometrica intre doua suprafete
1 
Fie suprafetele:
r  r1 (u, v)
si
 2 
r  r2 (u, v)
v
O
z
u
O
y
x
z
O
u
O
x
y
11
u  uu ,v 

 v  vu ,v 
Avem d r  ru,du  rv,dv
,
cu
D( u ,v )
0
D( u ,v )
cu
,
d r  rudu  r vd v
cu
1  E  du 2  2F du  dv  G  dv 2
2
 2  E  d u  2Fd u  d v  G  d v
2
Definitia 2. Doua suprafete (1) si (2) sunt in corespondenta izometrica daca
cele doua suprafete au aceeasi prima forma fundamentala, 1= 2 .
Corolar. (1) si (2) sunt izometrice  arcele corespondente au aceeasi
lungime  E  E , F  F , G  G
Obs. Proprietatile care depind de prima forma fundamentala se vor numi
proprietati intrinseci.